Slide Torção-2022 1

12 Torção ENG01201 – Mecânica Estrutural I Notas de Aula – Prof. Luis Alberto Segovia González 12.1 - Conceito Considerando uma barra de seção circular, engastada na sua extremidade esquerda e livre na extremidade direita, e em cuja superfície lateral foi desenhado um quadriculado, como mostrado na figura, se ela for submetida a um momento torçor MT, verifica-se que a deformação sofrida pela barra provoca uma distorção do quadriculado. Distorções são causadas por tensões tangenciais, logo o momento torçor provoca tensões tangenciais na seção transversal da barra. gggg MT gggg tttt MT MT O estudo da torção consiste na análise das tensões tangenciais e as distorções correspondentes, em elementos estruturais com diferentes tipos de seção transversal, já que não existe uma fórmula única. As tensões tangenciais se distribuem de maneira diferente, dependendo do tipo de seção transversal. Assim, serão estudadas barras com as seguintes seções transversais: Seções circulares cheias. Seções circulares vazadas (tubos de paredes grossas). Seções tubulares de paredes finas. Seções retangulares. Seções quadradas. Seções retangulares alongadas. Seções constituídas de retângulos alongados (perfis). 12.2 – Hipóteses adotadas na análise Seções planas permanecem planas após a aplicação do momento torçor. Não há empenamento da seção. Os raios das seções circulares permanecem retos após a aplicação do momento torçor. 12.3 – Torção em peças de seção circular Considerando a barra de seção circular engastada na extremidade esquerda e livre na extremidade direita, mostrada na figura, submetida ao momento torçor MT aplicado na extremidade direita sobre seu eixo longitudinal: X X X X X X X X S1 S2 S3 O1 O2 O3 A B B' C C' MT gggg θ a a a a 1 l A seção transversal da peça é circular cheia de raio R, mas a análise pode ser aplicada também no caso da seção circular vazada de raio externo Re e raio interno Ri. X R X Re Ri Seção Circular Cheia Seção Circular Vazada Para a peça mostrada na figura, a fibra longitudinal inicialmente reta ABC, após a aplicação do momento torçor se encurva segundo a hélice cilíndrica de pequena curvatura AB'C', de tal forma que: - α é o ângulo de giro da seção transversal S3 com relação à seção transversal fixa S1 e se denomina ângulo total de torção: α = CÔ3C' - θ é o ângulo de giro da seção transversal S2 com relação à seção transversal fixa S1 e se denomina ângulo unitário de torção: θ = BÔ2B' Como a hélice AB’C’ é de pequena curvatura, pode-se admitir que o ângulo de giro de uma seção transversal qualquer é proporcional à distância desta seção transversal até a seção transversal de referência S1, isto é: (1) portanto, conhecendo o ângulo unitário de torção 2222 será possível calcular o ângulo de giro de qualquer seção transversal com relação à seção transversal de referência S1. 1 l α θ = l α =θ Sendo: R = O1A = O2B = O2B' = O3C = O3C' e: B̂B' = θ R e lembrando também que o ângulo γ é a distorção específica, sendo: B̂B' = γ l tem-se: γ = θ R e sendo, pela Lei de Hooke: τ = G γ γ = τ/G então: ou, para um ponto genérico P localizado a uma distância r do centro da seção transversal: (2) G r τ θ = R G G R τ θ τ θ = = MT r X XP τ Esta expressão permite calcular a tensão tangencial em um ponto genérico P de uma seção transversal, localizado a uma distância r do centro da seção. Ela também constitui a lei da distribuição das tensões tangenciais e mostra que a tensão tangencial é zero no centro e máxima no contorno (onde r=R). Se a seção transversal é vazada, então a tensão tangencial mínima atua no contorno interno (onde r=Ri) e a máxima no contorno externo (onde r=Re). MT X MAX τ X MT MAX τ MAX τ τMAX Resta agora relacionar o momento torçor MT com o ângulo unitário de torção 2222, para obter uma expressão que permita determinar as tensões tangenciais que atuam na seção, a partir do momento torçor MT. Como o momento torçor MT é a causa do aparecimento das tensões tangenciais tttt na seção transversal, então o momento torçor resultante da integração dos momentos relacionados com as tensões tangenciais, com relação ao centro da seção, deve ser (por equilíbrio) igual ao momento torçor externo MT. MT r X X τ dA Sendo então: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ... ... ... A T A T A T A T A dA força no ponto P dA r momento da força no ponto com relação ao centro dA r integração dos momentos na área M r dA M G r r dA M G r dA M G r dA τ τ τ τ θ θ θ = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lembrando que Io é o momento de inércia polar da seção transversal com relação ao centro: (3) tem-se: obtendo-se então a expressão do ângulo unitário de torção 2222 (4) e a expressão das tensões tangenciais tttt (5) 2 o A I r dA = ∫ T o M G θ I = T o M G I θ = T o M r I τ = Para uma peça de seção circular cheia tem-se: (6) Para uma peça de seção circular vazada tem-se: (7) Unidades: - tensões tangenciais tttt: MPa , kN/cm2 , kgf/cm2 - ângulo unitário de torção 2222 : rad/m , rad/cm - ângulo total de torção a a a a: rad 4 2 o R I π = ( ) 4 4 2 e i o R R I π − = 12.4 - Estado de tensões. Projeto e verificação de peças submetidas a momento torçor Os pontos críticos de uma seção transversal de uma peça de seção circular submetida a um momento torçor MT são os pontos do contorno, já que nestes pontos a tensão tangencial é máxima. MT X MAX τ X MT MAX τ MAX τ τMAX Para uma peça de seção circular cheia tem-se: (8) 4 4 3 ... 2 2 2 MAX o T T T MAX o r R R I M r M R M R I R τ π τ π π = = = = = 3 2 T MAX M R τ = π Para uma peça de seção circular vazada tem-se: (9) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 4 ... 2 2 2 MAX e e i o T T e T e MAX o e i e i r R R R I M r M R M R I R R R R τ π τ π π = − = = = = − − ( ) 4 4 2 T e MAX e i M R R R τ π = − Considerando um pequeno prisma elementar retirado do entorno de um ponto do contorno da seção transversal de uma peça de seção circular submetida ao momento torçor MT, tem-se: MT Considerando um pequeno prisma elementar retirado do entorno de um ponto do contorno da seção transversal de uma peça de seção circular submetida ao momento torçor MT, tem-se: MT τMAX Considerando um pequeno prisma elementar retirado do entorno de um ponto do contorno da seção transversal de uma peça de seção circular submetida ao momento torçor MT, tem-se: MT MAX τ τMAX Considerando um pequeno prisma elementar retirado do entorno de um ponto do contorno da seção transversal de uma peça de seção circular submetida ao momento torçor MT, tem-se: MT MAX τ MAX τ 90 o MAX τ τMAX OU tttt ssss ssss1 ssss3 MAX τ MAX τ MAX τ MAX τ MAX τ τMAX − Para uma peça de seção circular cheia a tensão tangencial máxima é: Para uma peça de seção circular vazada a tensão tangencial máxima é: 3 2 T MAX M R τ π = ( ) 4 4 2 T e MAX e i M R R R τ π = − As tensões principais são: Para a solução do problema de projeto ou de verificação estas tensões principais devem ser introduzidas na expressão da teoria de Resistência que for mais adequada, conforme o material for dútil ou frágil. 1 2 3 0 MAX MAX σ τ σ σ τ = = = − 12.5 - Eixos de transmissão Os eixos de transmissão de potência trabalham sob torção e suas dimensões devem ser tais que não apareçam tensões tangenciais elevadas. Geralmente é conhecida a potência do motor ao qual está acoplado o eixo (N) e o número de rotações efetuadas por este eixo (n). Considerando a potência do motor (N) em Cavalos Vapor (CV) e o número de rotações efetuadas pelo eixo (n) em rotações por minuto (rpm), será deduzida a partir destes dados uma expressão para o momento torçor MT que atua no eixo, o qual será obtido em kgf m. Conhecendo: N : potência do motor, em Cavalos Vapor (CV) n: número de rotações efetuadas pelo eixo, em rotações por minuto (rpm) Deseja-se calcular: MT: momento torçor que atua no eixo, em kgf m MT R a F Sendo: F: força que faz algum trabalho, em kgf a: raio da roda, em m R: raio do eixo, em m MT R a F ( ) ( ) ( ) 2 .. ( ) 2 .. ( ) 2 .. 1 ( / ) 2 .. 1 ( 60 a circunferência da roda m a F trabalho da força F em uma volta da roda kgf m a F n potência transmitida ao eixo em min kgf m min a F n potência transmitida ao eixo em s π π π π ( ) /s) 1 1 75 2 .. 1 ( ) 60 75 kgf m sendo kgf m CV s então a F n potência transmitida ao eixo em s CV π = ( ) 2 2 60 75 60 75 2 60 75 60 75 716,2 2 T T T logo a F n N F a n e sendo M F a então N M n N N M n n π π π π = = = = = = Conhecendo o momento torçor MT é possível calcular as tensões tangenciais e as deformações do eixo, e portanto, projetá-lo ou verificá-lo. Observações: 1 W = 0,102 kgf m / s 1 CV = 735,5 W = 0,986 HP = 75 kgf m / s 1 HP = 745,7 W = 1,014 CV 1 kW = 1,359 CV = 1,314 HP ( ) 716,2 ... T N M kgf m n = 12.6 – Torção em peças de seção tubular de paredes finas Considerando a peça tubular de eixo reto e de parede com pequena espessura em relação às demais dimensões da seção transversal, submetida a torção, como mostra a figura: MT MT Em uma espessura qualquer AB, por exemplo, as tensões tangenciais devem ser tangentes ao contorno externo e ao contorno interno. Além disso, como a espessura AB é pequena pode-se supor que as tensões ttttA e ttttB são paralelas e variam muito pouco entre o ponto A e o ponto B. MT ox x x B A A τ τB Assim, pode-se adotar como valor de tensão contante em uma mesma espessura a tensão tangencial tttt do ponto localizado na metade da espessura, isto é, do ponto que está localizado no contorno médio da seção. Isto conduz a uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma mesma espessura. MT ox x x B A τ CONTORNO MÉDIO DA SEÇÃO MT ox 1τ e1 2τ e2 e3 3τ Para determinar uma fórmula que permita calcular as tensões tangenciais em uma espessura qualquer, estuda-se o equilíbrio de um elemento obtido através de dois cortes transversais muito próximos e dois cortes longitudinais, que resultam no elemento mostrado na figura: e1 e1 1τ 1τ e2 e2 2τ 2τ dx 1τ 2τ isto é: ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0 0 X F e dx e dx e e e e τ τ τ τ τ τ = − = − = = ∑ e cte τ = Como as tensões tangenciais tttt são causadas pelo momento torçor externo MT, então o momento torçor resultante da integração em todo o contorno dos momentos relacionados com as tensões tangenciais, com relação ao centro de torção da seção, deve ser (por equilíbrio) igual ao momento torçor externo MT. MT ox x x B A τ Assim, para o elemento hachurado de espessura média e, comprimento médio dc e raio de curvatura da linha média r, onde atua a tensão tangencial tttt, tem-se: MT o x x τ CONTORNO MÉDIO DA SEÇÃO r x e dc onde WWWW: área fechada pelo contorno médio da seção 2 r dc Ω = ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ... ... ... ... dA força no elemento hachurado e dc força no elemento hachurado e dc r momento com relação ao centro de torção e dc r integração dos momentos em todo o contorno M τ τ τ τ             ∫ ( ) ( ) ... T T T e dc r M e r dc onde e cte M e r dc τ τ τ τ =     = = = ∫ ∫ ∫ MT o x x τ CONTORNO MÉDIO DA SEÇÃO r x e dc x ÁREA FECHADA PELO CONTORNO MÉDIO DA SEÇÃO Ω então: A tensão tangencial é então: onde: tttt: tensão tangencial na espessura considerada MT: momento torçor na seção transversal e: espessura considerada WWWW: área fechada pelo contorno médio da seção transversal 2 MT =τ e Ω 2 T M e τ = Ω A tensão tangencial é máxima onde a espessura é mínima, sendo: O ângulo unitário de torção é dado pela expressão: 2 T MAX MIN M e τ = Ω 2 1 4 MT dc G e θ = Ω ∫ Para o caso de um tubo de seção circular de parede fina, de espessura constante tem-se: x o Re Ri RM e ... ... ... ... ( ) i e M R raio interno R raio externo R raio médio e espessura constante então a tensão tangencial é: 2 2 i e M e i M R R R e R R R π + = = − Ω = 2 T MAX MIN M e τ = Ω 2 2 T MAX M M R e τ π = e o ângulo unitário de torção: ( ) 2 2 2 4 2 4 2 1 4 1 4 1 4 1 2 4 T T M T M T M M M dc G e M e dc G R M dc e G R M R e G R θ θ π θ π θ π π = Ω = = = ∫ ∫ ∫ 3 2 T M M G e R θ π = Observação: 5 5 M M Se R seção circular vazada e Se R seção tubular circular de parede fina e < ⇒ ≥ ⇒ 12.7 – Torção em peças de seções de outras formas As peças estudadas (de seções circulares cheias, de seções circulares vazadas e de seções tubulares de paredes finas) não sofrem empenamento considerável quando estão submetidas à torção. Porém, nos estudos de peças com outros tipos de seções este fenômeno já não pode ser desprezado, o que torna complexa a abordagem do assunto. A seguir, é apresentado um formulário para diversos tipos de seções transversais que permite determinar a tensão tangencial máxima e o ângulo de giro unitário para cada caso. Seção retangular 2 T MAX M a b α τ = x x MAX τ MAX τ a > b b 3 T M G a b β θ = 1,8 3 n α = + 3 0,63 n β = n − a n = b Seção quadrada 3 4,8 T MAX M a τ = 4 8,1 T M G a θ = x x MAX τ MAX τ a x τMAX x τMAX Seção retangular alongada 2 3 T MAX M a b τ = 3 3 T M G a b θ = MAX τ τMAX $$$$ b a 20b Seções constituídas de retângulos alongados (perfis) no contorno dos lados maiores do retângulo de maior espessura T MAX MAX T M b J τ = T T M G J θ = b3 b1 a1 a3 a2 b2 1 2 3 onde: sendo: ai: maior dimensão do retângulo i bi: menor dimensão do retângulo i n: número de retângulos 3 1 1 3 n T i i i J a b = = ∑ 12.8 - Exercícios Exemplo 1 Verificar a peça AB mostrada na figura e calcular o ângulo total de torção. Considerar que o material com que foi fabricada a peça é dútil, com tensão de escoamento igual a 3600 kgf/cm², módulo de elasticidade transversal igual a 400000 kgf/cm² e coeficiente de Poisson igual a 0,3. Utilizar a Teoria de Resistência de Guest. Dados: sssse = 3600 kgf/cm2 G = 400000 kgf/cm2 nnnn = 0,3 Re = 4 cm ; Ri = 3 cm s = ? ... Teoria de Guest ; a a a a = ? A B 200 kgf 200 kgf 2,10 m 0,4 m 0,4 m 6 cm 8 cm Solução: ➢Momento torçor na peça AB: M_T = 2\times (200 \times 40) = 16000 M_T = 16000\ kgf\ cm ➢Tensão tangencial na peça AB: R_M = \frac{R_e\ +\ R_i}{2} R_M = \frac{4\ +\ 3}{2} = 3,5\ cm R_M = 3,5\ cm < 5 \Rightarrow \ secção\ circular\ vazada A tensão tangencial é dada por: Nesta expressão, para a tensão tangencial máxima fazemos: e para o momento de inércia polar: T o M r I τ = e MAX r R τ = ⇒ ( ) 4 4 2 e i o R R I π − = Tem-se então: ( ) ( ) 4 4 4 4 2 2 T T e T e MAX o e i e i M r M R M R I R R R R τ π π = = = − − ( ) 4 4 2 T e MAX e i M R R R τ π = − ➢Tensões principais: σ_1 = τ_{MAX} = \frac{2M_T\ R_e}{\pi\ (R_e^4 - R_i^4)} σ_2 = 0 σ_3 = -τ_{MAX} = -\frac{2M_T\ R_e}{\pi\ (R_e^4 - R_i^4)} ➢Teoria de Resistência de Guest: σ_1 - σ_3 \leq \frac{σ_T}{s} τ_{MAX} - (-τ_{MAX}) = \frac{σ_e}{s} 2 τ_{MAX} = \frac{σ_e}{s} 2 \left[ \frac{2M_T\ R_e}{\pi\ (R_e^4 - R_i^4)} \right] = \frac{σ_e}{s} s = \frac{σ_e\ \pi\ (R_e^4 - R_i^4)}{2\ 2M_T\ R_e} ( ) 4 4 3600 4 3 7,7 2 2 16000 4 s π − = = s = 7,7 Ângulo total de torção: Sendo o ângulo unitário de torção: \( \theta = \frac{M_T}{G\ I_o} \) onde: \( I_o = \frac{\pi\left(R_e^4-R_i^4\right)}{2} \) então: \( \theta = \frac{2M_T}{G\ \pi\left(R_e^4-R_i^4\right)} \) \( \theta = \frac{2\ 16000}{400000\ \pi\left(4^4-3^4\right)} = 0,00014 \) \( \theta = 0,00014\ rad/cm \) Sendo o ângulo total de torção: então: l α θ = 0,00014 210 0,03 α = × = o 0,03 1,7 rad α = ≈ Exemplo 2 Dimensionar um eixo transmissor de potência de seção transversal circular cheia utilizando a Teoria de Resistência de Coulomb. O eixo deve ser acoplado a um motor com 200 CV de potência, deve girar a 500 rpm e deve trabalhar com coeficiente de segurança igual a 2,5. O material com que o eixo foi construído é frágil com tensão limite de tração igual a 4000 kgf/cm² e tensão limite de compressão igual a -4800 kgf/cm². Dados: N = 200 CV n = 500 rpm s = 2,5 ... Teoria de Coulomb ssssT = 4000 kgf/cm2 ssssC = -4800 kgf/cm2 R = ? R Solução: Momento torçor no eixo: \( M_T = 716,2 \frac{N}{n} \) \( M_T = 716,2 \frac{200}{500} = 286,48 \) \( M_T = 286,48\ kgf\ m = 28648\ kgf\ cm \) Tensão tangencial no eixo: \( \tau = \frac{M_T\ r}{I_o} \) Nesta expressão, para a tensão tangencial máxima fazemos: e para o momento de inércia polar: Tem-se então: MAX r R τ = ⇒ 4 2 o R I π = 4 3 2 2 T T T MAX o M r M R M R I R τ π π = = = 3 2 T MAX M R τ = π ➤Tensões principais: σ₁ = τ_MAX = \frac{2M_T}{π R³} σ₂ = 0 σ₃ = -τ_MAX = -\frac{2M_T}{π R³} ➤Teoria de Resistência de Coulomb: \frac{σ₁}{σ_T} + \frac{σ₃}{σ_C} ≤ 1 \frac{τ_MAX}{σ_T} \frac{S}{S} + \frac{-τ_MAX}{σ_C} \frac{S}{S} = 1 \frac{τ_MAX S}{σ_T} + \frac{-τ_MAX S}{σ_C} = 1 τ_MAX \left( \frac{S}{σ_T} - \frac{S}{σ_C} \right) = 1 3 3 3 2 1 2 2 28648 2,5 2.5 2,75 4000 4800 T T C T T C M s s R M s s R R π σ σ π σ σ π   − =       = −       = − =   −   2,75 R cm = ➤Exemplo 3 A peça de seção transversal mostrada na figura foi construída com um material que apresenta tensão limite de tração igual a 200 MPa, tensão limite de compressão igual a -500 MPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3. Determinar o máximo momento torçor que pode ser aplicado na peça para que ela trabalhe com coeficiente de segurança igual a 4 segundo a Teoria de Resistência de St. Venant. Dados: ssssT = 200MPa = 20 kN/cm2 ssssC = -500 MPa= -50 kN/cm2 nnnn = 0,3 s = 4 ... Teoria de St. Venant MT = ? 2 cm 2 cm 20 cm 1 cm 1 cm 15 cm Solução: ➢ Tensão tangencial na peça: Sendo para seções tubulares de paredes finas: τ = M_T / 2Ωe Nesta expressão, para a tensão tangencial máxima fazemos: e = e_MIN ⇒ τ_MAX e para a área fechada pelo contorno médio da seção tem-se: Ω = 14 × 18 = 252 Ω = 252 \text{ cm}^2 Tem-se então: τ_MAX = M_T / 2Ωe_MIN ➢ Tensões principais: σ_1 = τ_MAX = M_T / 2Ωe_MIN σ_2 = 0 σ_3 = - τ_MAX = - M_T / 2Ωe_MIN ➢ Teoria de Resistência de St. Venant: σ_1 - ν (σ_2 + σ_3) ≤ σ_T / s σ_3 - ν (σ_1 + σ_2) ≥ σ_C / s Para a primeira expressão: ( ) 1 2 3 T s σ σ ν σ σ − + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 2 252 1 20 1938,5 4 1 0,3 T MAX MAX T MAX MAX T MAX T T MIN MIN T T T s s s M e s e M s M σ τ ν τ σ τ ν τ σ τ ν σ ν σ ν − + − =     + = + = + = Ω Ω = + × × × = = + 1938,5 c 19,39 MT kN m kN m = = Para a segunda expressão: ( ) 3 1 2 C s σ σ ν σ σ − + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 2 2 1 2 252 1 -50 4846,2 4 1 0,3 C MAX MAX C MAX MAX C MAX T C MIN MIN C T T s s s M e s e M s M σ τ ν τ σ τ ν τ σ τ ν σ ν σ ν − − + = − − = − + = − + = Ω = − Ω + − × × × = = + 4846,2 c 48,5 MT kN m kN m = = Então o máximo momento torçor que pode ser aplicado na peça é: 1938,5 c 19,39 MT kN m kN m = = ➢Exemplo 4 Considerando a peça mostrada na figura, determinar a máxima tensão tangencial, o ângulo total de torção e o coeficiente de segurança segundo a Teoria de Resistência de St. Venant. Considerar que o material é frágil com tensão limite de tração igual a 200 MPa, tensão limite de compressão igual a -300 MPa, módulo de elasticidade transversal igual a 50000 MPa e coeficiente de Poisson igual a 0,3. Dados: P = 10 kN ssssT = 200MPa = 20 kN/cm2 ssssC = -300 MPa = -30 kN/cm2 G = 50000 MPa = 5000 kN/cm2 nnnn = 0,3 ttttMAX = ? ; a a a a = ? ; s = ?...Teoria de St. Venant P 1,5 m P A B C x 1,5 m 2 cm 50 cm 60 cm Solução: ➢Momento torçor ao longo de toda a peça: M_T = 2 \times (P \times 25) M_T = 2 \times (10 \times 25) = 500 M_T = 500 \ kN \ cm ➢Para o trecho BC: a = 50 \ cm b = 2 \ cm a > 20 \ b \ \Rightarrow \ seção \ retangular \ alongada •Tensão tangencial máxima no trecho BC: •Ângulo unitário de torção no trecho BC: 2 3 BC T MAX M a b τ = 3 3 T BC M G a b θ = 2 2 3 500 7,5 50 2 7,5 / BC BC MAX MAX kN cm τ τ = = = 3 3 500 0,00075 5000 50 2 0,00075 / BC BC rad cm θ θ = = = ➢Para o trecho AB: a = 60 cm b = 50 cm a < 20 b ⇒ seção retangular sendo: n = \frac{a}{b} n = \frac{60}{50} = 1,2 n = 1,2 então: e: 1,8 3 1,8 3 4,5 1,2 4,5 n α α α = + = + = = 3 0,63 3 1,2 6,32 1,2 0,63 6,32 n n β β β = − = = − = •Tensão tangencial máxima no trecho AB: •Ângulo unitário de torção no trecho AB: 2 AB T MAX M a b α τ = 3 T AB M G a b β θ = 2 2 4,5 500 0,015 60 50 0,015 / AB AB MAX MAX kN cm τ τ = = = -8 3 -8 6,32 500 8,427 10 5000 60 50 8,427 10 / AB AB rad cm θ θ = = × = × ➢A tensão tangencial máxima é a do trecho BC: \tau_{MAX} = 7,5\ kN/cm^{2} ➢O ângulo total de torção é: \alpha = \theta_{BC}\ l_{BC} + \theta_{AB}\ l_{AB} \alpha = 0,00075 \times 150 + 8,427 \times 10^{-8}\ 150 = 0,1125 \alpha = 0,1125\ rad \approx 6,4^{\circ} ➢Tensões principais: \sigma_{1} = \tau_{MAX} = 7,5\ kN/cm^{2} \sigma_{2} = 0 \sigma_{3} = -\tau_{MAX} = -7,5\ kN/cm^{2} ➤Teoria de Resistência de St. Venant: σ₁ - ν (σ₂ + σ₃) ≤ σT/s σ₃ - ν (σ₁ + σ₂) ≥ σC/s Para a primeira expressão: ( ) 1 2 3 T s σ σ ν σ σ − + ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 20 2,05 7,5 1 0,3 T MAX MAX T MAX MAX T MAX T MAX s s s s s σ τ ν τ σ τ ν τ σ τ ν σ τ ν − + − =     + = + = = + = = + s = 2,05 Para a segunda expressão: ( ) 3 1 2 C s σ σ ν σ σ − + ≥ ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 30 3,08 7,5 1 0,3 C MAX MAX C MAX MAX C MAX C MAX s s s s s σ τ ν τ σ τ ν τ σ τ ν σ τ ν − − + = − − = − + = = − + − = = − + s = 3,08 Então o coeficiente de segurança da peça é: s = 2,05 ➤Exercício proposto Determinar a redução de peso que se obtém ao substituir o eixo de seção A pelo eixo de seção B, mostrados na figura, sabendo que o raio do eixo A tem 5 cm e que para o eixo B a relação entre os raios interno e externo é Ri/Re = 0,8. Considerar que ambos trabalham nas mesmas condições, são feitos do mesmo material e têm o mesmo coeficiente de segurança. Dados: R = 5 cm Ri/Re = 0,8 Trabalham nas mesmas condições Feitos com o mesmo material Com o mesmo coeficiente de segurança Resposta: Redução de Peso = 49% X 5 cm X Eixo A Eixo B Ri Re= 0,8 Re Ri