Slide Flexao-2022 1

13 Flexão ENG01201 – Mecânica Estrutural I Notas de Aula – Prof. Luis Alberto Segovia González 13.1 - Conceito Considerando a viga mostrada na figura, submetida à carga distribuída q(x) tal que na seção genérica S provoca o momento fletor M(x). q(x) S x [M] - + + M(x) X Na seção S o momento fletor M(x) é positivo, portanto: ➢ as fibras inferiores estão tracionadas ➢ as fibras superiores estão comprimidas O momento fletor provoca então tensões normais. Além disso, o momento fletor provoca uma tendência de giro da seção transversal em torno de um eixo localizado no seu próprio plano. 13.2 – Hipóteses adotadas na análise ➢ Seções planas permanecem planas após a flexão. ➢ Na presença dos efeitos do momento fletor os efeitos do esforço cortante podem ser desprezados. 13.3 – Tensões causadas pelo momento fletor Considerando a viga de secão transversal retangular, mostrada na figura, submetida à carga distribuída q(x) tal que na seção genérica S provoca um momento fletor positivo MZ(x): q(x) S x X Isolando a parte esquerda da seção S e representando a seção transversal com seus eixos principais de inércia Y e Z tem-se: MZ X S S' Fibra F DDDDF Y Z Y x F z y Gx ➢ pela ação do momento fletor M_z a seção transversal S gira e passa para a posição S' ➢ a fibra genérica F sofre um alongamento ΔF ➢ o alongamento da fibra F é proporcional à coordenada y que determina a posição da fibra e independe da coordenada z ➢ portanto, os alongamentos (na parte da seção que fica abaixo do eixo z) e os encurtamentos (na parte da seção que fica acima do eixo z) variam linearmente e dependem somente da coordenada y Assim, se as deformações de alongamento e encurtamento variam linearmente, pode-se admitir que as tensões normais causadas pelo momento fletor MZ também variam linearmente, isto é, têm uma distribuição linear dependente da coordenada y e são independentes da coordenada z. MZ X Fibra F Y Z Y x F z y x G dA ssss L N Supondo a lei de variação das tensões normais na seção transversal como sendo: onde C é uma constante não nula. E considerando o equilíbrio de forças na direção x na seção transversal: C y σ = 0 0 0 0 0 x A A A A F dA C y dA C y dA y dA σ = = = = = ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ Isto é, o momento estático da seção transversal em relação ao eixo Z é nulo e o segmento LN sobre o eixo Z é constituído pelos pontos característicos de fibras que não se alongam nem se encurtam, sendo nestes pontos as tensões normais nulas. Este segmento é denominado linha neutra. No caso em estudo a linha neutra é baricêntrica, já que ela se confunde com o eixo Z que é baricêntrico, o que é confirmado pelo momento estático nulo. Como o momento fletor MZ é a causa do aparecimento das tensões normais ssss na seção transversal, então o momento fletor resultante da integração dos momentos relacionados com as tensões normais, com relação ao eixo Z, deve ser (por equilíbrio) igual ao momento fletor externo MZ. MZ X Fibra F Y Z Y x F z y x G dA ssss L N Sendo então: ( ) ( ) ( ) 2 ... ... ... Z A Z A Z A dA força na fibra F dA y momento da força com relação ao eixo Z M dA y onde C y M C y dA y M C y dA σ σ σ σ = = = = ∫ ∫ ∫ onde: é o momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Z. Então: 2 Z A I y dA = ∫ Z Z M C I = A lei de variação das tensões normais na seção transversal fica: Z Z M y I σ = MZ X Fibra F Y Z Y x F z y x G dA ssss L N A lei de variação das tensões normais na seção transversal fica: σ = \frac{M_{Z} y}{I_{Z}} Nesta expressão: ➢ y = 0 caracteriza a linha neutra onde σ = 0 ➢ para M_{Z} > 0 os pontos onde y > 0 estão submetidos a σ > 0 os pontos onde y < 0 estão submetidos a σ < 0 ➢ para M_{Z} < 0 os pontos onde y > 0 estão submetidos a σ < 0 os pontos onde y < 0 estão submetidos a σ > 0 Se o momento atuante fosse o momento fletor MY o processo de dedução da lei de variação das tensões normais na seção transversal seria semelhante, chegando-se à seguinte expressão: onde IY é o momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Y. Y Y M z I σ = As tensões normais máximas de tração e máximas de compressão estarão sempre nos pontos mais afastados da linha neutra. Para MZ estas tensões normais máximas de tração e máximas de compressão são: T T Z MAX MAX Z M y I σ = MZ X Y Z Y Gx N L ssssMAXC ssssMAX T y y y y MAXC y y y y MAX T ssss C C Z MAX MAX Z M y I σ = 13.4 - Estado de tensões. Projeto e verificação de peças submetidas a momento fletor ➢ Estado de tensões Para o momento fletor M_{Z} mostrado na figura, considerando os pontos mais tracionados (A) e os pontos mais comprimidos (B) tem-se: σ_{MAX_{c}} y_{MAX_{c}} y_{MAX_{T}} σ_{MAX_{T}} B A M_{Z} x y Retirando um prisma elementar de A (borda inferior): onde: 1 2 3 0 0 MAXT σ σ σ σ = = = ⇒ τ σ x x ssssMAX T ssssMAX T τ T T Z MAX MAX Z M y I σ = Retirando um prisma elementar de B (borda superior): onde: 1 2 3 0 0 C MAX σ σ σ σ = = = C C Z MAX MAX Z M y I σ = ⇒ τ σ x x ssssMAXC ssssMAXC Deve observar-se que ambos são casos de tensões uniaxiais e acontecem simultaneamente, mas em pontos diferentes da seção transversal. Isto deve ser levado em consideração no projeto e verificação. ➢ Projeto Para os pontos mais tracionados: σ_{1} = σ_{MAX_{T}} = \frac{M_{Z} y_{MAX_{T}}}{I_{Z}} σ_{2} = 0 σ_{3} = 0 Como se trata de um estado de tensões uniaxiais, qualquer teoria de resistência conduz às expressões da Teoria de Rankine, então, para a primeira expressão tem-se: 1 : ... : T T T T T T T Z MAX Z Z Z MAX Z Z s M y I s onde se define I W módulo de resistência à flexão y então M W s σ σ σ σ ≤ = = = chegando-se a: T T Z Z M s W σ = Para os pontos mais comprimidos: 1 2 3 0 0 C C Z MAX MAX Z M y I σ σ σ σ = = = = Como se trata de um estado de tensões uniaxiais, qualquer teoria de resistência conduz às expressões da Teoria de Rankine, então, para a segunda expressão tem-se: 3 : ... : C C C C C C C Z MAX Z Z Z MAX Z Z s M y I s onde se define I W módulo de resistência à flexão y então M W s σ σ σ σ ≥ = = = chegando-se a: C C Z Z M s W σ = ➢ Verificação Para os pontos mais tracionados: σ_1 = σ_{MAX_T} = \frac{M_Z y_{MAX_T}}{I_Z} σ_2 = 0 σ_3 = 0 Como se trata de um estado de tensões uniaxiais, qualquer teoria de resistência conduz às expressões da Teoria de Rankine, então, para a primeira expressão tem-se: neste caso, não há necessidade de se trabalhar com o módulo de resistência à flexão, chegando- se diretamente a: 1 T T T Z MAX Z s M y I s σ σ σ ≤ = T T Z T Z MAX I s M y σ = Para os pontos mais comprimidos: 1 2 3 0 0 C C Z MAX MAX Z M y I σ σ σ σ = = = = Como se trata de um estado de tensões uniaxiais, qualquer teoria de resistência conduz às expressões da Teoria de Rankine, então, para a segunda expressão tem-se: neste caso, não há necessidade de se trabalhar com o módulo de resistência à flexão, chegando- se diretamente a: 3 C C C Z MAX Z s M y I s σ σ σ ≥ = C C Z C Z MAX I s M y σ = 13.5 - Exercícios ➢ Resumo σ = \frac{M_Z y}{I_Z} Projeto Verificação T T Z Z M s W σ = T T Z Z MAX I W y = C C Z Z M s W σ = C C Z Z MAX I W y = T T Z T Z MAX I s M y σ = C C Z C Z MAX I s M y σ = ➢ Exemplo 1 Para a viga mostrada na figura projetar as seções 1, 2 e 3 e determinar qual delas é a seção mais econômica. Considerar que o material de que é feita a viga é dútil com tensão de escoamento igual a 15 MPa e que a estrutura deve trabalhar com coeficiente de segurança igual a 3. Dados: sssse = 15 MPa = 1,5 kN/cm2 s = 3 - projetar as seções 1, 2 e 3 - qual a seção mais econômica? [M] - + A B 2 m 3 m 0 + 10 kN C 6 kN 4 kN 12 kN m b h Seção 1 b h h=2b Seção 2 Seção 3 R b=2h Solução: ➤Momento fletor na seção C: ∑M_B = 0 −V_A 5 + 10 3 = 0 V_A = 6 kN M_C = V_A 2 M_C = 12 kN m = 1200 kN cm ➤Cálculo do módulo de resistência à flexão da seção transversal da viga: Como o material é dútil: σ_T = |σ_c| = σ_e = 1,5 kN/cm² Como as três seções cujo projeto foi solicitado são simétricas, em todas elas: y_MAX_T = |y_MAX_C| Então só é necessário analisar um ponto da borda mais tracionada ou um ponto da borda mais comprimida. Para os pontos mais tracionados: onde: então: Este é o valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que cada seção deve ter. T T Z Z M s W σ = 2 1200 3 1,5 / T Z e M kN cm s kN cm σ σ = = = = 3 1200 3 2400 1,5 2400 T T Z Z W W cm = = = ➤Projeto da Seção 1: Sendo: W_Z_T = |I_Z / y_MAX_T| e sabendo que para uma seção retangular: I_Z = b h³ / 12 sendo ainda: então: 3 3 3 2 12 12 3 2 2 T T Z Z MAX b h h h I h W h h y = = = = 2 2 T MAX b h h y = = 3 3 T Z h W = Deve-se igualar esta expressão ao valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que cada seção deve ter. Logo, para a Seção 1 tem-se: 2 19,3 38,6 745 h cm b cm A cm = = = 3 3 2400 3 3 2400 19,3 h h = = = 19,3 h cm = ➢Projeto da Seção 2: Sendo: W_{ZT} = \left| \frac{I_Z}{y_{MAX_T}} \right| e sabendo que para uma seção retangular: I_Z = \frac{b \, h^3}{12} sendo ainda: então: 3 3 3 (2 ) 2 12 12 2 3 2 2 T T Z Z MAX b h b b I b W h b y = = = = 2 2 T MAX h b h y = = 2 3 3 T Z b W = Deve-se igualar esta expressão ao valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que cada seção deve ter. Logo, para a Seção 2 tem-se: 2 15,3 30,6 468,2 b cm h cm A cm = = = 3 3 2 2400 3 3 2400 15,3 2 b b = = = 15,3 b cm = ➢Projeto da Seção 3: Sendo: W_{ZT} = \left| \frac{I_Z}{y_{MAX_T}} \right| e sabendo que para uma seção circular: I_Z = \frac{\pi \, R^4}{4} sendo ainda: então: 4 3 4 4 T T Z Z MAX R I R W y R π π = = = yMAXT R = 3 4 T Z R W = π Deve-se igualar esta expressão ao valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que cada seção deve ter. Logo, para a Seção 3 tem-se: 2 14,5 660,5 R cm A cm = = 3 3 2400 4 4 2400 14,5 R R π π = = = 14,5 R cm = Então, considerando como critério de economia o consumo de material, a seção mais econômica é a Seção 2, já que é a secão que tem menor área. ➢Exemplo 2 Para a seção mais econômica determinada no exemplo anterior e mantendo o coeficiente de segurança igual a 3, calcular quais deveriam ser suas dimensões (b e h) se o material fosse frágil com tensão limite de tração igual a 20 MPa e tensão limite de compressão igual a -25 MPa. Dados: ssssT = 20 MPa = 2 kN/cm2 ssssC = -25 MPa = -2,5 kN/cm2 s = 3 b = ? h = ? [M] - + A B 2 m 3 m 0 + 10 kN C 6 kN 4 kN 12 kN m b h h=2b Solução: ➔Momento fletor na seção C: \( M_C = 12 \ kN \ m = 1200 \ kN \ cm \) ➔Cálculo do módulo de resistência à flexão da seção transversal da viga: Como a seção é simétrica: \( y_{MAX_T} =\left| y_{MAX_C} \right| \) Mas sendo o material frágil: \( \sigma_{T} \neq \left| \sigma_{C} \right| \): Então é necessário analisar um ponto da borda mais tracionada e um ponto da borda mais comprimida. Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z Z M s W σ = 2 1200 3 2 / T MZ kN cm s kN cm σ = = = 3 1200 3 1800 2 1800 T T Z Z W W cm = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z Z M s W σ = 2 1200 3 2,5 / C MZ kN cm s kN cm σ = = = − 3 1200 3 1440 2,5 1440 C C Z Z W W cm = = − = O valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que a seção deverá ter é o calculado para os pontos mais tracionados (o maior): 3 1800 WZT cm = ➔Projeto da Seção: Como foi deduzido no Exemplo 1, para esta seção onde \( h = 2b \), tem-se: \( W_{Z_T} = \left| \frac{2b^3}{3} \right| \) Deve-se igualar esta expressão ao valor do módulo de resistência à flexão com relação ao eixo Z que a seção deve ter. Logo, tem-se: 2 13,9 27,8 386,4 b cm h cm A cm = = = 3 3 2 1800 3 3 1800 13,9 2 b b = = = 13,9 b cm = ➔Exemplo 3 Verificar a viga mostrada na figura, analisando duas possibilidades de construção: uma com o perfil montado na posição \( A \) e outra com o perfil montado na posição \( B \) e considerando que o material de que é feito o perfil é dútil com tensão de escoamento igual a 600 MPa. Dados: sssse = 600 MPa = 60 kN/cm2 IZ = 366 cm4 sA = ? perfil na posição A sB = ? perfil na posição B [M] - + A B 5 kN/m + Z q l ___ 8 = 2 M MAX 4 m V A VB HA 12 cm 12 cm Y 3,28 cm 8,72 cm Posição A Posição B 366 cm I I I I Z= 4 Solução: Momento fletor máximo no centro do vão: M_MAX = \frac{q\ l^2}{8} M_MAX = \frac{5\ 4^2}{8} = 10 M_MAX = 10\ kN\ m = 1000\ kN\ cm Cálculo do coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição A: σ_MAX_C M_MAX σ_MAX_T y_MAX_C = -3,28 cm y_MAX_T = 8,72 cm Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 60 / 366 1000 8,72 T T e Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = σ = = = = 60 366 2,5 1000 8,72 2,5 T T s s = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 60 / 366 1000 3,28 C C e Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = −σ = − = = = − ( ) ( ) 60 366 6,7 1000 3,28 6,7 C C s s − = = − = Portanto, o coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição A é: 2,5 As = Cálculo do coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição B: σ_MAX_C M_MAX σ_MAX_T y_MAX_C = -8,72 cm y_MAX_T = 3,28 cm Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 60 / 366 1000 3,28 T T e Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = σ = = = = 60 366 6,7 1000 3,28 6,7 T T s s = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 60 / 366 1000 8,72 C C e Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = −σ = − = = = − ( ) ( ) 60 366 2,5 1000 8,72 2,5 C C s s − = = − = Portanto, o coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição B é: s_B = 2,5 ►Conclusão: não houve alteração do valor do coeficiente de segurança ao inverter o perfil. Em termos de segurança é indiferente construir a viga com o perfil montado na posição A ou na posição B. ►Exemplo 4 Verificar novamente a viga do exemplo anterior, analisando as mesmas possibilidades de construção (perfil nas posições A e B), mas desta vez considerando que o material é frágil com tensão limite de tração igual a 500 MPa e tensão limite de compressão igual a -900 MPa. Dados: ssssT = 500 MPa = 50 kN/cm2 ssssC = -900 MPa = -90 kN/cm2 IZ = 366 cm4 sA = ? perfil na posição A sB = ? perfil na posição B [M] - + A B 5 kN/m + Z q l ___ 8 = 2 M MAX 4 m V A VB HA 12 cm 12 cm Y 3,28 cm 8,72 cm Posição A Posição B 366 cm I I I I Z= 4 Solução: ►Momento fletor máximo no centro do vão: M_{MAX} = 10 kN m = 1000 kN cm Cálculo do coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição A: y_{MAX_C} = -3,28 cm y_{MAX_T} = 8,72 cm Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 50 / 366 1000 8,72 T T Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = = = = 50 366 2,1 1000 8,72 2,1 T T s s = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 90 / 366 1000 3,28 C C Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = − = = = − ( ) ( ) 90 366 10,0 1000 3,28 10,0 C C s s − = = − = Portanto, o coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição A é: 2,1 As = Cálculo do coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição B: y_{MAX_C} = -8,72 cm y_{MAX_T} = 3,28 cm Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 50 / 366 1000 3,28 T T Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = = = = 50 366 5,6 1000 3,28 5,6 T T s s = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 90 / 366 1000 8,72 C C Z Z MAX kN cm I cm M kN cm y cm σ = − = = = − ( ) ( ) 90 366 3,8 1000 8,72 3,8 C C s s − = = − = Portanto, o coeficiente de segurança da viga para o perfil na posição B é: s_{B} = 3,8 Conclusão: há alteração do valor do coeficiente de segurança ao inverter o perfil. Em termos de segurança é melhor construir a viga com o perfil montado na posição B. Exemplo 5 Determinar o coeficiente de segurança da viga mostrada na figura, considerando que o material de que é feita é frágil com tensão limite de tração igual a 5 MPa e tensão limite de compressão igual a -20 MPa. Dados: ssssT = 5 MPa = 0,5 kN/cm2 ssssC = -20 MPa = -2 kN/cm2 IZ = 22500 cm4 s = ? [M] - + A B 5 kN/m + 4 m V A VB HA 10 kN 1 m - M MAX x MAX M MIN Z 30 cm 30 cm Y 10 cm 20 cm 3 4 36 22500 Z Z b h I I cm = = Solução: Momentos fletores máximo e mínimo: Σ M_A = 0 V_B 4 - 10 5 - (5 5) 2,5 = 0 V_B = 28,125 kN Σ F_Y = 0 V_A + V_B - 10 - (5 5) = 0 V_A = 6,875 kN ( ) 6,875 5 ( ) 0 1,375 1,375 6,875 1,375 (5 1,375) 4,72 2 4,72 472 1 10 1 (5 1) 12,5 2 12,5 1250 MAX MAX MAX MIN MIN Q x x Q x x m M M kN m kN cm M M kN m kN cm = − = ⇒ = = − = = = = − − = − = − = − Cálculo do coeficiente de segurança na seção do momento máximo M_MAX: Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 0,5 / 22500 472 20 T T Z Z MAX MAX kN cm I cm M M kN cm y cm σ = = = = = 0,5 22500 1,2 472 20 1,2 T T s s = = = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 2 / 22500 472 10 C C Z Z MAX MAX kN cm I cm M M kN cm y cm σ = − = = = = − ( ) ( ) 2 22500 9,5 472 10 9,5 C C s s − = = − = ➢Cálculo do coeficiente de segurança na seção do momento mínimo M_MIN: σ_MAX_T y_MAX_T = 10 cm σ_MAX_C y_MAX_C = 20 cm Para os pontos mais tracionados: onde: então: T T Z T Z MAX I s M y σ = 2 4 0,5 / 22500 1250 10 T T Z Z MIN MAX kN cm I cm M M kN cm y cm σ = = = = − = − ( ) ( ) 0,5 22500 0,9 1250 10 0,9 T T s s = = − − = Para os pontos mais comprimidos: onde: então: C C Z C Z MAX I s M y σ = 2 4 2 / 22500 1250 20 C C Z Z MIN MAX kN cm I cm M M kN cm y cm σ = − = = = − = ( ) ( ) 2 22500 1,8 1250 20 1,8 C C s s − = = − = Portanto, o coeficiente de segurança da viga é: s_B = 0,9 ➢Conclusão: não há segurança, já que o coeficiente de segurança na parte tracionada da seção onde atua o momento mínimo é menor que 1, o que indica que as tensões normais provocadas pelo momento fletor ultrapassam a tensão limite de tração do material. ➢Exercício proposto Dimensionar a seção transversal da viga mostrada na figura sabendo que ela deve trabalhar com coeficiente de segurança igual a 2,5 e que o material de que é feita é frágil com tensão limite de tração igual a 1600 kgf/cm² e tensão limite de compressão igual a -1800 kgf/cm² MPa. Dados: ssssT = 1600 kgf/cm2 ssssC = -1800 kgf/cm2 s = 2,5 b = ? h = ? Resposta: MMAX = 4064 kgf m b = 9,8 cm h = 19,6 cm A B 800 kgf/m 4 m V A VB HA 2 m 600 kgf/m 1200 kgf C D E 2 m 2 m b h h=2b M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T Regime Elástico Linear 13.6 - Flexão elasto-plástica: rótulas plásticas A distribuição linear de tensões descrita pela expressão que foi apresentada só é válida para materiais em regime elástico linear. Para materiais dúteis, esta distribuição linear é válida até que as fibras mais afastadas da linha neutra atinjam a tensão de escoamento. M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear A partir de então, se o material for elasto- plástico perfeito e o momento fletor que atua na seção transversal for aumentado, as fibras mais afastadas da linha neutra vão plastificando ao atingir também a tensão de escoamento. M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e X Y M3 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear Seção Parcialmente Plastificada A situação limite consiste em submeter a seção transversal a um momento fletor suficientemente elevado ao ponto que todas as fibras ficam em regime plástico, ou seja, submetidas à tensão de escoamento. M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e X Y M3 ssss e ssss e X Y M4 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear Seção Parcialmente Plastificada Seção Totalmente Plastificada Esta situação é chamada de plastificação total da seção e equivale à formação de uma rótula plástica, porque o comportamento estrutural da peça nesta seção é idêntico ao de uma rótula: qualquer acréscimo de momento fletor provocará uma deformação de rotação ilimitada. M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e X Y M3 ssss e ssss e X Y M4 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear Seção Parcialmente Plastificada Seção Totalmente Plastificada Esta consideração permite uma abordagem otimizada nos projetos de estruturas de materiais elasto-plásticos (e de fato, é utilizada nos projetos de estruturas metálicas, mais especificamente nas estruturas de aço). M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e X Y M3 ssss e ssss e X Y M4 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear Seção Parcialmente Plastificada Seção Totalmente Plastificada Se a estrutura é hiperestática, é possível ir além da situação limite do regime elástico linear, passando pela formação de sucessivas rótulas plásticas, diminuindo o grau de hiperestaticidade da estrutura até chegar à situação última, em que a estrutura fica hipostática. M1 X Y ssssMAXC ssssMAX T X Y M2 ssss e ssss e X Y M3 ssss e ssss e X Y M4 ssss e ssss e Regime Elástico Linear Situação Limite do Regime Elástico Linear Seção Parcialmente Plastificada Seção Totalmente Plastificada 13.7 - Cisalhamento na flexão Considerando a viga mostrada na figura, composta de uma série de lâminas superpostas, sem atrito entre elas, se for submetida à ação de cargas verticais se verifica que ocorre deslizamento de cada lâmina com relação às demais. Ao comparar este comportamento com o de uma viga maciça, que pode ser imaginada como sendo composta por lâminas de um mesmo material, coladas entre si em toda a superfície de contato entre elas, é possível perceber que a mesma tendência de deslizamento existe mas ela é impedida pela ligação das lâminas entre si, que desenvolvem então tensões na direção do deslizamento impedido: são tensões tangenciais que surgem nos planos imaginários de deslizamento. Pelo princípio da reciprocidade das tensões tangenciais, a tensão tangencial que surge em um ponto do plano de deslizamento deve ter uma tensão tangencial correspondente no plano da seção transversal. Plano da Seção Transversal Plano de Deslizamento tttt tttt Considerando a viga mostrada na figura, na qual são feitos os cortes transversais S1 e S2 e o corte longitudinal S3, de tal forma que pode ser isolado o elemento hachurado mostrado: S1 q(x) X S2 S3 c dx x Z Y S3 c G Para a análise do equilíbrio deste elemento hachurado são consideradas as seguintes hipóteses: S1 q(x) S2 S3 c dx X Z Y S3 c G b(y) tttt tttt tttt tttt tttt Vista da Seção Transversal S1 Vista Lateral tttt A _ M+dM M Q Q+dQ ssss ssss +dssss ➢As tensões tangenciais nas seções transversais são paralelas ao eixo Y e independentes do eixo Z, ou seja, não há variação da tensão tangencial ao longo da largura da seção transversal da viga. q(x) M Q M+dM Q+dQ 𝜏 𝜏 𝜏 Vista Lateral 𝜎 𝜎+d𝜎 dx S1 S2 S3 c x b(y) G S1 S3 c Y Z A̅ Vista da Seção Transversal S1 ➢A presença do esforço cortante não altera a distribuição de tensões normais devidas ao momento fletor. q(x) M Q M+dM Q+dQ 𝜏 𝜏 𝜏 Vista Lateral 𝜎 𝜎+d𝜎 dx S1 S2 S3 c x b(y) G S1 S3 c Y Z A̅ Vista da Seção Transversal S1 Estudando o equilíbrio do elemento hachurado isolado com relação ao eixo X, resulta: S1 q(x) S2 S3 c dx X Z Y S3 c G b(y) tttt tttt tttt tttt tttt Vista da Seção Transversal S1 Vista Lateral tttt A _ M+dM M Q Q+dQ ssss ssss ssss +d ( ) 0 0 X A A F d dA dA b dx σ σ σ τ = + − − = ∑ ∫ ∫ sendo b a largura da seção transversal na linha de corte S3, onde estão atuando as tensões tangenciais consideradas, não necessariamente constante, podendo ser b = b(y). Desenvolvendo a expressão: 0 0 A A A A dA d dA dA b dx d dA b dx σ σ σ τ σ τ + − − = − = ∫ ∫ ∫ ∫ Se: então pode-se admitir que: Z Z M y I σ = Z Z dM y d I σ = o que aplicado na expressão anterior resulta: onde: 0 1 Z Z A Z Z A Z Z A Z Z A dM y dA b dx I dM y dA b dx I dM y dA b dx I dM y dA dx b I τ τ τ τ − = = =   =     ∫ ∫ ∫ ∫ dMZ Q dx = e a integral que aparece na expressão é o momento estático da área que está abaixo do corte S3, com relação ao eixo Z baricêntrico (linha neutra) em torno do qual ocorre a flexão: Assim, chega-se a: que é a tensão tangencial que ocorre na linha de corte S3 da seção transversal. Z A S y dA = ∫ Z Z Q S b I τ = Resumindo: Z Z Q S b I τ = Z Y G b A _ tttt onde: tttt: tensão tangencial na linha de corte Q: esforço cortante na seção transversal SZ: momento estático da área que está abaixo da linha de corte onde se está calculando a tensão tangencial b: largura da seção na linha de corte onde se está calculando a tensão tangencial IZ: momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Z. É importante notar que apesar desta expressão ter sido desenvolvida a partir da distribuição das tensões normais ssss causadas pelo momento fletor MZ, as tensões tangenciais tttt são causadas pelo esforço cortante Q que atua na seção transversal. Na flexão pura, não há esforço cortante, portanto não há tensões tangenciais. Exemplo: Considerando uma viga fletida com seção transversal retangular de dimensões conhecidas b e h, determinar a expressão que permite calcular as tensões tangenciais tttt em qualquer ponto da seção transversal conhecendo o valor do esforço cortante Q que atua nessa seção. Determinar também qual o valor da tensão tangencial máxima. Dados: b h Q tttt? ttttMAX? Z Y G b h Solução: Sendo as tensões tangenciais na linha de corte S3 paralela ao eixo Z mostrada na figura: Z Y G b tttt S3 h y h 2 __ - y Z Z Q S b I τ = onde SZ é o momento estático da área que está abaixo da linha de corte onde se está calculando a tensão tangencial, dada pelo produto dessa área pela distância do seu baricentro até o baricentro da seção transversal inteira, ou seja: ( ) 1 2 2 2 2 4 2 2 2 2 4 2 2 2 Z Z Z Z h h S b y y y b h h y S b y y b y h S h y b h h S y y         = − × + −                     = − × + −           = − × +         = − × +         ou seja: IZ é o momento de inércia da seção transversal com relação ao eixo Z: 2 2 2 4 Z b h S y   = −     3 12 Z b h I = e sendo b a largura (constante) da seção transversal na linha de corte onde se está calculando a tensão tangencial e Q o esforço cortante na seção transversal, tem-se: chegando-se a: 2 2 3 2 4 12 Z Z Q S b I b h Q y b h b τ τ =   −     = 2 2 3 6 4 Q h y b h τ   = −     Nesta expressão, para as bordas superior e inferior da seção resulta: Isto está de acordo com o princípio da reciprocidade das tensões tangenciais que a formulação do cisalhamento convencional não respeitava. 0 2 0 2 h y h y τ τ = ⇒ = = − ⇒ = As tensões tangenciais máximas podem ser determinadas fazendo: que conduz a: isto é: sendo então: 0 d dy τ = 3 12 0 d Q y dy b h τ = − = 0 MAX y τ = ⇒ 2 3 6 0 4 MAX Q h b h τ   = −     Chegando-se a: ou seja, as tensões tangenciais máximas causadas pelo esforço cortante em uma viga fletida de seção transversal retangular ocorrem ao longo da linha neutra (y = 0) e são 50% maiores que a tensão tangencial média obtida pela fórmula do cisalhamento convencional. 3 3 2 2 MAX Q Q b h A τ = =