Apostila Condutos Forçados-2008 1

CONDUTOS FORÇADOS 2.1. Revisão Geral Antes do estudo da perda de energia em condutos forçados e canais é necessária a apresentação de conceitos gerais, que, em parte, já devem ter sido vistos em cursos introdutórios de Mecânica dos Fluidos, bem como de conceitos específicos da Hidráulica. Embora o modo de abordagem dos problemas correntes de Hidráulica seja feito através de abordagens macroscópicas, para o estudo dos coeficientes globais de perda de carga ou para a compreensão da forma de variação dos mesmos é imprescindível uma análise mais elaborada das micro-estruturas que os regem, portanto, conceitos simples de Turbulência e Camada Limite deverão ser abordados. 2.1.1. Conceitos Básicos Condutos Forçados (escoamentos internos e externos) Quando o escoamento é envolvido totalmente por contornos sólidos ele é denominado escoamento interno em contraposição ao escoamento externo que envolve corpos sólidos que obstaculizam o movimento do fluido. São exemplos de escoamento interno o escoamento em condutos e de escoamentos externos os escoamentos sobre uma placa plana ou ao redor de um cilindro.. Os condutos com perímetro aberto são denominados Canais, e os de perímetro fechado são denominados propriamente Condutos. Quando as seções transversais de um conduto, em determinado trecho, são preenchidas inteiramente por um líquido e sua parte superior está submetida a uma pressão que não é a atmosférica, diz-se que o escoamento ocorre em Conduto Forçado. Tais escoamentos só podem ocorrer em condutos com perímetro fechado. Quando o escoamento ocupa apenas uma parte da seção transversal de um conduto com perímetro fechado e apresenta a superfície livre do líquido praticamente horizontal, estamos na presença de um escoamento à Superfície Livre. Todo escoamento de líquido que não ocorre em conduto forçado, ocorre à superfície livre. A diferenciação de escoamento em Conduto Forçado com escoamento à Superfície Livre não está somente na diferenciação dos elementos hidráulicos que os compõem (área, perímetro molhado, etc.) mas também nas dinâmica do funcionamento de um ou outro tipo de escoamento. A força motora que provoca o movimento em um escoamento a superfície livre é essencialmente a força da gravidade. Para um problema de dimensionamento ou de verificação de um escoamento a superfície livre é indispensável o conhecimento da diferenças de cotas entre as superfícies das duas seções, enquanto nos condutos forçados a cota do eixo do conduto por si só não indica nada, sendo importante o conhecimento da energia total, onde a cota deverá ser somada à pressão nos trechos considerados. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.2 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Elementos Hidráulicos Para o cálculo do movimento de líquidos em condutos é importante distinguir os seguintes elementos (elementos hidráulicos) da seção transversal: a área (área molhada), o perímetro molhado e o raio hidráulico. A área (A) é a superfície em que escoa o líquido, traçada de tal forma que qualquer linha de corrente seja a ela perpendicular. Na prática, a área é geralmente a seção transversal de um conduto. Chama-se perímetro molhado (PM) a linha ao longo da qual o escoamento toca as paredes do conduto. No caso de condutos circulares sob pressão, o perímetro molhado coincide com seu perímetro geométrico, isto é, PM=2πR=π.D. Em condutos circulares a superfície livre, o perímetro molhado é igual ao comprimento do arco ABC (figura 2.1). D P = D π M A B C P = ABC M (a) Forçado (b) Aberto Figura 2.1 Perímetro molhado em condutos fechados É ao longo do perímetro molhado que ocorre o contato do fluido com as paredes das canalizações, sendo, portanto, ao longo deste que a natureza do material que constitui o conduto influencia o escoamento do líquido, ou seja, o efeito de resistência das paredes é proporcional à extensão do perímetro molhado. Denomina-se raio hidráulico 1 (RH) a relação entre a área da seção transversal e o perímetro molhado: M H = A P R . O raio hidráulico fornece uma ordem de grandeza da relação entre o volume de fluido que escoa e a área de contato entre as diferentes superfícies: líquida e sólida. Um alto raio hidráulico significa que a área de escoamento é muito grande em relação ao perímetro, ou seja, que há pouca influência das paredes do conduto no escoamento. 1 O Raio Hidráulico não tem o mesmo valor do que o raio de um conduto circular cilíndrico, para este tipo de conduto o raio hidráulico será equivalente a ( ) D 4 R 2 2 R R A P R 2 M H = = π = π = Conceitua-se vazão volumétrica (ou simplesmente vazão) como sendo o volume que, por unidade de tempo, atravessa a área da seção transversal do escoamento. O volume de fluido é igual ao volume gerado pela seção deslocando-se paralelamente a si mesma durante o tempo em que transcorre o movimento. 1 1 2 2 dA1 V1 l d Figura 2.2 Vazão que passa entre duas linhas de corrente. Como o elemento de volume é dado por: l V dA d d . 1 = (2.1) 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.3 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- a vazão volumétrica associada a esta variação de volume é: dt dA d dt dA d dt d dQ 1 1 1 1 1 . . l l V = = = (2.2) sendo 1 1 V dt d = l a velocidade instantânea de deslocamento da seção transversal. Integrando a expressão (2.2), chega-se à expressão da vazão em função da velocidade. ∫ ∫ ∫ = = = A A A V dA dt dA d dQ Q 1 1 1 . . 1l (2.3) Conceitua-se velocidade média como sendo o quociente entre a vazão volumétrica e a área da seção transversal. Desta forma, a equação (2.3) pode ser reescrita como: ∫ = = A 1 1 M V .dA A 1 A Q V (2.4) onde VM é a velocidade média e A é a área da seção transversal. A velocidade média do escoamento é uma velocidade “imaginária” que, animando de maneira uniforme as linhas de corrente do escoamento, produziria a mesma vazão que aquela produzida pelo perfil de velocidade real. Exemplo de cálculo de vazão e velocidade média: Suponha que num conduto circular cilíndrico escoe água a uma velocidade tal que o perfil de velocidades em relação à distância ao eixo seja dado por: ( ) u r U r R centro =  −    1 1 2 / (2.5) Para este perfil de velocidades (ver figura 2.3) determina-se a vazão e a velocidade média como segue; x dr r y u(r) u(r) Perfil de centro U velocidades Figura 2.3 Cálculo da vazão e velocidade média i) Cálculo da vazão Na equação (2.3) para um elemento de área .r dr d. θ , substitui-se a lei de variação da velocidade na expressão geral da vazão ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫       − = π       − θ = π = = π R 0 2 1 centro R 0 2 1 centro 2 0 R 0 A 1 1 .r dr R r 1 .2 .U .r dr R r 1 U .2 u r .r dr d. V .dA Q 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.4 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Com a seguinte troca de variáveis ( ) 1− r R = t , tem-se ( ) r R t = 1− e ∫ π 0 centro 1 t U . dr e limites de integração 0=>1 e R=>0, ficando a integral reduzida a , resultando finalmente em: −Rdt = ( − ) 2 t .dt 1 R = − 1/ 2 .2 Q Q U R t t U centro centro = −           = 2 2 3 2 5 8 15 2 3 2 5 2 0 1 2 . . . . . π R π (2.6) ii) Cálculo da velocidade média: Da equação (2.4) dividindo-se a vazão pela área, tem-se: centro 2 M 15 U 8 R . Q V = π = centro M ,0 533.U V = (2.7) Regimes de Escoamento : Permanente e Variável Se em um ponto genérico de um escoamento de coordenadas x, y e z referidas a um triedro, o vetor velocidade e outras propriedades (pressão, nível, etc.) variam com o tempo em módulo e/ou direção, estamos na presença de Regime não permanente. Se, ao contrário, em cada ponto de coordenadas x, y e z, as propriedades são invariáveis com o tempo (em direção, módulo e sentido), diz-se que o escoamento é permanente, nesse intervalo de tempo. Na maior parte dos casos dos escoamentos reais, o regime é permanente somente em média, pois suas propriedades em cada ponto podem variar com o tempo em torno do valor médio. A invariabilidade tanto em média como em termos de valores instantâneos pode ocorrer somente quando o escoamento for laminar, no caso de escoamento turbulento o regime só poderá ser permanente em média. Quando o regime é permanente, a velocidade em cada ponto é constante, mesmo para uma seção transversal do escoamento. Como a seção transversal do escoamento é invariável (conduto indeformável), a vazão através da seção transversal será constante (sempre considerando a média). Distribuição hidrostática de pressões na seção transversal de um escoamento externo. Em um escoamento permanente, as linhas de corrente2, de trajetórias3 e de emissão4 coincidem. Em cada ponto do espaço pode-se decompor a velocidade em suas componentes tangencial e normal. De um ponto a outro - mesmo em regime permanente - a velocidade pode variar em módulo e direção. A aceleração tangencial é responsável pela mudança do módulo da velocidade de um ponto a outro e a aceleração normal, pela sua mudança de direção. O módulo da aceleração normal é: R V a 2 n = (2.8) sendo V o módulo da velocidade no ponto considerado e R o raio de curvatura da trajetória no mesmo ponto. 2Linha de corrente é a linha formada pela união dos vetores velocidade do escoamento, num dado instante. 3Linha de trajetória é a linha formada pela trajetória das partículas ao longo do tempo. 4Linha de emissão é a linha formada pela união das partículas que passaram por um mesmo ponto ao longo do tempo. 26/3/2008 Hidraulica - Condutos forgados 2.5 - Em um trecho de trajetoria retilinea, 0 raio de curvatura em todos os pontos é infinito e, portanto, a aceleragao normal é nula. Como conseqiiéncia importante, quando as trajetorias médias s4o paralelas temos: * a secao transversal é plana e normal 4s trajetdrias, independente da distribuicaéo de velocidades; * a variacao de pressao na secao transversal é a mesma que ocorreria em uma superficie plana mergulhada em um liquido em repouso, isto 6, diz-se que a variagao de pressdo na se¢ao transversal é Hidrostatica. Portanto, entre dois pontos A e B quaisquer da mesma secao transversal é valida a expressao de Stevin>: Pa — Pz =/(Z, -Z,) No estudo de condutos forgados subdivide-se 0 calculo do escoamento entre os trechos em que as trajetorias sao retilineas e os trechos em que nas trajetorias sao admitidas curvas, 0 segundo caso, quando o estudo geral parte de uma hipotese unidimensional, deve ser tratado como uma singularidade no escoamento. 2.1.2. Soma de Bernoulli O escoamento em condutos sob pressao contém energia sob trés formas: cinética, potencial de posicao e potencial de pressao. A soma de Bernoulli expressa a conservacao destas formas de energia do liquido em movimento sendo a equacéo assim denominada em homenagem a Daniel Bernoulli (* 1700-1782), matematico francés que obteve a primeira equacao correlacionando energia cinética com potencial de pressao. Examinemos um tubo de corrente® como aquele mostrado na figura 2.. L, =V>At . sys Li=V {At ° ° A energia cinética de uma massa (m) de Va liquido é a medida de sua capacidade em realizar E, trabalho devido a velocidade (V) que anima suas particulas, sendo comumente expressa por Ej A 2 ym.V2, Ay V2 vi Figura 2.4 Tubo de corrente. Num escoamento em conduto com area da se¢ao transversal A, a massa total que atravessa essa se¢ao na unidade do tempo é m= p.V.A ea energia cinética total por unidade de tempo fica: E 1. 1 1 —<=—mV’ =—(p.V.A)V’ =~p.A.V° At 2 2 2 5 Ver Capitulo 1. Propriedades dos fluidos e hidrostatica. 6Tubo de corrente é 0 tubo gerado por um conjunto de linhas de corrente tragadas, apoiadas sobre uma curva fechada no espaco. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.6 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- Expressando a energia em unidades de energia por vazão em peso, temos: V .A.V E 2 3 C = = ρ g.2 .g. A.V .2 W ρ • A energia de posição é a medida pela altura da localização da massa líquida acima de um plano de referência, ou seja, é o trabalho necessário para elevar o fluido até aquela posição. Se a m assa de água é elevada até uma altura h, a energia requerida é o peso .V W = γ , onde V é o volume de fluído, vezes a altura h, ou seja: peso conduz a: h. .g. EPW V = ρ Expressando-se esta energia em relação à vazão em h h. .g. h. .g. EPW = = ρ = ρ V V .g. .g. A.V W ρ ρ • V onde h a unidade de tempo, a massa líquida avança uma distância proporcional a V, que é a velocidade média do escoamento. O trabalho efetuado pela força de empuxo, por unidade de tempo, é dado por P.A.V: Da me a das energias anteriores, a expressando em relação à vazão em peso conduz a: é a distância medida desde o plano de referência até o centro de gravidade do conduto. A energia potencial de pressão é a medida do trabalho feito pela força de pressão na massa líquida. Se a pressão que atua na massa líquida é simbolizada por P, o empuxo total na seção transversal é P.A. N EP = .P A.V sma form = = = P .P A.V .P A.V EP γ ρ • .g. A.V W W . A soma algébrica dessas três formas de energia, fornece a energia por unidade de peso contida na água em a dada seção do conduto. escoamento através de um P V2 γ 2g + H = h + (2.9) A e ção de Bernoulli. xpressão 2.9 é conhecida como Soma de Bernoulli ou Equa Carga em uma Seção Transversal de um Conduto Forçado Em uma seção transversal de um conduto forçado define-se a carga da seção transversal como sendo a soma: γ 2g Z H + + = onde Z é a cota do centro de gravidade da seção transversal com relação a um plano de referência horizontal arbitrário. P V2 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.7 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- -- O termo ( γ) pois tem a dimensão de um comprimento. a P é denominado Altura Piezométrica, A som ( ) + γ Z P denomina-se Cota Piezométrica. O termo ( ) V 2 2g denomina-se Taquicarga e também tem a dimensão de um comprimento.Como as três parcelas acima têm a dimensão de um comprimento, é possível somá- las, gerando uma grandeza chamada Carga Hidráulica, a qual também tem a dimensão de um comprimento. Cabe ressaltar que a dimensão comprimento é, na realidade, a simplificação das grandezas que compõem o quociente, isto é, ( )     =     força.deslocamento / tempo energia ( )   .deslocamento / tempo força ( )( ) =  volume/ tempo H força / volume  [ ] m deslocamento H = = p1/γ linha piezométrica Linha de energia p2/γ v1 2/2g v2 2/2g z1 z2 linha de corrente Plano de referência Figura 2.5 Representação gráfica da soma de Bernoulli     vazão .peso específico vazão empeso Soma de Bernoulli Aplicada às Correntes Líquidas : Coeficiente de Coriolis. Na prática, interessa conhecer as condições de movimento das correntes líquidas. Estas correntes são massas líquidas com dimensões definidas, deslocando-se numa dada direção e que podem ser supostas como sendo compostas por uma série de filetes líquidos paralelos entre si e paralel referência para o valor da cota piezométrica. Deve-se, também, calcular a taquicarga considerando a variação de velocidade dos filetes líquidos que compõem a seção transversal do escoam ue é possível considerá- los como retilíneos, paralelos e atravessando normalmente a seção transversal, a pressão varia na seção hidrost a velocidade média. Esse coeficiente de correção, chamado Coeficiente de Coriolis (α), depende da forma da distribuição do perfil de velocidades que se desenvolve na seção transversal do escoamento. os ao eixo do conduto. Na aplicação da soma de Bernoulli às correntes líquidas, é conveniente considerar o eixo do conduto como ento. Quando a curvatura dos filetes líquidos é muito pequena, de tal forma q aticamente. Assim, a cota piezométrica é a mesma para qualquer filete. No que se refere à carga devida à velocidade, como a velocidade de cada filete é diferente, sua energia cinética também será diferente. O cálculo dessa energia através da velocidade média do escoamento produz um valor menor do que aquele calculado através da média das energias cinéticas de cada filete líquido. Entretanto, pode-se introduzir um coeficiente de correção no valor da energia cinética calculada a partir d 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.8 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Assim, a verdadeira carga em uma seção transversal, calculada a partir da velocidade média, se escreve: H Z V g P = +     + α γ 2 2 onde α é o coeficiente de Coriolis. Da definição do coeficiente de Coriolis obtêm-se a sua expressão matemática dada por: α =     ∫ 1 3 A v V dA (2.10) onde v é a velocidade de um elemento de filete e V a velocidade média na seção transversal. Para condutos forçados, α normalmente varia entre 1 e 2. No caso de escoamento laminar em condutos circulares, o valor do coeficiente de Coriolis é igual a 2 e, para escoamento turbulento, apresenta valores mais próximos de 1 (em geral, 1,01 a 1,15). Nos cálculos usuais, utiliza-se, freqüentemente, a unidade, uma vez que a taquicarga representa, na maior parte das vezes, apenas uma pequena parcela da carga. Para canais abertos o valor de α varia normalmente entre 1,10 e 2,00. Ven Te Chow (1959) cita casos excepcionais onde o coeficiente de Coriolis chega a atingir o valor 7,4. Como exemplo, supondo que o escoamento turbulento, num conduto circular cilíndrico, possa ser expresso por um perfil do tipo Lei da Potência de Prandtl ( ) 7 1 Centro R r 1 U u r       − = (2.11) onde: Ucentro é a velocidade máxima junto ao eixo do conduto, a velocidade média poderá ser obtida por processo análogo ao empregado para o caso de escoamento laminar, ou seja: ( ) V R u r r.dr.d U R r R r.dr R centro R = =  −    ∫∫ ∫ 1 2 1 2 0 0 2 2 1 7 0 π θ π . que, integrando, resulta em: V U u V r R Centro = =     98 120 120 98 1 1 7 ou − (2.12) Aplicando-se a equação (2.12) na definição de coeficiente de Coriolis (equação 2.10), tem-se: α π θ π =      −    ∫∫ 1 120 98 1 2 3 3 7 0 0 2 . . R r R r.dr d R que integrada resulta: α ≈ ,1 06 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.9 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Traçado geométrico das linhas de energia e piezométrica É comum confundir-se a declividade da linha de energia, definida como a declividade da linha traçada entre a energia de dois pontos desenhados num perfil de desenvolvimento do conduto, com a perda de carga unitária J (perda de energia por unidade de comprimento). Para condutos simples de seção constante, a coincidência só pode existir em trechos horizontais de canalização. Em trechos não horizontais teremos a variação da linha de energia dada pelo ângulo δ da figura 2.6. Ao se representar graficamente trechos retilíneos do mesmo conduto, com inclinações diferentes em relação ao plano horizontal, surgem linhas de energia e piezométrica quebradas, pois por definição J hp L e L L = ' = cosδ e, por conseqüência, tem-se: tan ' cos . cos cos δ α α = = = = hp L hp L J L L J α Para α δ α δ α δ α δ = ° = = ° = = ° = = ° = 0 45 1 414 60 2 75 3 864 tan tan , . tan . tan , . J J J J L α δ P γ 2 P γ 1 1 2 L' hp V 2.g 2 Figura 2.6 Traçado das linhas de energia e piezométrica. A figura 2.7 ilustra o traçado correto da linha de energia para dois trechos de um único conduto com o mesmo comprimento L. α≠0 L L β β' hp/2 hp/2 Linha de energia correta Linha de energia incorreta H0 H1 H2 α=0 Figura 2.7 Traçado de uma linha de energia para um conduto único com diferentes declividades de linha de eixo. Apenas o cálculo analítico permite conclusões sobre o valor da carga, da cota piezométrica, da altura piezométrica e da pressão em cada seção transversal de um escoamento 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.10 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Influência da velocidade de aproximação Quando o conduto sob pressão parte de um reservatório, sendo a área deste muito grande em relação às dimensões do conduto, o valor da velocidade de abaixamento do nível da linha d'água no reservatório (velocidade da água no reservatório) poderá ser desprezada. A hipótese citada causará uma variação no resultado insignificante, como pode se ver no exemplo, da figura, onde se determina a vazão considerando ou não a velocidade de aproximação. * Solução (a) V1 ≠0 (considerando a velocidade do reservatório). ∅=0,20m 2 Q hp=2,00m 5,00m 20,00m 1 ∅=1,00m Figura 2.8 Exemplo da influência da velocidade de aproximação Aplicando Bernoulli entre 1 e 2 tem-se (V1≠0) : p 2 1 h H H + = 0,2 2g V 0,5 2g V 0, 20 2 2 12 + + = + Da equação da continuidade sabe-se que 2 1 Q = Q ou 2 2 1 1 V A V A = ou ainda V 2 2 12 ,0 0016 V = Substituindo na equação de Bernoulli: ,0 502047m / )s (Q ,0 502 m / s Q e 15,981m / s V 3 3 2 = = = * Solução (b): V1=0 (desconsiderando a velocidade do reservatório). ,0 08% Q Q ; ,0 501645 m / )s (Q ,0 502 m / s Q e 15,968 m / s V 13 2 g V 0 ; V 3 3 2 2 2 1 = ∆ = = = ⇒ = = Portanto, o fato de desconsiderar a velocidade de rebaixamento do nível do reservatório causa no exemplo em questão, um erro absoluto de 0,08%, erro este insignificante. O problema principal é a definição de quando se está na presença de um reservatório ou de uma estrutura em que a velocidade de aproximação é importante, pode-se definir em termos práticos que para situações usuais, quando o diâmetro do reservatório ultrapassa determinado limite a velocidade de aproximação pode ser desprezada, ou seja, isto é possível quando Conduto Reservatório .3 D D ≥ (2.13) nestes casos a área do reservatório será 9 vezes maior do que a do conduto e a velocidade 9 vezes menor, resultando numa energia cinética 81 vezes menor no reservatório que no conduto, logo, desprezível. 26/3/2008 Hidraulica - Condutos forgados 2.11 2.1.3. Escoamento Laminar e Turbulento Reynolds (* 1842-1912) através de analise experimental, constatou que o fluido num conduto pode estar se movimentando em dois regimes distintos de escoamento, o laminar e o turbulento (figura 2.9). A experiéncia de Reynolds pode ser descrita em rapidas palavras como segue: a partir de um reservatorio a nivel constante, a 4gua (ou um liquido de viscosidade conhecida) escoa por um conduto de vidro. Através de uma entrada bem ajustada (cénica) e de uma manobra da valvula de controle feita lentamente provoca-se um escoamento permanente dentro do conduto de vidro. Estando 0 escoamento bem estabelecido (apds uma distancia equivalente a 10 a 40 diametros da entrada), injeta-se um corante no eixo do conduto de vidro de diametro D. A Agua escoa com uma velocidade média V e sua viscosidade é v. Variando a velocidade, o diametro e a viscosidade, Reynolds constatou a presenga dos dois regimes de escoamentos: um primeiro tipo de escoamento, ordenado, onde o corante nao se dispersava, que Reynolds denominou Escoamento Laminar; um segundo tipo onde o corante se dispersava com rapidez, aparentando desordem nas suas linhas de corrente, que Reynolds denominou Escoamento Turbulento ; e, entre os dois, Reynolds detectou uma zona de transigéo em que ocorre ora uma situa¢aéo ora outra. — ] Injegao de corante Hoe aero e NR DQ DSSS SS SSS \ Valvula de P| ! | controle Zona de transi ¢ Ao weit ST ( Entrada bem Hs eee ajustada SAN SSS Escoamento turbulento me. Ss LY Figura 2.9 Experiéncia de Reynolds O surgimento de um ou outro tipo de regime se da com as seguintes condic¢6es: a) Para um diametro constante, com baixas velocidades ou fluido com viscosidade elevada, a dispersao do corante nao existira em grande escala, permanecendo individualizado no interior do escoamento. Este escoamento € constituido por linhas de corrente perfeitamente definidas, que se deslocam paralelamente ao eixo do conduto sem se misturarem (escoamento laminar). b) Nao variando o diametro do conduto, com o acréscimo da velocidade ou a diminui¢ao da viscosidade, os filamentos de corante comecam a oscilar, variando a sua posi¢éo com o tempo e espaco, aparecendo eventualmente pequenas perturbac6es c) Aumentando mais ainda a velocidade ou diminuindo ainda mais a viscosidade, os filamentos de corante se misturam ao escoamento (escoamento turbulento). 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.12 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- d) Mantendo constante a velocidade e a viscosidade e variando o diâmetro, com o aumento deste a tendência de obter-se escoamentos desordenados aumenta. As três características acima mencionadas, indicam dois regimes distintos de escoamento: laminar e turbulento, os quais podem ser identificados expressando as grandezas hidráulicas que os definem de forma adimensional.Reynolds estabeleceu uma relação, que deu origem a um parâmetro adimensional, relacionando as forças de inércia e os efeitos viscosos do escoamento, denominado em sua homenagem de Número de Reynolds, definido pela seguinte relação: ν = µ = ρ V D V D ou . . . Re Re (2.14) onde V = velocidade média do escoamento, ρ = massa específica do fluido, µ = coeficiente de viscosidade dinâmica, ν = coeficiente viscosidade cinemática e D = diâmetro do conduto. Em outras palavras, em função da magnitude deste número adimensional, para dada geometria, pode-se definir a possibilidade de existência de um ou outro tipo de escoamento. Utilizam-se as expressões "dada geometria" e "possibilidade de existência", pois a definição de tipo de escoamento dado pelo número de Reynolds não é de toda absoluta. Em função da geometria do escoamento (graus de liberdade do escoamento) e de perturbações que possa haver, os valores limites sofrerão variação e, no caso, a definição da existência ou não do escoamento turbulento dependerá também dessas outras variáveis. Embora o número de Reynolds em que começa a haver escoamento turbulento não seja perfeitamente definido, é possível estabelecer, com um bom grau de aproximação, um valor crítico abaixo do qual o escoamento sempre será laminar, ou seja, mesmo que se introduza perturbação no escoamento estas serão amortecidas pela viscosidade e o escoamento volta a ser ordenado. A determinação analítica do número de Reynolds crítico não é simples de ser obtida; teorias lineares7 resultam em números muito altos em relação aos valores experimentais, por exemplo no caso de escoamento entre duas chapas planas obtêm-se como número de Reynolds Crítico o valor 5772 e, através da experiência é notório que para valores próximos de 1000 pode se ter escoamento turbulento. Teorias mais sofisticadas, não lineares, que levam em conta a presença de instabilidades secundárias, se aproximando mais da realidade física, atingem valores de transição mais próximo dos valores experimentais entretanto, mesmo estes modelos matemáticos mais sofisticados ainda não dão respostas plenamente satisfatórias. Devido a isto tudo se utiliza, ainda, dados experimentais para definir a transição. Rigorosamente pode-se dizer: *que abaixo de um valor crítico pré-determinado de número de Reynolds, para uma determinada geometria, ter-se-á certamente escoamento laminar (ReCRÍTICO LAMINAR≈2100±500); *que acima deste valor crítico a tendência a surgir escoamento turbulento aumenta exponencialmente com o aumento do número de Reynolds do escoamento e 7 O grau das instabilidades que levam a turbulência ainda não está perfeitamente determinado. Para uma abordagem rigorosa e inicial do assunto ver SHERMAN, Frederick S. 1990, Viscous Flow. McGraw Hill 438-577 e para uma visão amais física ver TRITTON, D.J. 1988. Physical Fluid Dynamics. Oxford Science Publications Capítulo 18. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.13 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- *que entre o escoamento laminar típico e o escoamento turbulento, haverá uma zona de transição onde poderá ocorrer um ou outro tipo de escoamento. Esta zona poderá apresentar escoamento laminar que, com fortes oscilações que poderão degenerar em turbulência caso o conduto tiver comprimento suficiente para tal (para ReCRÍTICO TURBULENTO≈4700 a 5900 tem-se um fator de intermitência8 da ordem da unidade e praticamente sem chance para existir escoamento laminar para ReCRÍTICO TURBULENTO≈50000). Em aplicações práticas, as “perturbações ao escoamento", tais como vibrações, condições de entrada irregulares, imperfeições na geometria do conduto, etc..., fazem com que a zona de transição fique mais restrita, podendo ser atingido rapidamente regimes de escoamento turbulento. Para o caso de condutos circulares cilíndricos pode-se adotar como limites para a transição do escoamento laminar para turbulento, em aplicações práticas, os seguintes valores: Regime Laminar : ReCRÍTICO LAMINAR ≈ 2100 Regime Turbulento: ReCRÍTICO TURBULENTO ≈ 4500 Entre esses dois limites, tem-se a zona de transição, variando com outros parâmetros que não estão representados no número de Reynolds. Só o número Reynolds não é suficiente para descrever o escoamento turbulento num conduto qualquer, para o caso de condutos de paredes9 onde a rugosidade é relativamente insignificante ante o efeito da viscosidade junto às mesmas, eles sozinho serve para caracterizar as condições de semelhança do escoamento em condutos sob pressão, porém, quando a rugosidade das paredes for importante, para caracterizar o escoamento necessitando-se de outro parâmetro, a rugosidade relativa. 2.2. Camada limite Mesmo supondo a priori um conhecimento teórico dos conceitos de camada limite, é necessário uma introdução sobre as peculiaridades desta quando se trata de condutos forçados. 2.2.1. Conceito de camada limite Na maior parte das situações reais de escoamentos a influência da presença de contornos sólidos provocando um retardo no fluxo, somente é perceptível numa região bem próxima à parede, sendo a condição do fluido de não sofrer deslizamento junto à parede10 responsável por este retardo. A partir da constatação anterior em escoamentos de baixa viscosidade11 é possível dividir o escoamento em duas regiões distintas: uma região externa, onde a influência da parede não é significativa e outra região interna, onde os efeitos da viscosidade do fluido deverão ser levados em conta. 8 Fator de intermitência relaciona para uma dada região do espaço o tempo em o escoamento permanece em regime turbulento com o tempo total do escoamento, fator de intermitência zero significa escoamento puramente laminar,e fator unitário significa escoamento completamente turbulento. 9 Paredes hidraulicamente lisas. 10 Condição de não deslizamento. 11O conceito de escoamento de baixa viscosidade não implica diretamente na classificação dos fluidos em fluidos de alta ou de baixa viscosidade, implica, isto sim, em um número de Reynolds alto, ou seja, para uma dada geometria, as velocidades são preponderantes sobre a viscosidade do fluido. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.14 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- A vantagem da divisão do escoamento em duas regiões é que na região externa o comportamento do fluido pode ser simulado por hipóteses de escoamento potencial sem que haja erros significativos no seus cálculos que serão extremamente simplificados. Na região interna, a viscosidade terá que ser levada em conta porém, como a espessura desta região é pequena, a pressão que nela atua será igual à pressão obtida pelo cálculo da camada externa. Este conceito de divisão do escoamentos de baixa viscosidade em duas regiões distintas foi enunciado pela primeira vez por Ludwig Prandtl12 em 1904. Antes de ser postulada a teoria da camada limite, as fronteiras entre a zona de influência da parede e a zona potencial não eram claros. A simplificação introduzida pela teoria da camada limite permite a solução de escoamentos a altos números de Reynolds através da adoção de hipóteses simples como a do comprimento de mistura, a qual não exige modelos matemáticos complicados. U ∞ Zona externa δ( ) Zona interna x δ( ) x = espessura da camada limite escala vertical (y) exagerada y x Placa plana de bordos agudos u ( x , y) Perfil de velocidades U ∞ Figura 2.10 Esquema geral do início do desenvolvimento da camada limite em regime laminar. A figura 2.10 apresenta, de forma esquematizada, o início do desenvolvimento da camada limite para o escoamento de um fluido sobre uma chapa plana com gradiente de pressão nulo. O fluido, que no bordo agudo da placa apresenta um perfil uniforme de velocidades, quando começar a escoar sobre a placa apresentará, junto à superfície sólida da parede uma velocidade nula. Esta situação, condição de não deslizamento, é válida tanto para velocidades baixas como para velocidades muito altas (até 4 a 5 vezes a velocidade do som). O espessamento da camada limite sobre um perfil plano em regime laminar, ocorrerá até o momento que instabilidades perturbarem este escoamento, a figura 2.11. mostra, de forma idealizada, um possível cenário de transição para a turbulência na camada limite. O cenário descrito na figura 2.11 necessariamente não ocorre em todas as situações de transição para a turbulência, ele mostra os eventos possíveis que podem ocorrer na transição entre camada limite laminar e camada limite turbulenta plenamente desenvolvida. De acordo com o cenário proposto, a primeira perturbação do escoamento laminar é produzida por efeitos lineares sobre o escoamento laminar. Estas perturbações, descritas pela equação de ORR- SOMMERFELD são denominadas ondas de Tolmien-Schlichiting ou de perturbações primárias. Elas se comportam de forma laminar, porém com componentes bidimensionais. 12PRANDTL, Ludwig. 1904. Über Flüssigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Proc. Third Intern Math. Congress, Heidelberg, p484-91 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.15 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- À medida que o escoamento evolui de montante para jusante, o perfil de velocidade junto à camada limite (mais veloz longe da parede do que próximo a ela) provoca um avanço da crista das ondas de Tolmien-Schlichiting em relação à cava da mesma onda. Este avanço criará uma componente rotacional com eixo paralelo à superfície do contorno sólido. A tendência à rotação do escoamento cria diferenças localizadas de pressão que tendem a ampliar as ondas de Tolmien-Schlichiting. Corte Fluxo uniforme de baixa intensidade turbulenta. Ondas de Tolmien- Schlichiting (bidimensionais) Perturbações primárias Ondas tridimensionais (laminares). Vórtices tipo λ Vórtices tipo λ Zona de eclosão da turbulência (Burst) Manchas de turbulência (Spots) Turbulência plenamente desenvolvida Planta baixa Atenção: As escalas estão distorcidas. Escoamento laminar Figura 2.11. Esquema de transição à turbulência na camada limite (WHITE,1974) Com as ondas de Tolmien-Schlichiting ampliadas a um determinado nível, surgirão instabilidades normais a estas ondas e instabilidades secundárias, criando um segundo tipo de vórtices com eixo de rotação não mais paralelo às ondas primárias. Estes vórtices são denominados vórtices tipo λ (lambda). Desde o início do escoamento na camada limite até o surgimento dos vórtices tridimensionais tipo lambda o escoamento é inteiramente laminar, ou seja, é um escoamento ordenado e perfeitamente previsível. A partir deste ponto é que começam a surgir, de forma intermitente no tempo e no espaço, perturbações tridimensionais turbulentas. A região em que começam a surgir às perturbações tridimensionais turbulentas é denominada região ou zona de eclosão da turbulência onde "explosões" ("burst") de turbulência surgem em diversos pontos sendo transportados pelo escoamento. Após essa, de eclosão tem-se pontos junto à parede onde a geração de turbulência é ainda mais intensa, sendo estes pontos de geometria mais ou menos regular, denominados manchas de turbulência ("spots"). A divisão das regiões de geração de turbulência em zona de eclosão e zona de manchas de turbulência não é rigorosa. O padrão de geometria das manchas de turbulência ("spots") é mais ou menos regular e podem ser identificados no escoamento, porém elas poderão surgir ao longo de toda a região de geração de turbulência e nesta região também poderão aparecer outras estruturas turbulentas, com outros padrões, semelhantes aos padrões dos “spots”. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.16 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2.2. Camada limite em escoamentos internos O descrito no item anterior é válido para escoamentos externos sobre placas planas, entretanto no caso de escoamentos confinados em condutos, onde o desenvolvimento da espessura dessa camada fica limitado às dimensões do conduto e, no momento em que a camada limite já estiver plenamente desenvolvida, às características dessa camada, será função somente de uma variável (distância à parede). Apesar das equações da camada limite serem mais simples no caso de escoamentos internos do que nos externos, tem-se dificuldade na definição do ponto em que a influência da entrada do escoamento não é mais atuante e também na descrição desta região. Enquanto o escoamento sofrer influência das condições de entrada ele deve ser tratado como um caso tridimensional A figura (2.12) representa o caso da entrada do escoamento em um conduto e divido-o em quatro regiões distintas, sendo que as três primeiras são regiões de estabelecimento do escoamento e a última, a região de escoamento plenamente desenvolvido. I II III IV Núcleo Potencial δ δ D/2 D Vista geral do conduto Efeitos da entrada Escoamento desenvolvido Zonas I, II e III Zona IV Lest 40.D ≈ x δ= espessura da camada limite Núcleo Potencial Camada limite Figura 2.12. Desenvolvimento da camada limite em um conduto cilíndrico circular. A seguir detalha-se o comportamento de cada região uma das regiões na entrada de um escoamento num conduto. Zona I: Zona de efeito de forma da entrada (x<D) Na primeira zona o efeito das paredes sobre o escoamento e, por conseqüência o efeito da camada limite, não se faz notar. O efeito do retardo do escoamento provocado pela influência da viscosidade junto às paredes não provoca variações significativas no núcleo potencial do escoamento, sendo o efeito da forma da entrada o mais predominante. Esta região deve ser tratada como uma região de escoamento potencial, desprezando-se o efeito da viscosidade. Zona I Figura 2.13. Perfil da velocidade média na entrada do conduto. 26/3/2008 Notas de aula de Hidráulica - Condutos forçados 2.17 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Condutos muito curtos, onde L≈D, são estudados como bocais ou orifícios, permitindo a sua solução mediante a aplicação de metodologias desenvolvidas para estes, ignorando-se por completo o efeito das paredes na obstução do escoamento, tratando-se, em última instância, como uma singularidade no escoamento. Zona II: Zona de desenvolvimento da camada limite Na segunda zona o efeito da viscosidade junto a parede (camada limite) não é suficiente para atingir o eixo do conduto, mas o retardo do escoamento junto as paredes é de tal ordem que causa uma aceleração significativa no centro, introduzindo uma queda na pressão dinâmica da ordem de 0,1V2ρ a 1V2ρ nesta região. Denomina-se esta região de zona de interações por deslocamento devido aos efeitos na pressão e na tensão de cisalhamentos causados pela a aceleração do núcleo. O fim desta região é função do tipo de escoamento, sendo maior no caso de escoamento laminar na entrada e menor no caso de escoamento turbulento. Zona II Incremento da velocidade no núcleo potencial devido a influência da camada Figura 2.14. Perfil de velocidades na região do cone potencial. No caso de escoamento laminar estima-se o comprimento (lE) desta região a partir da entrada do conduto, em função do número de Reynolds, em: . 0 ,0 05. D E Re l = (2.15) este valor é resultado de uma aproximação assintótica onde o perfil atinge praticamente o perfil totalmente desenvolvido. Para um número de Reynolds da ordem de 2000 este valor atinge um comprimento de 100D0. No caso de escoamento turbulento além do número de Reynolds o comprimento será função da rugosidade na entrada e ao longo do conduto, SOLODKIN & GUINEVSKY para condutos lisos o comprimento apartir da entrada é dado por: ( ) [ ,4 35 . 0 ,7 88.ln D E − = Re ] l (2.16) Para um número de Reynolds da ordem de 5x105 este valor atinge um comprimento da ordem de 40D0, que é relativamente menor do que na caso laminar. 26/3/2008 Hidráulica - Condutos forçados 2.18 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Zona III: Zona de interação da camada limite Para o caso de escoamento turbulento, no fim da zona II, a camada limite desenvolvida pelas paredes se encontra no centro do conduto não causando mais acelerações, porém este encontro criará interações, entre elas. Esta interação que se imaginava produzir efeitos exclusivamente na camada externas da camada limite, pode provocar influência das paredes vizinhas (estrutura global do escoamento) e até na sub-camada-viscosa, como se tem demonstrado em trabalhos científicos mais recentes. Por este motivo à análise desta região não é muito conhecida. Zona III τ τ Figura 2.15. Perfil de velocidade média na região de interação da camada limite. O comprimento desta região não está bem definido, porém medidas experimentais estimam em 30% a 40% o comprimento da Zona II, ou seja da ordem de 20D0. Nesta região a pressão varia num primeiro momento de forma positiva e da sua metade para diante de forma negativa atingindo a pressão de regime. A Zona III, sob o ponto de vista de dimensionamento de condutos pode ser ignorada, pois o seu efeito é muito pequeno em relação as alterações das zonas I e II. Zona IV: Escoamento plenamente desenvolvido A partir da distância de aproximadamente quarenta diâmetros, o escoamento encontra-se estabilizado e, caso não haja variação na geometria ou mudança de direção, toda a perda de energia deverá ser compensada exclusivamente pela variação da energia potencial (pressão ou posição). Quando o escoamento estiver estabilizado, suas características variarão somente com a distância à parede, simplificando em muito a teoria e as equações que descrevem esta região. As equações de perfil de velocidades, tensão de cisalhamento ou perda de carga que aparecem nos textos básicos de Mecânica dos Fluidos e Hidráulica são deduzidas para esta região. A descrição acima feita tem por objetivo demonstrar que todo o desenvolvimento de cálculo de perda de carga linear terá seu pleno sentido quando o comprimento da canalização for maior do que 150 a 200 diâmetros, pois a partir deste comprimento os efeitos da perda distribuída em relação aos efeitos da entrada são completamente preponderantes. Para comprimentos menores do que estes, a singularidade tem mais importância que o efeito da perda linear ao longo do conduto,, devendo-se dar ênfase aos cálculos de perdas singulares quanto menor for o comprimento do conduto. Após uma mudança de diâmetro (brusca ou gradual com ângulo forte) ou mudança de direção, haverá também um efeito desta singularidade sobre o escoamento, criando entre dois regimes estabelecidos uma zona de transição, que será tanto maior maior quanto for à diferença de diâmetros ou mais abrupta fora mudança de direção. Esta descrição também é importante no momento em que se instala um equipamento para medir velocidade ou vazão num conduto fechado, devendo-se respeitar uma distância de no mínimo 40 a 50D0 em relação a qualquer singularidade.