Apostila Relações Tridimensionais-2022 2

II.7.2 – Relações tridimensionais (3D) a) Estado de tensões 3D No cubo de tensões abaixo, agem todas as possíveis componentes de tensões: Notação: τij (i => normal do plano onde τ atua; j=> direção) Sentido positivo: é positivo quando no mesmo sentido dos eixos coordenados (arbitrário), medido nos planos positivos do cubo (planos cuja normal externa coincide com os eixos coordenados) Reciprocidade: τxy=τyx ; τxz=τzx ; τzy=τyz x y z σx σy σz τzy τyz τxy τyx τzx τxz Lei de Hooke Generalizada: A fórmula ε=σ/E é válida em casos 1D. Nos casos 3D: εx=σx/E - νσy/E- νσz/E Efeito Poisson εx=[σx- ν(σy + σz )]/E εy=[σy- ν(σx + σz )]/E εz=[σz- ν(σy + σx )]/E Nos casos de cisalhamento não há acoplamento entre as distorções, assim a distorção numa direção é calculada independente da existência de distorções em outras direções: γxy= τxy/G γxz= τxz/G γzy= τzy/G x y z σx σy σz x y z τxy γxy b) Casos partiulares: estados planos (EPT e EPD) Estado Plano de Tensões (EPT): tensões se desenvolvem apenas num plano (xy), sendo todas as demais nulas. Logo: σz=0 ; τzx = τzy= 0 O fato de σz=0 não quer dizer εz=0, devido a generalização da lei de Hooke εz=[σz- ν(σy + σx )]/E εz=[0 - ν(σy + σx )]/E εz=- ν(σy + σx )/E Ocorre quando a espessura do corpo numa dimensão (z) é muito menor que nas demais dimensões (xy). Ex.: chapas x y z σx σy τxy Estado Plano de Deformações (EPD): deformações se desenvolvem apenas num plano (xy), sendo todas as demais nulas. Logo: εz=0 ; γzx = γzy= 0 Considerando a generalização da lei de Hooke εz=[σz- ν(σy + σx )]/E 0=[σz- ν(σy + σx )]/E Logo, σz= ν(σy + σx ) e γxz= τxz/G γzy= τzy/G 0 = τxz/G 0 = τzy/G Logo, τzx = τzy= 0 Ocorre quando a espessura do corpo numa dimensão (z) é muito maior que nas demais dimensões (xy). Neste caso as cargas ao longo de z devem ser uniforme. Também acontece qdo há uma restrição física à deformação. x y z σx σy τxy σz c) Estudo de tensões no entorno de um ponto As tensões acima, ditas “cartesianas”, ocorrem justamente quando a orientação do cubo de tensões é coincidente com os eixos cartesianos. Obviamente se o cubo estiver rotado em relação a orientação acima, as componentes de tensão nas faces serão diferentes! Pode-se demonstrar que existirá uma orientação tal do cubo de tensões no espaço, na qual todas as tensões de corte desaparecem. Planos do cubo de tensões onde isto acontece são denominados planos principais. Define-se também: σ1, σ2, σ3 => Tensões principais: tensões normais que atuam nos planos principais. (São sempre ordenadas da seguinte forma: σ1> σ2> σ3) n1, n2 , n3 => Direções principais: normais externas aos planos principais. Determinação de tensões principais (e planos/direções principais) é importante pois pode-se demonstrar que elas são as maiores tensões normais no entorno de um ponto. x y z σx σy σz τzy τyz τxy τyx τzx τxz x y z σ2 σ1 σ3 n2 n1 n3 Portanto nos casos EPT: z é direção principal e uma das tensões principais é nula (σz=0) e nos casos EPD, z é direção principal e uma das tensões principais é σz=ν(σx + σy). Observe que para o estado de tensões acima z é direção principal e uma das tensões principais é σz mesmo que o caso não seja EPD e σz tenha um valor qualquer. Uma técnica específica para terminação das demais tensões principais será discutida abaixo, considerando que z é direção principal. A determinação neste caso é bem mais simples que um caso geral 3D pois apenas uma rotação em torno de z é necessária. x y z σx σy τxy x y z σx σy τxy σz d) Estudo de tensões no entorno de um ponto: z é direção principal Seja o estado de tensões abaixo que cumpre o requisito “z é direção principal”: Será feito um “corte” no cubo de tensões a um ângulo α α α α e as tensões neste plano de corte determinadas. σx σx σy σy τxy τxy x y σx σx σy σy τxy τxy x y αααα S Para α=0 : σ(0)=σx e τ(0)=τxy para α=90o : σ(90)=σy e τ(90)=τxy . Logo, as tensões na face do corte correspondem também as tensões na face vertical após uma rotação α do cubo. Para calcular tensões num α qualquer aplica-se equilíbrio de forças. Para isto deve-se transforma as tensões acima em forças. Define-se que a espessura do prisma triângular acima é unitário e que o segmento AB tem comprimento unitário também. Logo AC tem comprimento 1cosα e BC tem comprimento 1senα. Forças podem ser obtidas multiplicando tensões por área: ΣFx’=0 τ(α) + τxy cos2 α + σy sen α cos α - τxy sen2 α - σx cos α sen α = 0 ΣFy’=0 σ(α) - σx cos2 α - τxy sen α cos α - σy sen2 α - τxy cos α sen α = 0 x y αααα σx σy τxy σ(α) τ(α) C B A x y C B A αααα σx cos α σy sen α τxy sen α σ(α) τ(α) τxy cos α y' x' Reordenando: τ(α) = (σx - σy) sen α cos α + τxy (sen2 α- cos2 α) σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + 2τxy sen α cos α Considerando as relações trigonométricas 2 sen α cos α= sen 2α sen2 α - cos2 α = − cos 2α finalmente temos τ(α) = 1/2(σx - σy) sen 2α - τxy cos 2α σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α Para se obter a posição dos planos principais (α onde σ são máximos): dσ/dα = 0 dσ/dα = - 2σx cos α sen α + 2σy sen α cos α + 2τxy cos 2α = 0 x(-1/2) σx cos α sen α - σy sen α cos α - τxy cos 2α = 0 (σx - σy) cos α sen α - τxy cos 2α = 0 1/2(σx - σy) sen 2α - τxy cos 2α = 0 ou τ(α) = 0 Logo demonstra-se aqui que nos planos principais (α onde σ são máximos) , as tensões de corte são nulas. Pode-se agora obter α: 1/2(σx - σy) sen 2α = τxy cos 2α tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) Como a tangente se repete a cada 180o , a equação acima fornece 2 valores de 2α defasados de 180o ou 2 valores de α defasados de 90o . Ex.: Determinar tensões principais e planos principais nos casos abaixo (tensões em MPa): a) EPT (σz=0) Logo, teremos σx=100 MPa, σy=50 MPa, and τxy=20 MPa. Logo: tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) tan 2α = 2*20 / (100 - 50) =0,8 2α = 38,6o Logo, α’ = 19,3o e α” = 109,3o Substituindo na eq de σ(α) temos: 100 100 50 50 20 20 x y σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α σ(19,3) = 100 cos2 19,3 + 50 sen2 19,3 + 20 sen 2∗19,3 σ(19,3) = 107 MPa σ(109,3) = 43 MPa Logo: σ1=107 MPa; σ2=43 MPa; σ3=0 MPa Com α1 = 19,3o, α2 = 109,3o, plano 3 tem direção z (plano da folha). 100 50 20 x y 43 109,3ο 19,3ο 107 As tensões acima correspondem a situação de rotar o cubo de tensões 19,3 graus em torno de z: b) Considerar EPD, com ν=0.3. Neste caso σz=0,3(100+50)=45 MPa Logo: σ1=107 MPa; σ2=45 MPa; σ3=43 MPa Com: α1 = 19,3o, plano 2 tem direção z (plano da folha), α3 = 109,3o. c) Considerar σz=200 MPa Logo: σ1=200 MPa; σ2=107 MPa; σ3=43 MPa Com: plano 1 tem direção z (plano da folha), α2 = 19,3o, α3 = 109,3o, OBS: Para verificar se resultados estão corretos: σ1+σ2+σ3 = σx+σy+σz = (3p) σpr= (σx+σy)/2 ± [(σx-σy)2/2 + τxy 2]1/2 100 100 50 50 20 20 107 107 43 43 19,3ο d) Primeiro passo num caso destes é identificar uma direção principal e associar a direção z à ela: Uma vez identificada a dir z, deve-se rebater o estado de tensões nesta direção de modo a definir as dir. x e y conforme a esquema geral abaixo (a partir do qual se deduziu as expressões vistas): 80 160 300 80 160 300 z σx σx σy σy τxy τxy x y Logo, teremos σx=0, σy=-80 MPa, and τxy=-160 MPa. Logo: tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) tan 2α = -2*160 / ( 80) =-4 2α = -75,96o Logo, α’ = -37,98o e α” = 52,01o Substituindo na eq de σ(α) temos: σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α σ(52,01) = 0 - 80 sen2 19,3 - 160 sen 2∗52,01 σ(52,01) = -204,9 MPa σ(−37,98) = 184.9 MPa Logo: σ1=184,9 MPa; σ2=-204,9 MPa; σ3=-300 MPa 80 80 160 160 x y Com α1 = -37,98o, α2 = 52,01o, plano 3 tem direção z (plano da folha). As tensões acima correspondem a situação de rotar o cubo de tensões -37,98 graus em torno de z: Verificação: 184,9-204,9-300 =0-80-300 σpr= (σx+σy)/2 ± [(σx-σy)2/2 + τxy 2]1/2 σpr= (0-80)/2 ± [(80/2)2 + 1602]1/2= 84,9 MPa; -204,9 MPa 204,9 204,9 184,9 184,9 37,98ο 80 80 160 160 80 160 x y 204,9 52,01ο 37,98ο 184,9 e) Calcular tensão principal 1 e indicar a posição do plano principal 1 no desenho abaixo. Primeiro passo num caso destes é identificar uma direção principal e associar a direção z à ela: Uma vez identificada a dir z, deve-se rebater o estado de tensões nesta direção de modo a definir as dir. x e y conforme a esquema geral abaixo (a partir do qual se deduziu as expressões vistas): σx σx σy σy τxy τxy x y 100 40 30 20 100 40 30 20 z No caso acima, se colocando como observador à direita do cubo e olhando para a esquerda, na direção z, temos: Logo, teremos σx=30, σy=100 MPa, and τxy=-40 MPa. Logo: tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) tan 2α = -2*40 / ( −70) =1,14 2α = 48,8o Logo, α’ = 24,4o e α” = 114,4o Substituindo na eq de σ(α) temos: σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α σ(24,4) = 30 cos2 24,4 + 100 sen2 24,4 - 40 sen 2∗24,4 σ(24,4) = 11,84 MPa σ(114,4) = 118,16 MPa 100 100 40 40 x y 30 30 Logo: σ1=118,16 MPa Com α1 = 114,4o 30 100 40 x y 118,16 114,4ο 100 40 30 20 z 14,4o No entanto, o observador poderia se ter colocado à esquerda do cubo e olhando para a direita, na direção z. Neste caso existe uma inversão do sinal do τ Logo, teremos σx=30, σy=100 MPa, and τxy=40 MPa. Logo: tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) tan 2α = 2*40 / ( −70) =-1,14 2α = -48,8o Logo, α’ = -24,4o e α” = 65,6o Substituindo na eq de σ(α) temos: σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α σ(65,6) = 30 cos2 65,6 + 100 sen2 65,6 + 40 sen 2∗65,6 σ(65,6) = 118,16 MPa σ(−24,4) = 11,84 MPa 100 100 40 40 x y 30 30 Logo: σ1=118,16 MPa Com α1 = 65,6o 30 100 40 x y 118,16 65,6ο 100 40 30 20 z 65,6o f) Calcular tensão principal 1 e indicar a posição do plano principal 1 no desenho abaixo. Primeiro passo num caso destes é identificar uma direção principal e associar a direção z à ela: Uma vez identificada a dir z, deve-se rebater o estado de tensões nesta direção de modo a definir as dir. x e y conforme a esquema geral abaixo (a partir do qual se deduziu as expressões vistas): σx σx σy σy τxy τxy x y 5 25 20 15 5 25 20 15 z No caso acima, se colocando como observador embaixo do cubo e olhando para cima, na direção z, de modo que a face cinza fique para baixo, temos: Logo, teremos σx=20, σy=-15 MPa, and τxy=25 MPa. Logo: tan 2α = 2 τxy / (σx - σy) tan 2α = 2*25 / ( 35) =1,43 2α = 55,0o Logo, α’ = 27,5o e α” = 117,5o Substituindo na eq de σ(α) temos: σ(α) = σx cos2 α + σy sen2 α + τxy sen 2α σ(27,5) = 20 cos2 27,5 - 15 sen2 27,7 + 25 sen 2∗27,5 σ(27,5) = 33,0 MPa σ(117,5) = -28 MPa 15 15 25 25 x y 20 20 Logo: σ1=33,0 MPa Com α1 = 27,5o 20 15 25 x y 33,0 27,5ο 5 25 20 15 z 27,5o