Apostila Resmat-2022 2

II – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS • Estruturas deixam de ser rígidas e passam a sofrer deformações. • Física dos corpos rígidos (Newton) deixa de valer, no entanto as eqs. de Newton ainda devem ser satisfeitas para se garantir o equilíbrio. • Todas as soluções isostáticas continuam válidas (desde que a deformação estrutural seja pequena) • Novas equações, baseadas no estudo de deformações, podem ser formuladas e permitirão o estudo de estruturas hiper-estáticas. II.1 – Tensões Seja o corpo abaixo em equilíbrio As solicitações R e M são as solicitações calculadas conforme visto em isostática. Elas atuam na área total “A” da seção. F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 S R = Solicitação força resultante M= Solicitação mom. resultante R F3 F4 A M No entanto, se considerarmos apenas uma parcela da área total da seção (∆A), teremos apenas uma parcela das solicitações (∆R, ∆M) agindo nesta parcela de área Define-se tensão total como: ρ= lim ∆A →0 ∆R/∆A ou ρ= dR/dA Observações: • tensão é uma grandeza pontual (é definida para cada um dos infinitos pontos de um corpo). • Tem unidade de força/área. Unidades mais usuais: Pa (N/m2); MPa (N/mm2); KN/cm2; Kgf/cm2; etc. Normalmente se decompõe ρ em uma parcela normal (σ)e tangencial (τ) à seção. ∆∆∆∆R F3 F4 ∆∆∆∆A ∆∆∆∆M ρρρρ F3 F4 dA σσσσ ττττ σ (sigma)= tensão normal (tensão normal à seção) τ (tau)= tensão tangencial, ou tensão de corte, ou tensão cortante, ou tensão de cisalhamento, ou tensão cisalhante (tensão tangencial à seção). Imaginem o “ponto” abaixo (um ponto pode ser imaginado como um cubo de dimensões infinitesimais, também conhecido como “cubo de tensões”). Considerem 2 situações: a) No ponto atua apenas uma tensão normal σ: Como às tensões temos associadas solicitações, no caso acima ΣFx = 0 não fica satisfeito. Ele só será satisfeito se na face oposta do cubo de tensões atuar tensão de igual magnitude mas sentido oposto b) No ponto atua apenas uma tensão tangencial τ: No caso acima ΣFy = 0 não fica satisfeito. Ele só será satisfeito se σ σ σ τ Agora ΣFy = 0 fica satisfeito, mas não ΣMz = 0. Ele só será satisfeito se Logo, se numa face do cubo de tensões atua uma tensão τ, na face adjacente um τ de igual magnitude deve agir. Se o primeiro τ aponta na direção da aresta, o segundo τ também deve apontar para a aresta comum. Esta configuração se denomina de princípio da reciprocidade. τ τ τ τ τ τ II.2 – Deformações Qualquer deformação que um corpo tenha, por mais complexa que seja, sempre pode ser decomposta em dois tipos, conforme abaixo: II.2.1 – Deformações específicas longitudinais (ε) Seja o corpo abaixo (uma barra), de comprimento inicial L0. L0 Um σ uniforme é então aplicado na direção do comprimento inicial L0. Fazendo com que o corpo passe a ter um comprimento L. L Define-se deformações específicas longitudinais (ε) como: ε = ∆L / L0 Onde ∆L = L - L0 é denominado alongamento se positivo ou encurtamento se negativo. Obs ε é adimensional. σ II.2.1 – Distorções específicas (γ) Seja o corpo abaixo (um cubo) Um τ uniforme é então aplicado na face superior: Define-se distorções específicas (γ) como o ângulo de distorção α, medido em rad. Observa-se então que deve existir uma relação entre tensões aplicadas (σ, τ) e as respectivas deformações (ε, γ). Estas relações são denominadas Relações Constitutivas. τ α II.3 – Relações Constitutivas Conforme o materiais, há dezenas de possíveis relações tensão x deformação: a) Relação elástico-linear b) Relação elástico-não-linear c) Relação elástico-plástico d) Relação elástico-viscosa e) Relação elástico-viscoplástica f) Etc Observa-se que quase a totalidade dos materiais, pelo menos até um certo nível de tensões aplicadas, comporta-se como elástico-linear. Normalmente em cálculo estrutural, trabalha-se dentro do regime elástico-linear. Portanto,para o estudo do cálculo estrutural, interessa fundamentalmente entender apenas o item “a” acima, mesmo que o material recaia num outro tipo de relação para níveis maiores de tensões. Assim estes outros tipos de relação na verdade não vão interessar pois os níveis de tensão admissível no material deverá ser aquela da validade da relação elástico-linear. II.3.1 – Relação elástico-linear (lei de Hooke) Em experiências com molas carregadas por diferentes pesos, Hooke chegou a dois postulados: • Proporcionalidade (deslocamentos nas molas eram proporcionais aos pesos) • Reversibilidade (molas voltavam ao comprimento inicial, removidos os pesos) Aplicando estes postulados às rel. tensão x deformação conclui-se que: σ/ε=E Onde E é uma propriedade dos materiais denominada módulo de elasticidade longitudinal. Em aços , E≈210.000 MPa; em concretos E≈30.000 MPa. τ/γ=G Onde G é uma propriedade dos materiais denominada módulo de elasticidade transversal. Em aços , E≈80.000 MPa; em concretos E≈12.000 MPa. Deve-se lembrar que a relação elástico-linear (Hooke) é válida apenas até um certo nível de tensões, denominado tensões limites (σσσσlim ). Estas tensões limites dependem do tipo de material. II.4 – Tipos de materiais usuais em Engenharia Civil II.4.1 – Materiais dúteis (aços e metais em geral) Seja um ensaio de tração simples num corpo de prova (barra ou placa), no qual se registra o alongamento do mesmo (∆L) e a força aplicada (F). Conhecendo as dimensões iniciais do corpo (L0, A0), pode-se determinar σ e ε: Onde σP = tensão de proporcionalidade σesc = tensão de escoamento σR = tensão de ruptura Obs.: Comportamento em compressão é idêntico à tração. Para fins práticos, σP ≈ σesc assim se admite que, em materiais dúteis: σlim = ±σesc σ ε 0 1 2 3 4 σR σesc σP II.4.1 – Materiais frágeis (concretos, rochas, solos, vidros, cerâmicas, alvenaria, etc) Seja um ensaio de tração simples e compressão simples. Pode-se, de forma aproximada, dizer que o comportamento frágil é dado pelas curvas abaixo: Onde σRT = tensão de ruptura em tração σRC = tensão de ruptura em compressão Obs.: Em geral |σRC |>>σRT σlim = σRT (tração) OU σlim = σRC (compressão) σ ε 0 1 2 σRT σRC II.5 – Segurança e Tensões Admissíveis Sempre que σ>σlim • Deixam de valer as relações de Hooke • Material entra em colapso estrutural Logo, as tensões admissíveis σσσσadm numa estrutura, devem cumprir a seguinte condição: σadm < σlim Como é muito perigoso admitir tensões muito próximas as limites, em função de incertezas de cálculo, admite-se um fator de segurança s (>1), com o qual divide-se σlim . Assim, finalmente, σadm = σlim/s s é um fator crítico no projeto estrutural: • Se s < 1 => COLAPSO • Se s >> 1 => ESTRUTURA SUPERDIMENSIONADA