Condutos Forçados - Cálculo de Perda de Carga com Darcy-Weisbach e Diagrama de Moody

CONDUTOS FORÇADOS Rotina de cálculo condutos simples Perda por DarcyWeisbach Diagrama de Moody Critérios de Rouse e Ungaretti Rotina de cálculo de condutos simples Exemplos 1 UFRGSIPHDHH Perda de carga linear Darcy Weisbach 1 2 WxALsen LPM E1p1A1 Plano de referência E2p2A2 WAL z2 z1 L Eixo conduto 0 L P ALsen p A A p 0 F M 0 2 2 1 1 L Dividindo os termos por A e fazendo L sem Z1Z2 A L P Z Z p p M 0 2 1 2 1 2 UFRGSIPHDHH Perda de carga linear Darcy Weisbach WxALsen LPM 1 2 E1p1A1 Plano de referência E2p2A2 WAL z2 z1 L P perímetro conduto Julius Weisbach Henry Darcy Forças que agem sobre um trecho do conduto Empuxo nas seções extremas Componente do peso Tensão de cisalhamento 3 UFRGSIPHDHH Perda de carga linear Darcy Weisbach 𝐹𝐿 0 𝑝1 𝐴1 𝑝2 𝐴2 𝛾 𝐴 𝐿 sen 𝜃 𝜏0 𝐿 𝑃𝑀 0 Dividindo os termos por γA e fazendo Lsenϴ Z1Z2 𝑝1 𝑝2 𝛾 𝑍1 𝑍2 𝜏0 𝐿 𝑃𝑀 𝛾 𝐴 Para que o escoamento esteja em equilíbrio velocidade média constante no trecho o somatório das forças que agem na direção do escoamento deve ser igual a zero 𝜏0 1 2 𝜆𝜌𝑉2 O lado esquerdo da relação acima é a perda de carga definição de Bernoulli A tensão de cisalhamento junto às paredes para um escoamento incompressível e permanente pode ser escrita por onde λ é um coeficiente de proporcionalidade dependente da interação entre o escoamento e as paredes do conduto 4 UFRGSIPHDHH Perda de carga linear Darcy Weisbach ℎ𝑝12 𝜆 𝐿 𝑃𝑀 𝑉2 2𝑔 𝐴 𝜆 𝐿 𝑉2 2𝑔 𝑅𝐻 ℎ𝑝12 𝑓 𝐿 𝐷 𝑉2 2𝑔 Particularizando a equação acima para um conduto circular cilíndrico para o qual o raio hidráulico é dado por Equação de DarcyWeisbach geral Equação de DarcyWeisbach para condutos forçados Chamando a constante 4 λ de fator de perda de carga de DarcyWeisbach f temos a expressão desta equação para condutos forçados circulares cilíndricos 5 UFRGSIPHDHH 𝑅𝐻 𝐴 𝑃𝑀 𝜋 𝐷2 4 𝜋 𝐷 𝐷 4 ℎ𝑝12 4 𝜆 𝐿 𝐷 𝑉2 2𝑔 A equação de DarcyWeisbach fica Fator de perda de carga 𝑓 Φ 𝑉 𝜌 𝜇 𝜀 𝐷 Experimentalmente demonstrase que o fator de perda de carga depende da velocidade média do escoamento V do diâmetro do conduto D da massa específica r e da viscosidade m do fluido bem como de algumas características da rugosidade das paredes internas do conduto e tais como o tamanho a forma e o arranjo espacial dessas rugosidades Logo Aplicando a técnica de análise dimensional podese agrupar as variáveis acima apresentadas em parâmetros adimensionais O fator de perda de carga passa a ser expresso em função de f Φ V D ν ε D Número de Reynolds Rugosidade relativa 6 UFRGSIPHDHH Fator de perda de carga Através de estudos experimentais realizados em trecho de conduto com diâmetro e rugosidade uniforme e bem distribuída es a medição da diferença da cota piezométrica zpg entre seções do conduto permitiu a avaliação do fator de perda de carga f 2g D hp12 L V2 2g J D V2 onde J perda de carga unitária D diâmetro do conduto Vvelocidade média A figura apresenta os dados experimentais coletados por Nikuradse evidenciado uma tendência para o comportamento da variação de f em função de Reynolds e da rugosidade relativa do conduto 7 UFRGSIPHDHH Turbulento rugoso Turbulento transição Fator de perda de carga valores a Se o escoamento é laminar R 2000 f Φ ℜ f 64 ℜ A rugosidade do conduto não influencia na perda de energia b Se o escoamento é turbulento R4000 Há influência da rugosidade das paredes a qual depende da relação entre a espessura da rugosidade e a espessura da subcamada viscosa Subcamada viscosa camada de escoamento junto às paredes onde há predominância dos efeitos viscosos na definição da tensão de cisalhamento É uma região de baixas velocidades que apresenta baixos números de Reynolds 8 UFRGSIPHDHH Fator de perda de carga valores b Se o escoamento é turbulento R4000 Para este escoamento o fator de perda apresenta diferentes comportamentos em função da relação entre a espessura da subcamada viscosa e a rugosidade Segundo esta relação o escoamento turbulento pode ser classificado como δ 30 D ℜ f D diâmetro mm Turbulento liso a rugosidade do conduto se encontra dentro da subcamada viscosa e portanto pouco atua na perda de energia Turbulento rugoso a rugosidade do conduto se perfura a subcamada viscosa e portanto atua na perda de energia através da geração de turbilhões Turbulento de transição tanto a rugosidade do conduto quanto a viscosidade do fluido atuam na perda de energia 9 UFRGSIPHDHH D Zona logaritmica rugosidade equivalente espessura da subcamadaviscosa Subcamada viscosa Perfil de velocidades médias Turbulento liso Turbulento rugoso Ver detalhes Fator de perda de carga 1 f 20 log VM D ν f 08 ou 1 f 2 log εS R 174 ou Entre estas duas situações ocorre um escoamento Turbulento de Transição para o qual δ ε δ ε Turbulento Liso Turbulento Rugoso f Φ ℜ f Φ 𝜀 𝐷 Lei de Prandtl Lei de Nikuradse f Φ ℜ 𝜀 𝐷 1 f 20 log Re f 1 f 20 log εS 371 D 10 UFRGSIPHDHH Fator de perda de carga Equação de ColebrookWhite 1 𝑓 174 20 log 2 𝜀 𝐷 187 ℜ 𝑓 1 𝑓 20 log 𝜀 371 𝐷 251 Re 𝑓 Colebrook simplesmente combinou essas expressões criando uma expressão válida para a região de transição que é assintótica às duas equações anteriores Isolando o fator de perda de carga 𝑓 1 4 log 𝜀 371 𝐷 251 Re 𝑓 2 Se Reynolds tende ao infinito a equação tende à lei de Nikuradse turbulento rugoso Se a rugosidade relativa tende a zero a equação tende à lei de Prandtl turbulento liso Obs A equação de ColebrookWhite representa bem o comportamento hidráulico da rugosidade de condutos comerciais que não é uniforme nem bem distribuída como a rugosidade adotada por Nikuradse 11 UFRGSIPHDHH UFRGSIPHDHH 12 2 2 1 1 21 p Z p Z hp Definição por Bernoulli a perda de carga é a diferença entre as cotas piezométricas de duas seções transversais do conduto g V D f L hp 2 2 1 2 Perda de Carga LINEAR Definição através da Equação de DarcyWeisbach equilíbrio forças atuantes Fator de perda de carga DarcyWeisbach f Φ V D ν ε D Número de Reynolds Rugosidade relativa a Se o escoamento é laminar R 2000 f 64 ℜ b Se o escoamento é turbulento R4000 𝑓 1 4 log 𝜀 371 𝐷 251 Re 𝑓 2 Perda de Carga Diagrama de Moody Representação gráfica da variação do fator de perda de carga em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa 13 UFRGSIPHDHH UFRGSIPHDHH 14 Critério de Rouse 1943 Limites entre os regimes turbulentos Mostrou que o comportamento hidráulico dos condutos comerciais com sua rugosidade natural ajustamse bem à equação proposta por ColebrookWhite Com uma mudança de eixos as curvas eD do diagrama de Moody são todas superpostas o que permite evidenciar os Reynolds limite para os diferentes tipos de escoamentos turbulentos 1 𝑓 2 𝑙𝑜𝑔 𝑟0 𝑒 ℜ 𝑓 𝑟0 𝑒 Lei Prandtl Lei Nikuradse 𝕽 𝒇 𝒓𝟎 𝒆 400 Rouse H 1946 Elementary Mechanics of Fluids pg 205 e 206 ro raio do conduto e coeficiente de rugosidade UFRGSIPHDHH 15 Critério de Rouse 1943 Limites entre os regimes turbulentos Limite escoamento turbulento rugoso ℜ 𝑓 𝑟0 𝑒 400 ou ℜ 𝑓 𝐷 𝑒 200 problema o erro relativo entre os valores de f calculados a partir da fórmula de Colebrook White e pela expressão de Nikuradse na condição do critério de Rouse é variável precisão de cálculo difícil de ser avaliada Critério de Ungaretti década de 80 Estabelece expressão para os Reynolds limites admitindo um erro relativo constante e igual a 1 entre os valores caracterizando os limites inferior e superior da zona de escoamento turbulento de transição ℜ𝐼 1 4 𝑒 𝐷 123 ℜ𝑆 1600 𝑒 𝐷 10 Se Reynolds escoamento ℜ esc turbulento rugoso Se ℜI R ℜS esc turbulento transição Se R ℜS esc turbulento rugoso z1 z2 hp Sabendo que o conduto que liga os reservatórios tem D150mm rugosidade e01mm comprimento de 300m e que o desnível de operação entre dois reservatórios é de 6m a determine a vazão que escoa no conduto b classifique o regime de escoamento Exemplo 1 a Aplicando Bernoulli 𝐻1 𝐻2 ℎ𝑝 𝑧1 𝑝1 𝛾 𝑉1 2 2𝑔 𝑧2 𝑝2 𝛾 𝑉2 2 2𝑔 ℎ𝑝 𝑧1 0 0 𝑧2 0 ℎ𝑝 16 UFRGSIPHDHH ℎ𝑝 6 m b Por DarcyWeisbach 6 𝑓 300 015 𝑉2 2𝑔 𝑉 015 𝑥 6 𝑥 2𝑔 300 𝑓 58836 𝑥 103 𝑓 𝐽 ℎ𝑝𝑙 𝐿 6 300 002𝑚𝑚 z1 z2 hp Exemplo c Por ColebrookWhite 17 UFRGSIPHDHH b Por DarcyWeisbach 𝑓 1 4 𝑙𝑜𝑔 01 371 𝑥 150 251 𝑥 1 𝑥 106 𝑉 𝑥 0150 𝑓 2 𝑓 1 4 𝑙𝑜𝑔 1802 𝑥 104 16733𝑥 106 𝑉 𝑓 2 𝑉 015 𝑥 6 𝑥 2𝑔 300 𝑓 58836 𝑥 103 𝑓 Eq 1 Eq 2 Por tentativas f002 V 1715 f 00193 f00193 V 1748 f 001925 f001925 V 1748 f 001925 Assim 𝑄 𝜋 0152 4 𝑥 1748 0031 𝑚3 𝑠 Eq 1 Eq 2 z1 z2 hp Exemplo Classificação do regime 18 UFRGSIPHDHH Critério Rouse ℛ 1748 𝑥 0150 1𝑥106 262𝑥105 ℜ 𝑓 𝐷 𝑒 200 ℜ 200 001925 01 150 22𝑥106 ℜ𝐼 1 4 𝑒 𝐷 123 1 4 01 150 123 2𝑥103 ℜ𝑆 1600 𝑒 𝐷 10 1600 01 150 10 24𝑥106 Critério Ungaretti Escoamento não é turbulento rugoso Escoamento é turbulento de transição ℜ limite para turbulento rugoso ℜ limite transição x rugoso ℜ limite liso x transição Cálculo de condutos simples sob pressão perda de carga linear predominante UFRGSIPHDHH 19 Dimensionamento condutos O cálculo de condutos envolve seis variáveis fluido incompressível a vazão Q a velocidade V o comprimento do conduto L o diâmetro do conduto D a perda de carga hp a viscosidade cinemática n a rugosidade absoluta Incógnitas Q V D hp e Dados tipo de fluido e temperatura viscosidade equação de Poiseuille traçado da canalização comprimento do conduto projeto UFRGSIPHDHH 20 Materiais tubulações Tubo DeFofo MPVC Tubo Pead Tubo Pead Corrugado Tubo PVC água fria Tubo CPVC água quente Tubo PVC esgoto Tubo ferro galvanizado Tubo aço inox Tubo ferro fundido Valores da rugosidade mm obtido em tabelas UFRGSIPHDHH 21 Rugosidade equivalente de alguns materiais 22 UFRGSIPHDHH Equações a serem resolvidas a Continuidade b Perda de carga unitária c Fator de perda de carga d Viscosidade cinemática UFRGSIPHDHH 23 Tipos de problemas Dimensionamento Verificação Cálculo da rugosidade UFRGSIPHDHH 24 Tipo 1 Dimensionamento Dados Q J e Calcular D V Equação implícita o diâmetro deve ser calculado por tentativas arbitrandose um valor inicial Atenção à resolução do expoente negativo de log 25 em algumas calculadoras pode dar erro UFRGSIPHDHH 25 Tipo 4 Dimensionamento Dados V J e Calcular D Q Tipo 2 Dimensionamento Dados V e Q Calcular D J UFRGSIPHDHH 26 Tipo 5 verificação Dados D Q e Calcular V J Tipo 7 verificação Dados D J e Calcular V Q UFRGSIPHDHH 27 𝑉 2 2 𝑔 𝐽 𝐷 𝑙𝑜𝑔 𝑒 371 𝐷 251 𝜈 𝐷 2 𝑔 𝐽 𝐷 Tipo 3 Rugosidade Dados V J Q Calcular e D Tipo 6 Rugosidade Dados Q D J Calcular e V UFRGSIPHDHH 28 Tipo 10 Rugosidade Dados V D J Calcular e Q UFRGSIPHDHH 29 Dimensionar o diâmetro da adutora que une dois reservatórios operando nas cotas 84 e 68 sabendo que o conduto de plástico e006mm tem 1140m e conduz água na temperatura de 25C e com vazão de 471 litrossegundo a Viscosidade do fluido 𝜈 178 𝑥 106 1 00337 𝑥 25 0000221 𝑥 252 0899 𝑥 106 Τ 𝑚2 𝑠 b Perda de carga Aplicando Bernoulli entre as superfícies livres dos reservatórios 1 e 2 a perda de carga no conduto fica igual as desnível entre os reservatórios ℎ𝑝 Δ𝑧 84 68 16𝑚 𝐽 ℎ𝑝 𝐿 16 1104 00145 𝑚𝑚 Exemplo 2 UFRGSIPHDHH 30 c Cálculo do diâmetro 𝐷 2 𝑥 00471 𝜋 2 𝑥 9806 𝑥00145 Τ 2 5 𝑙𝑜𝑔 006 𝑥 103 371 𝐷 251𝑥 0899𝑥106 𝐷 2 𝑥 9806 𝑥00145𝑥 𝐷 Τ 2 5 Como a equação é implícita em D devemos arbitrar um valor para o diâmetro e calcular o diâmetro pela equação até que os valores arbitrados e calculados sejam iguais Tendo como dados Q e J as incógnitas são D e V o que conduz a um problema do tipo 1 Empregando a equação do problema tipo 1 𝐷 01 𝑚 01908 0184 0184 𝐷 0316 𝑙𝑜𝑔 00162 𝑥 103 𝐷 4231𝑥106 𝐷 Τ 3 2 Τ 2 5 Assim o diâmetro interno do conduto deve ser de 184mm para permitir a passagem da vazão de 471 ls sob a ação de uma perda de carga de 16m 𝐷 184 mm Continuação Exemplo 2 UFRGSIPHDHH 31 Caso o material do conduto seja ferro fundido não revestido envelhecido e05mm determine a vazão que passa pela adutora com 184mm sabendo que ela une dois reservatórios operando nas cotas 84 e 68 e que conduz água na temperatura de 25C a Viscosidade do fluido 𝜈 178 𝑥 106 1 00337 𝑥 25 0000221 𝑥 252 0899 𝑥 106 Τ 𝑚2 𝑠 b Perda de carga Aplicando Bernoulli entre as superfícies livres dos reservatórios 1 e 2 a perda de carga no conduto fica igual as desnível entre os reservatórios ℎ𝑝 Δ𝑧 84 68 16𝑚 𝐽 ℎ𝑝 𝐿 16 1104 00145 𝑚𝑚 Exemplo 3 UFRGSIPHDHH 32 c Cálculo da vazão 𝑉 2 2 𝑥 9806 𝑥00145𝑥0184 𝑙𝑜𝑔 05 𝑥 103 371 𝑥 0184 251𝑥 0899𝑥106 0184𝑥 2 𝑥 9806 𝑥 00145𝑥 0184 Com a velocidade calculada e o diâmetro do conduto aplicando a equação da continuidade obtemos a vazão escoada de Tendo como dados D e J as incógnitas são Q e V o que conduz a um problema do tipo 7 Empregando a equação do problema tipo 7 𝑄 00378 m³s 378 ls Continuação Exemplo 3 𝑉 2 022875 𝑙𝑜𝑔 000073 000005 𝑉 04575 3106 142 ms UFRGSIPHDHH 33 Comentários Mantendo o diâmetro de 184mm a troca do material do conduto de plástico 006mm para ferro fundido não revestido e05mm provocou redução na vazão escoada Continuação Exemplo 3 𝑄 𝑄𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜𝑄𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 𝑄𝑝𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 0047100378 00471 00093 00471 0198 20 UFRGSIPHDHH 34 Material Rugosidade mm Vazão ls Plástico 006 471 Ferro fundido não revestido 05 378 Mantendo a vazão de demanda de 471ls a troca do material do conduto de plástico 006mm para ferro fundido não revestido e05mm impõe aumento no diâmetro da canalização Material Rugosidade mm Diâmetro mm Plástico 006 184 Ferro fundido não revestido 05 200 D184mm Para o sifão de drenagem abaixo representando com diâmetro de 150mm rugosidade de 01mm e comprimento de 300m determine a vazão escoada caso o desnível de operação entre os reservatórios DZ seja de 3m 6m e 9m Considere que a viscosidade cinemática do fluido é de 1x106 m²s a Caso DZ3m Perda de carga aplicando Bernoulli entre as superfícies livres dos reservatórios ℎ𝑝 𝐷𝑧 3𝑚 𝐽 ℎ𝑝 𝐿 3 300 001 𝑚𝑚 Exemplo 4 UFRGSIPHDHH 35 C A B 2m DZ Velocidade aplicando a equação do problema tipo 7 𝑉 2 2 𝑥 9806 𝑥001𝑥0150 𝑙𝑜𝑔 01 𝑥 103 371 𝑥 0150 251𝑥 1𝑥106 015𝑥 2 𝑥 9806 𝑥 001𝑥 015 𝑉 2 017152 𝑙𝑜𝑔 000018 9756𝑥106 034304 3557 1220 ms 𝑄 𝜋 0152 4 1220 002156 𝑚3 𝑠 2156 𝑙𝑠 b Caso DZ6m Perda de carga aplicando Bernoulli entre as superfícies livres dos reservatórios ℎ𝑝 𝐷𝑧 6𝑚 Exemplo 4 UFRGSIPHDHH 36 C A B 2m DZ Velocidade aplicando a equação do problema tipo 7 𝑉 2 2 𝑥 9806 𝑥002𝑥0150 𝑙𝑜𝑔 01 𝑥 103 371 𝑥 0150 251𝑥 1𝑥106 015𝑥 2 𝑥 9806 𝑥 002𝑥 015 𝑉 2 0243 𝑙𝑜𝑔 000018 68985𝑥106 0486 3603 1751 ms 𝑄 𝜋 0152 4 1751 00309 𝑚3 𝑠 309 𝑙𝑠 𝐽 ℎ𝑝 𝐿 6 300 002𝑚𝑚 c Caso DZ9m Perda de carga aplicando Bernoulli entre as superfícies livres dos reservatórios ℎ𝑝 𝐷𝑧 9𝑚 Exemplo 4 UFRGSIPHDHH 37 C A B 2m DZ Velocidade aplicando a equação do problema tipo 7 𝑉 2 2 𝑥 9806 𝑥003𝑥0150 𝑙𝑜𝑔 01 𝑥 103 371 𝑥 0150 251𝑥 1𝑥106 015𝑥 2 𝑥 9806 𝑥 003𝑥 015 𝑉 2 0297 𝑙𝑜𝑔 000018 56327𝑥106 0594 3626 2154 ms 𝑄 𝜋 0152 4 2154 00381 𝑚3 𝑠 381 𝑙𝑠 𝐽 ℎ𝑝 𝐿 9 300 003𝑚𝑚 DZ3m DZ6m DZ9m Velocidade ms 1220 1751 2154 Vazão ls 216 308 381 Comentários O aumento da diferença de cotas entre as superfícies livres dos reservatórios gera o aumento da vazão escoada pelo sifão Através da soma de Bernoulli constatase que há um aumento da carga hidráulica disponível e por consequência da perda de carga no conduto o que permite a ocorrência de um escoamento com maior velocidade Fim