Lista 1 - Integrais de Linha - 2024-1

Calculo IV Lista de Exercicios 1 1 Questoes 1 O que é um campo escalar 2 Qual a estratégia para calculo da integral de linha fxy z ds sobre uma curva regular C 3 Como fica a integral de linha do item acima no caso de querermos calcular 0 com primento da curva C 4 O que é um campo vetorial em R E em R Que exemplos vocé pode dar em fisica 5 Que ideia fisica esta incorporada na definicao de F dl E como podemos efeti vamente realizar o calculo 6 Qual é a relacao entre o trabalho realizado por uma forca sobre uma particula e sua energia cinética 7 O que é um campo vetorial conservativo Que teste vocé pode fazer para verificar se um campo é conservativo ou nao 8 Qual é a relacéo entre um campo vetorial conservativo e sua fungao potencial 9 Como se calcula de maneira facil a integral de linha de um campo vetorial conser vativo ao longo de um percurso C do ponto A ao ponto B 10 Como se calcula a funcao potencial associada a um campo vetorial conservativo 2 Problemas 1 Calcule as seguintes integrais de linha a oa ds em que C é parametrizada por st tt lt1 b fydsem queC y 2t0t3 c JoFdsem queCrP y 1t2 1 d fcyds em que C é a metade direita do circulo x y 16 ec fve ds em que C 6 0 segmento de reta de 20 a 54 f vy sen x dy atengao ao dy em que C 6 0 arco da parabola y x de 00 até 777 g Jo ryzds em que C costy sent zt0t 2n h fce ds em que C é 0 segmento de reta de 00 0 a 12 3 2 Calcule a massa do fio yt t 2t 3t 0 t 1 cuja densidade linear é dada por PYy2 Uytz 3 Considere o fio y ab R com densidade pz y z O momento de inércia do fio em relagao a um eixo fixado é I Pec 200s Y em que r rzy2 6a distancia do ponto x y z até o eixo fixado a Calcule o momento de inércia de um fio circular de raio R com densidade homogénea constante p em torno de seu eixo de simetria b Calcule 0 momento de inércia de um fio circular de raio R com densidade homogénea constante p em torno de um de seus didmetros c Calcule o momento de inércia do fio yt t 2t 3t 0 t 1 com densidade pzy 2 xy4 z em torno do eixo Oz 4 Calcule a integral F dl onde C é dada pela funcao vetorial Ft C a Fay cyt 27 Ft O2070t 1 b Fay2z a y0 azp y zk Ft Pi Bj 2th O t 2 c Fx yz senxi cosyj xzk Ft Bi 7 tk Ot 1 d Fxy2 yi y27 2k FP P OFH PK OSES ce Fay e V ay Tt PI 87 0t 1 5 Determine o trabalho realizado pelo campo de forca Fxy at y2j sobre um objeto que se move sobre um arco da cicloide rt tsen t1cos tj Ot 2z 6 Determine o trabalho realizado pelo campo de forca F xy 277 yej em uma partfcula que se move sobre a parabola x y 1 de 10 a 21 2 7 A forca exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma particula car r regada em um ponto 2 y z com vetor posigao 7 xyz 6 Fr Ko onde r K éuma constante Encontre o trabalho feito quando a particula se move ao longo de uma linha reta de 200 a 2 15 8 A posicao de um objeto com massa m no intante t 6 rt at bt70 t 1 a Qual é a forga que age no objeto no instante t b Qual é 0 trabalho realizado pela forga durante o intervalo de tempo 0 t 1 9 Experiéncias mostram que uma corrente continua J em um fio comprido produz um campo magnético B que é tangente a qualquer circulo em um plano perpendicular ao fio cujo centro seja o eixo do fio A Lei de Ampere relaciona a corrente elétrica ao campo magnético criado e afirma que B dF pol C onde J é a corrente total que passa por qualquer superficie limitada por uma curva fechada C e fg uma constante chamada permeabilidade no vacuo Tomando C como um circulo de raio r mostre que o médulo B B do campo magnético a uma distancia r do centro do fio é dado por I Babe 2ur 10 Determine se F é um campo vetorial conservativo ou nao No caso de ser calcule a fungao potencial associada a Fxy wy yt a 2eyj b Fx y yet e e c Fay y2 cosa cos yi 2y sen x x senyj d Fa y 32 2yi day 3 11 O campo vetorial Fa y 2ryx é tal que sua integral de linha sobre cur vas distintas que iniciam em 12 e terminam em 32 déo o mesmo resultado Explique porque o valor dessas integrais 6 0 mesmo e o calcule 12 Para cada um dos campos vetoriais F abaixo calcule sua fungao potencial e a utilize para calcular a integral F df sobre a curva C dada C a Fay 3 2xy 21y7 C é 0 arco da hipérbole y de 11 a 4 4 b Fa y 2437 a3 y7 C Ft 8B 248 2t0t 1 c F xyz yt wzft cyt 22k C é 0 segmento de reta de 102 a 46 3 3 13 Suponhamos que uma experiˆencia determine que a quantidade de trabalho necessaria para um campo de forca F mover uma partıcula do ponto 1 3 para o ponto 4 7 ao longo de uma curva C1 e de 2J e ao longo de uma curva C2 entre os mesmos pontos e 3J O que vocˆe pode afirmar sobre F Por quˆe 14 Determine o trabalho realizado por um campo de forca Fx y x3ı y3 ȷ para mover uma partıcula de 1 0 a 2 2 15 Uma forma comum de campo de forca em fısica e do inverso do quadrado da distˆancia Fr c r r 3 como e o caso das forcas gravitacional e eletrica Calcule o trabalho total realizado pelo campo de forca sobre uma partıcula que e deslocada de um ponto P1 a distˆancia d1 da origem ate um ponto P2 a distˆancia d2 da origem 4