Apostila Lei de Poisson deformações Específicas Transversais - t -2022 2

II.6 – Lei de Poisson (deformações específicas transversais - εT) Quando um corpo é submetido à σ, na direção perpendicular à tensão surgem deformações específicas transversais - εT. Define-se: εT=D-D0/D0 εT tem as seguintes características: * εT e εT tem sinais opostos * εT e εT são proporcionais: εT = - ν εT * εT é homogêneo numa dada seção. Ex: Na seção transversal acima εT =∆A/A0=∆B/B0 As constantes elásticas E, G e ν, se relacionam através da seguinte expressão: G=E/2(1+ν) σ L0 L D0 D A0 B0 ∆A ∆B II.7- RELAÇÕES SOLICITAÇÕES-TENSÕES Neste item serão vistos: • Relações unidimensionais (N, M) • Estados tri-dimensionais de tensão e relações tri-dimensionais (Q, MT) II.7.1 – Relações unidimensionais a) Esforço normal simples Este caso acontece quando uma força é aplicada no centro de gravidade (cg) da seção (se a força está aplicada fora do cg, além do esforço N, também surgirão na peça momentos fletores M). HIPÓTESE: Esforço normal produz tensões normais σ que são uniformemente distribuídas na seção. σ=dN/dA σdA=dN ∫σdA=∫dN E devido a hipótese: σ ∫dA=∫dN ou σA=N ou σ=N/A F F F F F s s N F Considerando o σ admissível para um dado material, N/A=σlim/s Projeto: s é conhecido, calcula-se A. Verificação: A é conhecido, calcula-se s. Nestes casos também é possível calcular o alongamento ∆L apartir do N: ε=∆L/L0 Aplicando Hooke: ε=σ/E igualando as duas eqs: ∆L/L0=σ/E Como neste caso σ=N/A; ∆L/L0=N/E A ∆L=N L0/E A EXEMPLOS: 1-Para a treliça abaixo, considerar os seguintes casos a) Dimensionar as barras a e b considerando σesc=100 MPa e s=2. Solução: N/A=σlim/s Na=220 KN; Nb=-311,1 KN Barra a: 220.000/Aa=100/2 Aa=220.000/50=4.400 mm2 Barra b: -311.100/Ab=-100/2 Ab=311.100/50=6.222 mm2 2m 3m 2m 2m 2m 2m 2m 3m 2m 100 KN 50 KN 20 KN a b c d e f b) Dimensionar as barras a e b considerando σRT=50 MPa ; σRC=-150 MPa e s=2. Solução: N/A=σlim/s Na=220 KN; Nb=-311,1 KN Barra a: 220.000/Aa=50/2 Aa=220.000/25=8.800 mm2 Barra b: -311.100/Ab=-150/2 Ab=311.100/75=4.148 mm2 c) Verificar a segurança das barras a e b considerando σRT=50 MPa ; σRC=-150 MPa, sabendo que a área das mesmas é 100 cm2. Solução: N/A=σlim/s Na=220 KN; Nb=-311,1 KN (Obs: 100 cm2=100x102 mm2) Barra a: 220.000/10.000=50/sa sa=2,27 Barra b: -311.100/10.000=-150/sb sb = 4,82 Obs: segurança da estrutura é sempre o menor valor de s encontrado, logo no caso s=2,27. 2 – a) Calcular a segurança da estrutura, considerando que o cabo tem σesc=400 MPa e área de 1 cm2. F= 2tf. Barra AB é rígida. Solução: ΣMz A=0 N1*2-F*3=0 ; N1=F*3/2 = 3 tf = 30.000 N A B 1 2 m 1 m C F A B 1 2 m 1 m F Ry A Rx A Rx c Rx c MA A B 1 2 m 1 m F Ry A Rx A N1=Rx c Como se trata de um cabo, o mesmo só absorve esforço normal, logo a única reação não nula é aquela na direção da normal N/A=σlim/s 30 000/100=400/s s=1,33 b) Calcular a deflexão do ponto B. E1=200.000 MPa, comprimento do cabo 1m. Solução: ∆L1=N1 L0/E1 A1 Logo o alongamento do cabo 1 fica: ∆L1 = 30.000*1.000/200.000*100 = 1,5 mm Por semelhança de triângulos, pode-se dizer δB/3=∆L1/2 Logo, δB= 2,25 mm A B 1 C F ∆L1 δB 3 – Calcular a segurança da estrutura, considerando que cabo 1 e 2 são iguais com σesc=400 MPa e área de 1 cm2. F= 2tf. Barra AB é rígida. Solução: ΣMz A=0 N1*2 + N2*1 = F*3 ΣFx=0 Rx A=0 ΣFy=0 Ry A + N1 + N2 = F A B 1 1 m 1 m C F D 2 1 m A B F Ry A Rx A N1=Rx c N2=Rx D PROBLEMA HIPERESTÁTICO (1X HIPER, POIS HÁ UMA INCÓGNITA A MAIS QUE O NUM. DE EQ.) Para solucionar o problema deve-se estudar como se dá a deformação da estrutura: Por semelhança de triângulos, pode-se dizer ∆L1/2=∆L2/1 Logo, ∆L1=2∆L2 Considerando agora a lei constitutiva do material (Hooke) ∆Li= Ni L0/Ei Ai Logo a equação acima fica: N1 L0/E1 A1= 2 N2 L0/E2 A2 Como os cabos são iguais, N1=2 N2 Tem-se agora uma quarta equação que vai permitir a solução do problema hiper-estático. Observe que esta eq. auxiliar não vem das leis de Newton. Ela vem do ESTUDO DE DEFORMAÇÃO + APLICAÇÃO DAS EQS CONSTITUTIVAS A B F 1 C ∆L1 2 D ∆L2 Newton: N1*2 + N2*1 = F*3 Deformação + Hooke: N1=2 N2 Como o cabo mais crítico é o 1, a segurança da estrutura será dada pelo cabo 1. Logo interessa calcular apenas este cabo. N1*2 + (0.5N1)*1 = 20.000*3 N1=24.000 N N/A=σlim/s 24 000/100=400/s s=1,67 4-Idem caso anterior, apenas considerar que E2=3E1. Newton (não muda): N1*2 + N2*1 = F*3 Deformação (não muda): ∆L1=2∆L2 Hooke (muda!!): N1 L0/E1 A1= 2 N2 L0/E2 A2 N1 L0/E1 A1= 2 N2 L0/3E1 A2 N1 = 2 N2/3 ou N2 = 1,5 N1 Logo agora o cabo mais crítico é o 2, a segurança da estrutura será dada pelo cabo 2. Logo interessa calcular apenas este cabo. N2*2/1,5 + N2*1 = 20.000*3 N2=25.714 N N/A=σlim/s 25.714/100=400/s s=1,56 LOGO, PODE-SE CONCLUIR QUE A LEI CONSTITUTIVA DO MATERIAL (PROPRIEDADES DO MESMO) EM PROBLEMAS HIPER-ESTÁTICOS VÃO MUDAR AS SOLICITAÇÕES NA ESTRUTURA 5 – Calcular a segurança da estrutura, considerando que cabo 1,2 e 3 são iguais com σesc=400 MPa e área de 1 cm2. F= 2tf. Barra AB é rígida. Solução: ΣMz A=0 N1*2 + N2*1 + N3*1,5 = F*3 ΣFx=0 Rx A=0 ΣFy=0 Ry A + N1 + N2 = F A B 1 1 m 1 m C F D 2 0,5 m E 3 0,5 m A B F Ry A Rx A N1 N2 N3 PROBLEMA HIPERESTÁTICO (2X HIPER, POIS HÁ DUAS INCÓGNITA A MAIS QUE O NUM. DE EQ.) 1º Estudo de deformação: Por semelhança de triângulos, pode-se dizer, como antes: ∆L1/2=∆L2/1 E também: ∆L1/2=∆L3/1,5 2º Hooke: N1 L0/E1 A1= 2 N2 L0/E2 A2 Como os cabos são iguais, N1=2 N2 e, N1 L0/E1 A1= 2 N3 L0/1,5 E3 A3 Como os cabos são iguais, N1=2 N3/1,5=1,33 N3 Logo chegamos agora a duas eqs. auxiliares que permitirão a solução do problema. Como o cabo mais solicitado é de novo o 1, a segurança deste cabo A B F 2 D ∆L2 1 C ∆L1 3 E ∆L3 fornecerá diretamente a segurança da estrutura. Assim, deixa-se tudo em função de N1. Subst. As eqs acima em Newton: N1*2 + N2*1 + N3*1,5 = 60.000 N1*2 + (0,5N1)*1 + (0,75N1)*1,5 = 60.000 N1=18.461 N N/A=σlim/s 18.461/100=400/s s=2,17 6 - Calcular a segurança no caso abaixo. As áreas dos cabos são iguais e valem A=100 mm2; módulos de elasticidade são E1=100000 MPa, E2=200000 MPa, E3=120000 MPa, E4=210000 MPa. (Considerar barras AB e BC rígidas) σesc de todos os cabos vale 500 MPa. R: s=1,17 A C B 1 2 1m 0.25m 2m 2m 3m 1m 0,9m 1,1m 1m 1m P=50 KN 3 4