Exercício 4 Aula 27-2022 1

Exercício 4 aula 27 Uma correia larga se movimenta num tanque que contém um líquido viscoso (figura). O movimento da correia é vertical e ascendente e a velocidade da correia é V0. As forças viscosas provocam o arrastamento de um filme de líquido que apresenta espessura h. Note que a aceleração da gravidade força o líquido a escoar, para baixo, no filme. Obtenha uma equação para a velocidade média do filme de líquido a partir das equações de Navier-Stokes. Admita que o escoamento é laminar, unidimensional e que o regime de escoamento é o permanente. Considerações sobre o escoamento: v = v (x) u = w = 0 Permanente: 𝜕 𝜕𝑡 = 0 𝜕𝑝 𝜕𝑥 = 𝜕𝑝 𝜕𝑦 = 𝜕𝑝 𝜕𝑧 = 0 Eq. N-S em y: 𝜌 ( 𝜕𝑣 𝜕𝑡 + 𝑢 𝜕𝑣 𝜕𝑥 + 𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑦 + 𝑤 𝜕𝑣 𝜕𝑧) = − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 + 𝜇 ( 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑦2 + 𝜕2𝑣 𝜕𝑧2) + 𝜌𝑔𝑦 𝜇 𝜕2𝑣 𝜕𝑥2 + 𝜌. −𝑔 = 0 𝜇 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = 𝜌. 𝑔 𝑑2𝑣 𝑑𝑥2 = 𝛾 𝜇 Integrar uma vez: 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝛾 𝜇 . 𝑥 + 𝐶1 → 0 = 𝛾 𝜇 . ℎ + 𝐶1 → 𝐶1 = − 𝛾 𝜇 . ℎ Integrando novamente: 𝑣 = 𝛾 2𝜇 . 𝑥2 + 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2 → 𝑉𝑜 = 0 + 0 + 𝐶2 → 𝐶2 = 𝑉𝑜 Condições de contorno: x = 0 → v = Vo x = h →  = 0 → dv/dx=0 encontramos C1 e C2, substituindo: 𝑣 = 𝛾 2𝜇 . 𝑥2 + 𝐶1. 𝑥 + 𝐶2 𝑣 = 𝛾 2𝜇 . 𝑥2 − 𝛾 𝜇 . ℎ. 𝑥 + 𝑉𝑜 → perfil de velocidades Velocidade média: V = Q/A A vazão por unidade de largura é: q = Q/Largura 𝑞 = 1 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 ∫ ( 𝛾 2𝜇 . 𝑥2 − 𝛾 𝜇 . ℎ. 𝑥 + 𝑉𝑜) . 𝑑𝑥. 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 ℎ 0 𝑞 = 𝛾 6𝜇 . 𝑥3 − 𝛾 2𝜇 . ℎ. 𝑥2 + 𝑉𝑜. 𝑥 𝑞 = 𝛾 6𝜇 . ℎ3 − 𝛾 2𝜇 . ℎ3 + 𝑉𝑜. ℎ 𝑞 = 𝑉𝑜. ℎ − 𝛾 3𝜇 . ℎ3 Velocidade média = q/h 𝑉 = 𝑉𝑜 − 𝛾 3𝜇 . ℎ²