Empuxo-em-Superficies-Planas-Conceitos-e-Definicoes

EMPUXO Empuxo sobre Superfícies Planas UFRGSIPHDHH 1 Definição de Empuxo A pressão é um e as forças que surgem em função da diferença de pressões agindo sobre os lados de uma superfície sólida são denominadas forças de EMPUXO escalar Os empuxos por serem forças possuem módulo direção sentido e ponto de aplicação EMPUXO é a força resultante da variação das pressões tensões normais na massa líquida agindo sobre superfícies que com ela estejam em contato Módulo intensidade da força empuxo Sentido contra a superfície Direção linha de ação da força Ponto de aplicação do empuxo é chamado de centro de empuxo ou centro de pressões UFRGSIPHDHH 2 Empuxo em superfícies planas esquematização CG CP CG CP hCP hCG RE Resultante do empuxo RE X Y Z O Plano que contêm a figura EpdA Nível do líquido à pressão constante Plano xy Centro de Pressões CP Centro de Gravidade CG Profundidade centro de gravidade hCG Profundidade centro de pressões hCP UFRGSIPHDHH 3 Empuxo Dada uma superfície plana qualquer imersa num fluido fazendo um ângulo Q com o plano que contém a superfície do líquido água Cada elemento dessa área dA sofre uma força elementar dE O somatório ao longo da superfície dos empuxos elementares fornecem a força resultante RE O ponto de aplicação desta resultante é denominado de Centro de empuxos ou Centro de Pressões As coordenadas do CP são dadas pela profundidade hCP ou por CP RESdESpdA dE pdA UFRGSIPHDHH 4 Empuxo dE p dA O valor do empuxo dE é dado por p patm γ h 𝑑𝐸 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝛾 ℎ 𝑑 Ԧ𝐴 Assim A resultante do empuxo é dada pelo somatório dos elementos de empuxo ao longo da área total ou seja 𝐸 න A patm γ h dA Como a pressão atmosférica é constante e substituindo h por sin módulo do empuxo total 𝐸 é 𝐸 patm A γ sin Θ න A α dA estando o mesmo aplicado no centro de pressões Da equação fundamental da estática dos fluidos a pressão p é dada por UFRGSIPHDHH 5 Determinação do módulo do Empuxo O módulo do empuxo total 𝐸 pode ser obtido por integração direta de 𝐸 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴 𝛾 sin Θ න 𝐴 𝛼 𝑑𝐴 ou aplicando relações pelas relações de oriundas da geometria de superfícies Sabese que a integral é o momento estático de uma área com relação a um eixo OY sendo dado por න 𝐴 𝛼 𝑑𝐴 𝛼𝐶𝐺 𝐴 A dA 𝐸 𝑝𝑎𝑡𝑚 𝐴 𝛾 sin Θ 𝛼𝐶𝐺 𝐴 Assim onde CG é a coordenada do centro de gravidade da figura em relação ao eixo OY CG sin q hCG é a profundidade do centro de gravidade UFRGSIPHDHH 6 Determinação do módulo do Empuxo Onde γ é o peso específico do fluido em contato com a superfície hCG é a profundidade do centro de gravidade da área molhada A é a área de superfície em contato com a água 𝐸 patm A γ hCG A Expresso em pressão absoluta Expresso em pressão relativa Assim o módulo da força empuxo resultante é dado por 𝑬 𝛄 𝐡𝐂𝐆 𝐀 Área molhada CG UFRGSIPHDHH 7 ou Localização do Centro de Empuxo O ponto de aplicação é determinado utilizando a propriedade de uma resultante do somatório de forças onde o momento da resultante deverá ser igual ao somatório dos momentos das componentes que lhe deram origem ou seja d E R CP E h dA R CP E q sen dA R CP E Equivalência de momentos UFRGSIPHDHH 8 Onde RE é o empuxo resultante E que age sobre a superfície Localização do Centro de Empuxo 𝐸 γ αCG senθ A Como A dA CG 2 CP Porém αCP γ senθ α2dA 𝐸 e isolando CP posição centro de pressões 𝐸 αCP නγ α2 senθ dA αCP γ senθ α2dA γ αCG senθ A UFRGSIPHDHH 9 Localização do Centro de Empuxo IOY ICG A αCG 2 αCP αCG ICG αCG A αCP αCG k2 αCG e නα2dA IOY k2 ICG A IOY é o momento de inércia em relação ao eixo OY Sabendo que a integral é o momento de inércia da superfície com relação a um eixo qualquer que pode ser resolvida utilizandose o princípio da transposição de eixos trazendoa para o eixo baricêntrico que é tabelado temos Também é tabelado k2 raio de giração αCP IOY αCG A αCP α2dA αCG A UFRGSIPHDHH 10 Empuxo superfícies planas Forma Área Centro de gravidade Momento de inércia ICG Raio de giração k2 y CG a b x ba 2 a y 2 b x CG CG 12 ab 3 12 a 2 y CG a b x 2 ba 3 a y 2 b x CG CG 36 ab 3 18 a 2 CG D R 4 R ou D 2 2 2 D y 2 D x CG CG 64 ou D 4 R 4 4 16 4 ou D R 2 2 CG b a a b Elipse ba a y b x CG CG 4 ab 3 4 a 2 UFRGSIPHDHH 11 Caso particular empuxo sobre superfície retangular Na presença de uma figura retangular mergulhada em um líquido com o bordo superior paralelo e faceando a superfície do líquido temse CG CG 2 CP k 12 h k 2 2 h 2 2 h 12 h 2 CP 3 h 2 CP mas ou através do raio de giração Esta equação só é válida para FIGURAS RETANGULARES COM A BORDA SUPERIOR TOCANDO A SUPERFÍCIE DA ÁGUA UFRGSIPHDHH 12 Outros casos Quando o bordo superior não toca a superfície da água temse que calcular a profundidade do centro de pressões através das expressões CG CG 2 CP k ou se determina o centro de pressões pelo centro de gravidade do diagrama de empuxos pressão vezes a largura da figura em cada profundidade NOTA O Centro de Gravidade da SUPERFÍCIE sempre está acima ou no máximo na mesma cota do que o Centro de Pressões pois o Centro de Gravidade do Diagrama de Empuxos tenderá SEMPRE a esta posição CG CG CG CP A I ou UFRGSIPHDHH 13 HCG HCP EXEMPLO Superfícies Planas UFRGSIPHDHH 14 UFRGSIPHDHH 15 Empuxo superfícies planas expressões Módulo intensidade da força empuxo Direção linha de ação da força ponto de aplicação é chamado de centro de empuxo ou centro de pressões Sentido contra a superfície γ peso específico do fluido hCG profundidade do centro de gravidade da área molhada A área de superfície em contato com a água αCG posição do centro de gravidade medido ao longo do plano que contêm a superfície ICG momento de inércia baricêntrico αCP αCG ICG αCG A 𝐸 γ hCG 𝐴 Exemplo de Aplicação 1 Calcular a espessura mínima que deve ter um muro de concreto para que resista ao tombamento pelo efeito da pressão hidrostática agindo na face BC Considere que o peso específico do concreto é igual 22000 Nm³ Desconsidere a ação da subpressão em AB h B A C D Exemplo 2 Calcular a espessura mínima que deve ter um muro de concreto ξc 22000 Nm² para que resista ao tombamento pelo efeito da pressão hidrostática em uma de suas faces verticais desconsiderir o sob pressão em AB W peso P empuxo Solução considerando um trecho de muro de 1 m normalmente ao papel a peso do muro W W ξc V 22000 Nm³ e r 1 22000 e h b Empuxo na face BC Ec r h6 A r h2 1 R 98066 R² 2 49033 R² Posição xc xc Ic Axc muro vertical hc h6 Is Ah6 h2 112 4 R³ h R²2 h2 R6 Bc h hc h h2 R6 6h 3h R 6 2h6 R3 c Momentos de tombamento em relação ao eixo AB Peso MW W e2 11000 e² h Empuxo MP E R3 49033 R² h 3 16344 R³ d condição limite para tombamento MW ME 11000 e² h 16344 h³ 11000 e² 16344 h² e² 16344 R² 11000 e² 01486 R² e 03855 h Conclusão Se h 1 m um muro de concreto com 040 m de espessura não tombará desde que o nível de água não o ultrapasse no baixo sobpavimento Exemplo de Aplicação 2 Uma comporta tipo CHANOINE é composta por uma série de placas articuladas conforme a figura a seguir as dimensões assim como o eixo de giro estão representadas na figura Para a configuração da figura determine qual será a altura de lâmina dágua que fará a comporta desarmar desarmar significa a resultante dos esforços fica acima do eixo de giro 20 m 12 m UFRGSIPHDHH 19 Força escora resiste 28045 N Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Para a comporta retangular com 15 m de largura e 20 cm de espessura em aço 8000kgm³ determinar a força da água do mar sobre a comporta e b esforço para abrir puxando em A F 45 m 18 m 24 m F Patm A γ 10050 Nm³ mar 20 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução θ 18 m 45 m 24 m x Y tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 21 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 l 𝑙 75 m θ 18 m 45 m 24 m x Y 22 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 l 𝑙 75 m 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 182 2 42 30 m θ 18 m 45 m 24 m x Y 23 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 θ 18 m 45 m 24 m x Y 𝐴 15 30 45 m2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 l 𝑙 75 m 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 182 2 42 30 m Força resultante 24 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução 𝐴 15 30 45 m2 θ 18 m 45 m 24 m x Y αcg tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 l 𝑙 75 m cg 75 15 60 𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 182 2 42 30 m 25 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução 𝐴 15 30 45 m2 tan 𝜃 18 24 𝜃 3687 𝑠𝑒𝑛 𝜃 45 l 𝑙 75 m cg 75 15 60 𝑚 hcg 𝑦𝑐𝑔 sen 𝜃 36 𝑚 θ 18 m 45 m 24 m x Y αcg hcg 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 182 2 42 30 m 26 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução θ 18 m 45 m 24 m x Y 𝐸 𝛾 ℎ𝑐𝑔 𝐴 𝐸 10050 36 45 162810 N 27 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução θ 18 m 45 m 24 m x Y 𝐸 𝛾 ℎ𝑐𝑔 𝐴 𝐸 10050 36 45 162810 N αcp 𝑐𝑝𝑐𝑔 𝐵 𝐻3 12 𝑐𝑔 𝐴 𝑐𝑝 60 153 03 12 6045 𝑐𝑝 60 3375 6045 6125 𝑚 28 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução 𝐸 𝛾 ℎ𝑐𝑔 𝐴 𝐸 10050 36 45 162810 N θ 18 m 45 m 24 m x Y αcp 𝑐𝑝𝑐𝑔 𝐵 𝐻3 12 𝑐𝑔 𝐴 𝑐𝑝 60 153 03 12 6045 𝑐𝑝 60 3375 6045 6125 𝑚 𝑦𝑐𝑝 𝑐𝑝 29 UFRGSIPHDHH 𝑥𝑐𝑝 𝑥𝑐𝑔 Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução 12 m F Wcomp E bE b esforço para abrir puxando em A F 30 UFRGSIPHDHH Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 45x 002x 8000x 98 7056𝑁 12 m F Wcomp Er bE 31 UFRGSIPHDHH Área 15x 30 m² Espessura m Massa específica aço kgm³ Aceleração gravidade ms² Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução Wcomp 45x 002x 8000x 98 7056N bE l ycp 75 6125 1375 m 12 m F Wcomp E bE 32 UFRGSIPHDHH 𝐸 10050 36 45 162810 N Exemplo 3 Esforços sobre superfícies planas Resolução F 162810 x 1375 7056 x 12 24 96805N 12 m F Wcomp E bE 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 45x 002x 8000x 98 7056𝑁 bE l ycp 75 6125 1375 m 33 UFRGSIPHDHH 𝑀𝑜 0 𝐸 𝑏𝐸 𝑊𝑐𝑜𝑚𝑝 𝑏𝑊 𝐹 𝑏𝐹 0 24 m FIM