Slide - Equações de Navier-stokes - 2023-2

Análise diferencial dos escoamentos (Eq. da Continuidade e Eq. de Navier-Stokes) Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental Email: enggfv.aulas@gmail.com 2 Ponto representativo do elemento Centro da face Em Mecânica dos Fluidos, adota-se um elemento infinitesimal (volume de controle de dimensões muito pequenas), em forma de paralelepípedo, para as análises diferenciais. Desta forma, assume-se que a quantidade inicial das propriedades estudadas concentram-se no centroide do elemento, ao passo que os valores da propriedade nas faces são obtidos por meio de taxas de variação (derivadas) ao longo das direções x, y e z, estimadas por meio de expansões em séries de Taylor do tipo Backward e Forward. 3 Estamos interessados agora em avaliar como a massa de um fluido é transferida de um elemento para outro durante o escoamento. Para tal, consideremos um elemento de volume diferencial de massa específica 𝝆 sujeito a um campo de velocidades 𝑽 =< 𝑽𝒙; 𝑽𝒚; 𝑽𝒛 >. Do Cálculo Diferencial e Integral... O fluxo 𝚽 de um campo vetorial 𝑭 através de uma superfície A (área) é definido como: 𝚽 = ඵ 𝑭 ∙ 𝒏𝒅𝑨 Onde 𝑛 representa um vetor unitário perpendicular à superfície, cuja orientação, por convenção, é para fora da mesma. 4 Assim, quando Ԧ𝐹 representa o campo de velocidades 𝑉, a expressão toma a forma: 𝚽 = ඵ 𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴 Vamos analisar agora a unidade (no SI) de 𝚽 para este caso... 𝑈𝑛𝑖𝑑Φ = 𝑚 𝑠 . 𝑚2 = 𝑚³ 𝑠 = 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 Taxa de variação do volume que atravessa a superfície ( 𝝏𝑽𝒐𝒍 𝝏𝒕 ) “Vazão” (𝑸) 𝝏𝑽𝒐𝒍 𝝏𝒕 = 𝑸 = ඵ 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 A divisão da expressão anterior pela área 𝑨 associada resulta na velocidade média 𝑽𝒎 do escoamento: 𝑽𝒎 = 𝟏 𝑨 ඵ 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 Combinando as duas expressões acima: 𝑸 = 𝑽𝒎. 𝑨 5 As equações anteriores sugerem que a velocidade desempenhe um importante fator no transporte das propriedades do escoamento. Sendo assim, de forma análoga à vazão 𝑄 (taxa de variação do volume que atravessa a superfície), vamos buscar uma expressão similar para a taxa de variação da massa 𝝏𝒎 𝝏𝒕 que atravessa uma superfície. Já vimos que a quantidade 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 resulta em uma dimensão de volume por tempo (m³/s). Desejamos encontrar uma expressão que resulte na dimensão de massa por tempo (kg/s). Propomos, portanto, uma correção do termo anterior por meio da multiplicação por um fator 𝑋: 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑿. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝝆 = 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 então 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 = 𝝆. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 ሶ𝒎 é denominado vazão mássica! 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 = 𝑿. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒎𝒂𝒔𝒔𝒂. 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 = 𝑿 𝝆. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆. 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐. 𝒗𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆 = 𝑿 𝝆 = 𝑿 Desta maneira, o termo 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 é corrigido para 𝝆. 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨, e a taxa de variação da massa (em kg/s) que atravessa a superfície é dada por: 𝝏𝒎 𝝏𝒕 = ሶ𝒎 = ඵ 𝝆𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 o que nos leva a... Sabemos que: OBSERVAÇÃO Se é 𝜌 constante, então podemos relacionar a vazão volumétrica e a vazão mássica pela seguinte expressão: ሶ𝒎 = 𝝆. 𝑸 6 Na expressão ׭ 𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨, 𝑽 é o campo vetorial que cruza a superfície . De forma similar, na expressão ׭ 𝝆𝑽 ∙ 𝒏𝒅𝑨 temos que 𝝆𝑽 é o campo vetorial que cruza a mesma superfície. Sabendo agora que a quantidade 𝜌𝑉 representa o campo vetorial para o transporte da massa, podemos partir para a análise diferencial. Considerando o sistema de eixos adotado na figura a seguir, vamos realizar, inicialmente, o transporte da massa pelas superfícies do elemento infinitesimal na direção y. Para tal, admitimos um fluxo da esquerda para direita e que a quantidade inicial de 𝝆𝑽 encontra-se no centro do elemento. 𝝆𝑽𝒚 Entrada em y Saída em y 𝝆𝑽𝒚 − 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝟐 𝝆𝑽𝒚 + 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝒅𝒚 𝟐 7 A taxa de variação da massa dentro do volume de controle, ao longo da direção y, pode ser obtida da seguinte forma: Taxa de variação da massa na direção Y = Fluxo da propriedade 𝝆𝑽 que atravessa a face esquerda (entrada) − Fluxo da propriedade 𝝆𝑽 que atravessa a face direita (saída) 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒚 = 𝜌𝑉𝑦 − 𝜕 𝜌𝑉𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝜌𝑉𝑦 + 𝜕 𝜌𝑉𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 De forma similar, obtemos para as outras direções: 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒙 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 e 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒛 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 A taxa de variação total da massa no volume de controle é obtida pela soma das parcelas anteriores: 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒕𝒐𝒕 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 − 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 − 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒕𝒐𝒕 = 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒙 + 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒚 + 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒛 8 𝝏𝒎 𝝏𝒕 𝒕𝒐𝒕 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 A massa do volume de controle infinitesimal pode ser escrita como 𝒎 = 𝝆𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛. Lembrando que os tamanhos de 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 e 𝑑𝑧 são constantes na região de análise, temos: 𝜕𝑚 𝜕𝑡 𝑡𝑜𝑡 = 𝜕 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝑡 𝑡𝑜𝑡 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑡𝑡𝑜𝑡 Assim: 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜕𝜌 𝜕𝑡𝑡𝑜𝑡 = − 𝜕 𝜌𝑉𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕 𝜌𝑉𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕 𝜌𝑉𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝝏𝝆 𝝏𝒕 𝒕𝒐𝒕 = − 𝝏 𝝆𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝆𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝆𝑽𝒛 𝝏𝒛 Aplicando a regra do produto para as derivadas... 𝝏𝝆 𝝏𝒕 𝒕𝒐𝒕 = − 𝝏𝝆 𝝏𝒙 𝑽𝒙 + 𝝆 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝝆 𝝏𝒚 𝑽𝒚 + 𝝆 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏𝝆 𝝏𝒛 𝑽𝒛 + 𝝆 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 9 Reorganizando os termos... 𝟎 = 𝝏𝝆 𝝏𝒕 + 𝝏𝝆 𝝏𝒙 𝑽𝒙 + 𝝏𝝆 𝝏𝒚 𝑽𝒚 + 𝝏𝝆 𝝏𝒛 𝑽𝒛 + 𝝆 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 Reconhecendo os operadores derivada substancial e divergente, reescrevemos da seguinte maneira: 𝑫𝝆 𝑫𝒕 + 𝝆𝛁 ∙ 𝑽 = 𝟎 Equação diferencial da Continuidade Para os fluidos incompressíveis (𝜌 ≈ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒), a expressão é simplificada: 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 = 𝟎 Equação diferencial da Continuidade para fluidos incompressíveis 10 Considerando o mesmo volume de controle infinitesimal para a análise, vamos agora estudar e equacionar quais as principais forças que atuam neste elemento. QUESTÃO: Quais as principais forças que atuam sobre um elemento de fluido? b) Força de pressão: pressão devido ao choque do movimento de um elemento sobre o outro (pressão dinâmica) ou do simples contato de um elemento com outro (pressão estática); a) Forças de interações viscosas: relacionadas com a viscosidade de cada fluido, o que altera a “interação” de um elemento de fluido com um outro, assim como o cisalhamento e o contato com superfícies adjacentes; c) Força de campo: influência do campo gravitacional (relacionado ao peso do elemento), do campo elétrico, do campo magnético. etc. A segunda Lei de Newton expressa a relação das forças que atuam sobre o nosso volume de controle: Segunda Lei de Newton: 𝑭𝒓 = 𝑭𝒗 + 𝑭𝒑 + 𝑭𝒄 Forças de pressão Forças de campo Forças viscosas Força Resultante 11 Vamos analisar cada um dos termos da equação separadamente até chegarmos a uma relação diferencial final. Utilizando novamente nosso elemento de fluido prismático de massa específica 𝜌. 1) Análise do termo 𝑭𝒓 (Força resultante): Da segunda lei de Newton sabe-se que: 𝐹𝑟 = 𝑚 Ԧ𝑎; Por outro lado: 𝑚 = 𝜌. 𝑣𝑜𝑙 = 𝜌𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝐹𝑟 = 𝜌 Ԧ𝑎𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Para tornarmos a parcela independente de 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, definimos: Ԧ𝑓 = Ԧ𝐹 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 No SI: 𝑵 𝒎³ Isso nos permite reescrever a segunda lei de Newton em uma forma alternativa: 𝒇𝒓 = 𝒇𝒑 + 𝒇𝒄 + 𝒇𝒗 A parcela do lado esquerdo da equação torna-se: 𝒇𝒓 = 𝝆𝒂 Que aplicando a definição da aceleração por meio da derivada substancial: 𝒇𝒓 = 𝝆 𝑫𝑽 𝑫𝒕 12 2) Análise do termo 𝑭𝒗 (Forças viscosas): Para fazer esta análise necessitamos relembrar sobre o tensor de tensões de um elemento. Elemento Tensões normais + Tensões cisalhantes 6 faces: 6 tensões normais e 12 tensões de cisalhamento Tensões se repetem em faces opostas! Resultado: 3 tensões normais + 6 tensões cisalhantes Tensão normal Observações importantes: a) Geralmente diferenciamos as tensões normais 𝝈𝒊𝒊 das tensões cisalhantes 𝝈𝒊𝒋 pelas letras gregas 𝝈 e 𝝉. 𝝉 para tensão cisalhante ; 𝝈 para tensão normal; b) O sentido positivo da tensão normal é para fora e da tensão de cisalhamento é no sentido positivo dos eixos (direções) x, y e z. Nomenclatura: 𝝉𝒊𝒋 Plano de atuação Direção de atuação Tensão cisalhante 13 Tensões normais 𝝈𝒙𝒙, 𝝈𝒚𝒚 e 𝝈𝒛𝒛 Tensões cisalhantes 𝝉𝒙𝒚, 𝝉𝒚𝒙, 𝝉𝒙𝒛, 𝝉𝒛𝒙, 𝝉𝒚𝒛 e 𝝉𝒛𝒚 Em matemática, um elemento 𝒙𝒊𝒋 pode ser associado a uma matriz 𝑴𝒊𝒋, onde o índice 𝒊 indica a coluna e 𝒋 a linha. 𝑀𝑖𝑗 = 𝑥11 𝑥21 𝑥31 𝑥12 𝑥22 𝑥32 𝑥13 𝑥23 𝑥33 Pensando no índice 1 como sendo a direção x; 2 como a direção y e 3 como a direção z, podemos escrever um tensor de tensões 𝝈𝒊𝒋: 𝝈𝒊𝒋 = 𝝈𝒙𝒙 𝝉𝒚𝒙 𝝉𝒛𝒙 𝝉𝒙𝒚 𝝈𝒚𝒚 𝝉𝒛𝒚 𝝉𝒙𝒛 𝝉𝒚𝒛 𝝈𝒛𝒛 Daqui podemos observar que as colunas do tensor se referem ao plano de atuação, enquanto as linhas à direção de atuação das tensões. Observações: a) Plano x – perpendicular ao eixo x; b) Plano y – perpendicular ao eixo y; c) Plano z – perpendicular ao eixo z; d) 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙; 𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 e 𝝉𝒛𝒚 = 𝝉𝒚𝒛 𝜎𝑖𝑗 = 𝜎𝑥𝑥 𝜎𝑦𝑥 𝜎𝑧𝑥 𝜎𝑥𝑦 𝜎𝑦𝑦 𝜎𝑧𝑦 𝜎𝑥𝑧 𝜎𝑦𝑧 𝜎𝑧𝑧 14 Considerando novamente uma análise na direção y e assumindo que as tensões que compõem o tensor de tensões atuem no centro do elemento de volume prismático. dy dx dz 𝜎𝑦𝑦 + 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝜎𝑦𝑦 − 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝜏𝑥𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝜏𝑥𝑦 − 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝜏𝑧𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝜏𝑧𝑦 − 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 Equacionando a força resultante na direção y: 𝑭𝒗𝒓𝒚 = 𝜎𝑦𝑦 + 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝜎𝑦𝑦 − 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝜏𝑥𝑦 + 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜏𝑥𝑦 − 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜏𝑧𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝜏𝑧𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑧 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑭𝒗𝒓𝒚 = 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝒇𝒗𝒓𝒚 = 𝜕𝜏𝑥𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝜎𝑦𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝜏𝑧𝑦 𝜕𝑧 Observe que esta ordem está relacionada à segunda linha do tensor de tensões, a qual se refere à direção y. 15 Considerando também as direções x e z, por inspeção, chegamos às seguintes expressões finais: 𝒇𝒗𝒓𝒚 = 𝝏𝝉𝒙𝒚 𝝏𝒙 + 𝝏𝝈𝒚𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏𝝉𝒛𝒚 𝝏𝒛 𝒇𝒗𝒓𝒙 = 𝝏𝝈𝒙𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝝉𝒚𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝝉𝒛𝒙 𝝏𝒛 𝒇𝒗𝒓𝒛 = 𝝏𝝉𝒙𝒛 𝝏𝒙 + 𝝏𝝉𝒚𝒛 𝝏𝒚 + 𝝏𝝈𝒛𝒛 𝝏𝒛 As tensões de cisalhamento ocasionam deformações nos planos onde elas atuam. Dessa forma, podemos associar as deformações ocorridas nos planos a deformações angulares 𝜺𝒊𝒋 (vistas em cinemática): 𝜺𝒚𝒛 = 𝜺𝒛𝒚 = 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒚 𝜺𝒙𝒛 = 𝜺𝒛𝒙 = 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 𝜺𝒙𝒚 = 𝜺𝒚𝒙 = 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 Lembrando ainda que a Lei da Viscosidade de Newton propõe que: 𝝉 = 𝝁. 𝜺 O que nos leva a: 𝝉𝒙𝒚 = 𝝉𝒚𝒙 = 𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 𝝉𝒙𝒛 = 𝝉𝒛𝒙 = 𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 𝝉𝒚𝒛 = 𝝉𝒛𝒚 = 𝝁 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒚 16 Para as tensões normais utiliza-se a Hipótese de Stokes, que propõe as seguintes relações: 𝝈𝒙𝒙 = − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝝈𝒚𝒚 = − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝝈𝒛𝒛 = − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 Assim, equacionando a direção x, por exemplo: 𝒇𝒗𝒙 = 𝝏𝝈𝒙𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏𝝉𝒚𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝝉𝒛𝒙 𝝏𝒛 = 𝝏 − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒛 Ao final, obtemos o seguinte sistema de equações: 𝒇𝒗𝒙 = 𝝏 − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝒇𝒗𝒚 = 𝝏 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝁 − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝒇𝒗𝒛 = 𝝏 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒛 + 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒛 𝑓𝑣 = < 𝒇𝒗𝒙; 𝒇𝒗𝒚; 𝒇𝒗𝒛 > Força viscosa geral 17 Vamos admitir que o fluido estudado seja incompressível e de viscosidade constante. Assim: 𝛁 ∙ 𝑽 = 𝟎; 𝛍 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. Aplicando estas condições à componente x: 𝒇𝒗𝒙 = 𝝏 − 𝟐 𝟑 𝝁𝜵. 𝑽 + 𝟐𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏𝑽𝒚 𝝏𝒙 𝝏𝒚 + 𝝏 𝝁 𝝏𝑽𝒛 𝝏𝒙 + 𝝏𝑽𝒙 𝝏𝒛 𝝏𝒛 = 𝟐𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒙² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒚² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒚 𝝏𝒚𝝏𝒙 + 𝝁𝝏² 𝑽𝒛 𝝏𝒙𝝏𝒛 + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏2𝒛 = 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒙² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒚² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏2𝒛 + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒙² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒚 𝝏𝒚𝝏𝒙 + 𝝁𝝏² 𝑽𝒛 𝝏𝒙𝝏𝒛 = 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒙² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏𝒚² + 𝝁𝝏² 𝑽𝒙 𝝏2𝒛 + 𝝁𝝏 𝝏 𝑽𝒙 𝝏𝒙 + 𝝏 𝑽𝒚 𝝏𝒚 + 𝝏 𝑽𝒛 𝝏𝒛 𝝏𝒙 = 𝝁𝜵𝟐𝑽𝒙 + 𝝁𝝏 𝛁. 𝑽 𝝏𝒙 Realizando uma análise similar em todas componentes chegamos a expressão final das forças viscosas para fluidos incompressíveis e de viscosidade constante: 𝒇𝒗𝒙 = 𝝁𝜵𝟐𝑽𝒙 𝒇𝒗𝒚 = 𝝁𝜵𝟐𝑽𝒚 𝒇𝒗𝒛 = 𝝁𝜵𝟐𝑽𝒛 𝒇𝒗 = 𝝁𝛁²𝑽 18 3) Análise do termo 𝑭𝒑 (Forças de pressão): Primeiramente vamos definir como a pressão P atua em um ponto. (material retirado de VILLAR ALÉ, 2011) Para uma análise de forças no plano x-y consideramos x como positivo para direita (→ +) e y positivo para cima (↑). Em termos de forças a pressão Ps pode ser expressa como: Fy = PsA_ABCD = Psδxδz as componentes x e y são dadas por Fx = -Fs sinθ e Fy = -Fs cosθ A pressão px somente contribui com uma força na direção-x dada por Fx = pxA_ABFE = Psδzδy A pressão py somente contribui com uma força na direção-y Fy = pyA_EBCD = pyδxδz Considerando o peso do fluido atuando para baixo na direção do eixo-y, Peso = Peso específico x Elemento de volume W = -ρg × 1/2 δxδyδz Sabemos que para que um elemento de fluido esteja em equilíbrio a soma dos componentes das forças em qualquer direção deve ser igual a zero. Analisando as forças na direção do eixo-x: [ΣFx = 0] Fx + Fx = 0 pxδzδy - Fs sinθ = 0 pxδzδy - (psδxδz)sinθ = 0 como sinθ = δy/δs pxδzδy - (psδzδx) δy/δs = 0 Desta forma como o fluido está em repouso (em equilíbrio) px = ps Analisando as forças na direção do eixo-y: [ΣFy = 0] Fy + Fyy + W = 0 pyδxδz - Fs cosθ - ρgV_prisma = 0 pyδxδz - (psδxδz)cosθ = ρg1/2 δxδyδz = 0 como cosθ = δx/δs obtemos para o estado de equilíbrio pyδxδz + (-psδxδz) + (-ρg1/2 δxδyδz) = 0 Como o elemento de fluido é pequeno δx , δy e δz são pequenos e desta forma o produto δxδyδz é muito pequeno podendo ser considerado desprezível. Desta forma: py = ps , px = ps assim, Px = py = ps Considerando o elemento prismático, ps é a pressão num plano qualquer com ângulo θ. O elemento é pequeno e pode ser considerado um ponto e desta forma px = py = ps indicando que aquela pressão é a mesma em qualquer ponto em todas as direções. A pressão em qualquer ponto é a mesma em todas as direções. É conhecida como Lei de Pascal e aplicada para fluidos em repouso. Pressão é uma grandeza escalar!! 21 Dessa forma, conclui-se que o campo de pressões é uma grandeza escalar e não vetorial. Sendo assim, podemos partir para a análise diferencial. A resultante das forças de pressão na direção y nos fornece: 𝐹𝑝𝑟𝑥 = 𝑝 − 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑝 + 𝜕𝑝 𝜕𝑦 𝑑𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝒇𝒑𝒓𝒚 = − 𝝏𝒑 𝝏𝒚 22 Uma análise similar para as direções x e z, leva à forma final do campo de pressões: 𝒇𝒑𝒓𝒙 = − 𝝏𝒑 𝝏𝒙 𝒇𝒑𝒓𝒚 = − 𝝏𝒑 𝝏𝒚 𝒇𝒑𝒓𝒛 = − 𝝏𝒑 𝝏𝒛 Dessa forma: 𝒇𝒑 = −𝛁𝑷 𝒇𝒗 =< 𝒇𝒑𝒓𝒙; 𝒇𝒑𝒓𝒚; 𝒇𝒑𝒓𝒛 > 4) Análise do termo 𝑭𝒄 (Forças de campo): Considerando o campo gravitacional como a única força de campo atuante (grande maioria dos casos reais), podemos escrever a parcela associada a este termo de forma análoga à 𝒇𝒓 = 𝝆𝒂: 𝒇𝒄 = 𝝆𝒈 23 Agora que já deduzimos todas as parcelas envolvidas podemos estruturar as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis e de viscosidade constante: 𝒇𝒓 = 𝒇𝒑 + 𝒇𝒄 + 𝒇𝒗 𝝆 𝑫𝑽 𝑫𝒕 = −𝜵𝑷 + 𝝆𝒈 + 𝝁𝜵²𝑽 Forma compacta 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒙 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒚 𝑽𝒛 𝑽𝒛 𝑽𝒛 Forma aberta 24 a) Escoamento permanente: impõe que todas as derivadas parciais em relação ao tempo t sejam nulas. 𝝏[ ] 𝝏𝒕 = 𝟎 b) Escoamento 1D, 2D ou 3D, em relação ao campo de velocidades: impõe que as componentes de velocidade nas direções diferentes das direções principais sejam nulas. c) Escoamento plano: implica que as derivadas parciais na direção diferente do plano de referência são nulas. 𝝏[ ] 𝝏(𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒑𝒍𝒂𝒏𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂) = 𝟎 Como as equações de Navier-Stokes são equações diferenciais parciais, é necessário utilizar condições de contorno para sua resolução. A seguir são apresentados alguns exemplos de condições de contorno utilizadas nos problemas. 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏. 𝒅𝒆 𝑽 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒂𝒔 𝒅𝒊𝒓𝒆çõ𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒊𝒔 = 𝟎 25 d) Escoamento Plenamente Desenvolvido: nos diz que a componente principal da velocidade do escoamento não varia na direção do escoamento, da mesma forma que a variação de pressão ocorre de forma linear. 𝝏[ 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏. 𝒅𝒆 𝑽 ] 𝝏(𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒓. 𝒆𝒔𝒄. ) = 𝟎 É linear 𝝏𝑷 𝝏(𝒏𝒂 𝒅𝒊𝒓. 𝒆𝒔𝒄. ) Desenvolvimento da camada limite na região de entrada de um conduto forçado 26 e) Condição de parede sólida: o escoamento na região em contato com contornos sólidos adquire a velocidade deste contorno; f) Condição de entrada ou saída do domínio: nestas regiões os valores e/ou gradientes de velocidade, pressão ou níveis devem ser conhecidos no tempo; g) Interface entre dois fluidos: na interface entre dois fluidos temos que a tensão de cisalhamento de ambos nesta região deve ser a mesma. 𝝉𝒍𝒊𝒒 = 𝝉𝒈á𝒔 27 OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: a) As equações de Navier-Stokes são bastante complexas e os casos abordados nesta disciplina são bem simplificados. b) Em muitos problema,s pode ser necessário utilizar as Equações da Continuidade e a Lei da Viscosidade de Newton juntamente com as equações de Navier-Stokes. c) Escoamentos turbulentos são bastante aleatórios e os vórtices formados se relacionam ao termo 𝝁𝜵²𝑽 (relacionado à ação viscosa molecular da quantidade de movimento). A quantidade de movimento turbilhonar ocasiona um comportamento similar a uma modificação da viscosidade, sendo assim, é necessário, na maioria das vezes, utilizar um modelo de turbulência para tratar esta problemática. Desta forma, a modelagem de escoamentos turbulentos fica restrita à CFD (Computational Fluid Dynamics). d) Em muitos casos de escoamento, a contribuição das forças viscosas é pequena, o que pode, muitas vezes, levar ao desprezo da parcela 𝝁𝜵²𝑽. e) As equações de Navier-Stokes, na prática, são solucionadas por métodos numéricos presentes em códigos computacionais de simulação numérica. 28 Um fluido incompressível escoa entre duas placas planas paralelas horizontais, de extensão infinita. Encontre a expressão da velocidade em função do gradiente de pressão, e analise os casos onde o gradiente de pressão, dp/dx, é nulo, positivo ou negativo. Exemplo 1) Análise diferencial dos escoamentos (Eq. da Continuidade e Eq. de Navier-Stokes) Prof. Guilherme Fuhrmeister Vargas Eng. Civil, Dr. em Recursos Hídricos e Saneamento Ambiental Email: enggfv.aulas@gmail.com