Anotações - Navier Stokes -2023-2

Eq. N.S. em coordenadas cilíndricas: em r: ρ\left( \frac{\partial V_r}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_r}{\partial r} + \frac{V_θ}{r} \frac{\partial V_r}{\partial θ} + V_z \frac{\partial V_r}{\partial z} \right) = ρ g_r - \frac{\partial P}{\partial r} + μ \left( \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial V_r}{\partial r}) - \frac{V_r}{r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V_r}{\partial θ^2} - \frac{2}{r^2} \frac{\partial V_θ}{\partial θ} + \frac{\partial^2 V_r}{\partial z^2} \right) em θ: ρ\left( \frac{\partial V_θ}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_θ}{\partial r} + \frac{V_θ}{r} \frac{\partial V_θ}{\partial θ} + \frac{V_r V_θ}{r} + V_z \frac{\partial V_θ}{\partial z} \right) = ρ g_θ - \frac{1}{r} \frac{\partial P}{\partial θ} + ... + μ \left( \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial V_θ}{\partial r}) - \frac{V_θ}{r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V_θ}{\partial θ^2} + \frac{2}{r^2} \frac{\partial V_r}{\partial θ} + \frac{\partial^2 V_θ}{\partial z^2} \right) em z: ρ\left( \frac{\partial V_z}{\partial t} + V_r \frac{\partial V_z}{\partial r} + \frac{V_θ}{r} \frac{\partial V_z}{\partial θ} + V_z \frac{\partial V_z}{\partial z} \right) = ρ g_z - \frac{\partial P}{\partial z} + μ \left( \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial V_z}{\partial r}) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 V_z}{\partial θ^2} + \frac{\partial^2 V_z}{\partial z^2} \right) OBS: g_θ = \cosθ \cdot g g_r = \senθ \cdot g g θ positivo \to de θ \to anti-horário g r negativo \to de r \to do centro p/ fora g_θ e g_r \to negativos! \vec{g} = \langle g_r, g_θ, g_z \rangle = \langle -\senθ \cdot g, -\cosθ \cdot g, 0 \rangle \frac{\partial P}{\partial r} = -ρg \cdot \senθ. (1) \frac{1}{r} \frac{\partial P}{\partial θ} = -ρg \cdot \cosθ (2) \frac{1}{μ} \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{1}{r} \frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial V_z}{\partial r}) (3) Reorganizando (3)... \frac{r}{μ} \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial }{\partial r}(r\frac{\partial V_z}{\partial r}) (4) → Integrando os 2 lados de (4) em relação a r. \frac{r^2}{2μ} \frac{\partial P}{\partial z} = r \frac{\partial V_z}{\partial r} + C_1 \frac{\partial V_z}{\partial r} = \frac{r}{2μ} \frac{\partial P}{\partial z} - C_1 \frac{1}{r}\rightarrow \frac{\partial V_z}{\partial r} = \frac{r}{2μ} \frac{\partial P}{\partial z} + C_2 \frac{1}{r} (5) Integrando os 2 lados de (5) em relação a r... \boxed{V_z = \frac{r^2}{4μ} \frac{\partial P}{\partial z} + C_2 \ln r + C_3} (6) condições de contorno: CC 1:\quad r = R \to V_z = 0 CC 2:\quad r = 0 \to V_z é Máxima. Aplicando CC 2 em (6)... \quad r = 0 \implies ln r \to -\alpha\quad e\quad V_z \to +\alpha\não queremos que isso ocorra! Lo só se\quad \boxed{C_2 = 0} Exemplos selecionados: Cinemática (Ex 1) Vx = Ax\, \ \ \ Vy = -Ay a) \frac{dx}{Vx} = \frac{dy}{Vy} \frac{1}{Ax} dx = -\frac{1}{Ay} dy Integrando os 2 lados: ln x = - ln y + C1 ln x + ln y = C1 ln (x.y) = C1 x y = e^{C1} = C2 y = \frac{C2}{x} b) x = 2\, \ \ \ y = 8 C2 = 2 . 8 = 16 Função y = \frac{16}{x} Digitalizado com CamScanner x = 2\, \ \ \ y = 8 A = 0,3 \frac{1}{s} Vx = 0,3 . 2 = 0,6 m/s Vy = -0,3 . O,3 = -2,4 m/s posição em t = 6 s. Vx = Ax\, \ \ \ dx = Ax Vy = -Ay \ \ \ dy = -Ay dx = dt \frac{1}{Ax} dy = dt\right] \text{Resolvendo ambos:} t1 - t0 = \frac{1}{A} [ln x]^x1_{x0} (t1 - t0) = \frac{ln (x1) - ln (x0)}{A} (t1 - t0) = \frac{1}{A} . ln \frac{x1}{x0} (t1 - t0) = -\frac{1}{A} ln \frac{y1}{y0}\text{sendo} \ x0 = 0\, \ \ t1 = t\, \ \x1 = x, \ \ y1 =y t = \frac{1}{A} ln \left( \frac{x}{x0} \right) Quando t = 6 s... 6 = \frac{1}{0,3} ln \left( \frac{x}{2} \right) X = 12,1\, m 6 = -\frac{1}{0,3} ln \left( \frac{y}{8} \right) Y = 1,322\, m e) Vx = 0,3 . 12,1 = 3,63 \ \ m/s Vy = -0,3 . 1,322 = -0,4 \ \ m/s f) Iguando (1) com (2): \frac{1}{A} ln \left( \frac{x}{x0} \right) = -\frac{1}{A} ln \left( \frac{y}{y0} \right) \ln \left( \frac{x}{x0} \right) + \ln \left( \frac{y}{y0} \right) = 0 ln \left( \frac{x}{x0} \cdot \frac{y}{y0} \right) = 0 X Y \over X_0. Y_0 = e^0 = 1 X Y = X_0. Y_0 2. 8 = 16 x y = 16 y = 16 \over x Eq. N. S. (Ex 2) Hipóteses: Fluido Incompressível e de viscosidade constante; Regime permanente \rightarrow \partial \over \partial t [ ] = 0 \partial \over \partial z [ ] = 0 Escoamento no plano x y \rightarrow direção z não importa. Escoamento 1D em termos de \vec{v} V_y ≠ 0 ; V_x = V_z = 0 Escoamento plenamente desenvolvido \partial V_y \over \partial y = 0 e \partial P \over \partial y é linear. Regime laminar \vec{\tau} = \mu \partial V_y \over \partial x \vec{g} = <0; -g ; 0> Da Eq. de N. S da Direção y: \rho (\partial V_y \over \partial t + \cancel{V_x \partial V_y \over \partial x} + V_y \partial V_y \over \partial y + \cancel{V_z \partial V_y \over \partial z}) = \rho g_y - \partial P \over \partial y + \mu (\partial^2 V_y \over \partial x^2 + \cancel{\partial^2 V_y \over \partial y^2} + \cancel{\partial^2 V_y \over \partial z^2}) \mu \partial^2 V_y \over \partial x^2 - \rho g - \partial P \over \partial y = 0 OBS: como trata-se de um escoamento c/ h muito fino P ≈ Patm, tcc P ≈ constante ao longo de y. Assim \partial P \over \partial y ≈ 0 Dai \partial^2 V_y \over \partial x^2 = \rho g \over \mu (1) Integrando os dois lados em relação à x: \partial V_y \over \partial x = \rho g \over \mu x + C1 (2) " " " à x mais uma vez: Mcs Q = Vm \cdot A e A = h \cdot B Então: Vm = \frac{Q}{A} = \frac{B}{hB} \left[ -\frac{2 \rho g h^3}{6 \mu} + U_0 \cdot h \right] Vm = -\frac{2 \rho g h^2}{6 \mu} + U_0 Vm = -\frac{\rho g h^2}{3 \mu} + U_0 ou lembrando que \gamma = \rho \cdot g \boxed{Vm = -\frac{\gamma h^2}{3 \mu} + U_0} Digitalizado com CamScanner Q = ∬(\vec{v}\cdot\vec{n}) dA \vec{V} é 1D => \vec{V} \cdot \vec{n} \approx V_y Q = ∬ V_y dA = \int_{0}^{B} \int_{0}^{h} V_y dx dz = B \int_{0}^{h} ( \frac{\rho g}{2 \mu} x^2 - \frac{\rho g h}{\mu} x + U_0 ) dx = B \left[ \frac{\rho g x^3}{6 \mu} - \frac{\rho g h x^2}{2 \mu} + U_0 x \right]_0^h = B \left[ \frac{\rho g h^3}{6 \mu} - \frac{\rho g h^3}{2 \mu} + U_0 h \right] = B \left[ -\frac{2 \rho g h^3}{6 \mu} + U_0 \cdot h \right] = Q