Oscilador Harmônico: Fundamentos e Aplicações

1 Oscilador Harmônico 27032023 Prof Dr André Ricardo Rocha da Silva 2 Visão geral O problema mais importante no movimento unidimensional é o do oscilador harmônico ou linear E há pelo menos dois bons motivos para isso O primeiro motivo é por conta da simplicidade da resolução da equação de movimento em geral uma combinação simples de funções periódicas O segundo motivo é a aplicação desses resultados em uma vasta variedade de fenômenos desde os tradicionais sistema massamola e o pêndulo simples até a física nuclear Além disso é possível desenvolver a partir do modelo ideal extensões que enriquecem o leque de aplicabilidade como a inclusão da força de amortecimento gerando o oscilador harmônico amortecido ou mesmo da inclusão de uma força externa que alimenta o sistema resultando assim no chamado oscilador harmônico amortecido e forçado Dessa última abordagem surge um fenômeno físico novo que é a ressonância Todo esse tratamento é grandemente facilitado pela introdução de uma nova ferramenta matemática que são os números complexos e que serão vistos a parte em forma de uma revisão sucinta em uma apêndice nessa Seção Objetivos 1 Resolver a equação de movimento para um oscilador harmônico simples 2 Apresentar algumas aplicações dessa equação de movimento Oscilações Harmônicas O movimento que se repete é dito ser periódico e o tempo necessário para cada repetição é chamado de período As oscilações correspondem a vibrações localizadas no espaço pois o movimento é confinado ao passo que ondas são vibrações que se propagam no espaço 3 O fenômeno das oscilações é encontrado em todos os campos da Física Alguns exemplos de sistemas oscilatórios incluem pêndulos e a corrente elétrica alternada das casas Um pêndulo desviado levemente de sua posição de equilíbrio e depois solto fornece um exemplo de oscilações livres em que o sistema após estabelecida a configuração inicial não é submetido a forças externas periódicas e assim estabelece seu próprio período de oscilação que pode ser determinado por parâmetros que caracterizam esse sistema No entanto a amplitude do movimento do pêndulo após várias oscilações vai diminuindo em virtude da presença de uma força de atrito associada ao efeito resistivo do ar Essa força que pode ser modelada como sendo proporcional à velocidade do pêndulo diminui a frequência de oscilação do sistema e por conseguinte aumenta o período de oscilação Se o pêndulo for submetido a impulsos externos periódicos tal como pequenos empurrões temse daí uma oscilação forçada em que é preciso também levar em conta o período da força externa e sua relação com o período próprio das oscilações do sistema Os sistemas oscilantes mais simples possuem apenas um grau de liberdade ou seja estão associados ao movimento unidimensional e por isso são descritos por apenas uma única coordenadas Por exemplo para o pêndulo usase a coordenada que representa o ângulo do pêndulo em relação ao eixo vertical Já para um sistema massamola usase a coordenada que representa o deslocamento do centro de massa de um objeto preso a uma mola e que se desloca ao longo de um eixo No Capítulo anterior foi discutido de que maneira oscilações periódicas surgem no movimento unidimensional sob a ação de forças conservativas que estão associadas a uma função energia potencial Em particular no entorno de uma posição de equilíbrio estável tem a forma de um poço de potencial com um mínimo na posição de equilíbrio que pode ser tomada como a posição de equilíbrio conforme indicado no gráfico da figura a seguir Para uma dada energia mecânica a partícula oscila periodicamente entre os pontos de retorno e Como a força é dada por 4 então para pequenos desvios da posição de equilíbrio estável o gráfico de é aproximadamente linear Desta forma para o intervalo podese escrever em que é uma constante de proporcionalidade A força assim dada é de natureza restauradora e tende a fazer a partícula voltar para a posição de equilíbrio e portanto obedece aproximadamente a lei de Hooke Com efeito a função energia potencial pode ser aproximada como Um exemplo típico e simples que oferece esse comportamento é o sistema constituído por um bloco de massa ligado a uma mola de constante elástica na posição horizontal e sem atrito conforme ilustrado na figura abaixo Combinando a segunda lei de Newton com a lei empírica de Hooke chega se à equação de movimento desse bloco ou seja 5 71 em que é a frequência angular de oscilação do bloco e a equação diferencial de segunda ordem linear e homogênea descrita pela equação de movimento acima representa um oscilador harmônico unidimensional É interessante observar que fora do regime linear onde a lei de Hooke não se aplica termos de potência ou ou uma combinação entre elas podem estar presentes na lei de força A equação de movimento resultante não será mais uma equação diferencial linear e o problema de se encontrar a solução para o movimento do bloco é muito mais complicado Fisicamente essa situação representa o estado em que a mola é esticada de tal maneira que a deformação proporcionada à mola é permanente A mola não volta mais ao seu estado inicial quando ela estava relaxada como é o esperado no regime linear Movimento Harmônico Simples O movimento de um oscilador harmônico simples chamase movimento harmônico simples MHS Para obter a lei horária do MHS é necessário resolver a equação de movimento em relação à função incógnita A equação de movimento 72 é uma equação diferencial linear pois a variável aparece apenas na primeira potência e homogênea pois é igual a zero de segunda ordem pois envolve a segunda derivada para Note que Uma forma direta e prática para se determinar a função é procurar funções periódicas simples que possam representar a solução do MHS Duas funções periódicas já bem conhecidas são o seno e o cosseno Logo vale a pena testálas como possíveis soluções da equação de movimento Seja então as derivadas sucessivas são 6 Substituindo esses resultados na equação 72 temse Portanto é solução da equação de movimento do MHS Agora seja e as derivadas sucessivas são Novamente substituindo esses resultados na equação 72 temse Portanto também é solução da equação de movimento do MHS É importante salientar que as soluções e são independentes entre si isto é elas não podem ser escritas como um múltiplo linear entre elas já que a função seno não é linearmente proporcional à função cosseno e viceversa Segundo a teoria da equações diferenciais ordinárias a combinação linear de duas soluções independentes de uma equação diferencial de segunda ordem também é solução da equação diferencial Posto isto a solução mais geral para a equação de movimento do MHS pode ser escrita como 73 em que e são duas constantes a serem determinadas com o auxílio do uso das condições iniciais do movimento 7 EXEMPLO 1 Verifique que a equação 73 é solução da equação de movimento 72 Resolução Essa verificação é feita substituindo diretamente a solução dada pela equação 73 na equação diferencial de movimento do MHS Para tanto é necessário calcular a segunda derivada de ou seja Substituindo esse resultado na equação 72 verificase que o que demonstra o fato de ser solução da equação de movimento do MHS A solução geral dada pela equação 73 pode ser reescrita em termos apenas da função cosseno 74 em que e são duas constantes arbitrárias que são determinadas a partir das condições iniciais Para se verificar a equivalência entre essas duas formas da solução geral da equação de movimento do MHS é necessário lançar mão da seguinte propriedade da função cosseno Deste modo 8 e a equação 74 fica Fazendo as seguintes identificações recuperase a forma da solução dada pela equação 73 Além disso a partir dessas identificações é possível relacionar as constantes e entre si Elevando ao quadrado os dois lados das duas relações de identidade acima Agora somando as duas relações termo a termo chegase e portanto 75 Retomando as relações de identidade entre as duas constantes das duas formas de solução geral do MHS podese escrever também e Logo ou seja 9 76 Mais adiante essas constantes serão associadas com os valores de e Interpretação Física da Solução Geral A forma da solução geral para a equação de movimento do MHS dada pela equação 74 é muito útil para uma interpretação física do movimento Em primeiro lugar verificase que a solução oscila entre dois valores a saber em que Com efeito o parâmetro é denominado de amplitude de oscilação do MHS 77 Por exemplo se a amplitude do movimento for então a partícula oscilará entre as posições e Uma vez que a função cosseno da solução dada pela equação 74 é uma função periódica de período definese o período do movimento como sendo o intervalo de tempo tal que que pela subtração da primeira equação pela segunda resulta em logo 78 A unidade do período é o segundo e ele fornece a informação do intervalo de tempo necessário para o MHS se repetir novamente Por exemplo se o período do movimento for então o tempo necessário 10 para uma partícula partir de um ponto inicial e retornar novamente àquele ponto inicial é de Dizse também que a partícula completou um ciclo do movimento Graficamente o período é determinado calculandose a distância entre dois picos máximos isto é ou dois vales mínimos isto é como é visto na figura abaixo Associado ao período há o conceito da frequência de oscilação que é definida como 79 e é medida em ou Hertz A frequência de oscilação do MHS fornece o número de ciclos repetições do movimento por unidade de segundo Por exemplo se o movimento possui uma frequência isso implica que a partícula efetuou ciclos em apenas segundo O argumento da função cosseno da equação 74 é denominado de fase do movimento 710 em que é a constante de fase ou fase inicial Em Adotase o radiano como uma unidade de medida não física para a fase Quando então para o movimento no instante a fase é nula o que implica que e o pico do gráfico ocorre exatamente sobre o eixo temporal conforme visto na figura abaixo Além disso se então no instante a posição inicial do movimento ocorrerá em e o vale gráfico estará exatamente sobre o eixo vertical do tempo 11 Com efeito a constante de fase é uma medida do avanço ou do recuo ou seja do deslocamento do primeiro pico do gráfico isto é da posição com relação ao eixo do tempo Essa situação implica que a fase deve ser nula Se esse pico ocorre a frente do eixo do tempo então e como isso ocorre em um instante positivo concluíse que necessariamente Portanto quando o pico está avançado em relação ao eixo temporal a constante de fase é negativa Por outro lado se o pico do gráfico ocorre antes do eixo do tempo então pela relação acima a constante de fase deve ser necessariamente positiva Logo quando o pico está recuado em relação ao eixo temporal a constante de fase é positiva É importante enfatizar que esta análise é válida somente quando a posição instantânea do MHS é uma função do cosseno A frequência angular que representa o número de vezes que a fase completa um ciclo de por segundo pode ser obtida pela equação 78 que se combinada com a equação 79 também pode ser escrita como Além disso pela equação 710 verificase que A unidade de medida não física da frequência angular é o radiano por segundo 12 Finalmente uma vez que se conhece a posição instantânea do MHS pode se determinar a velocidade instantânea bem como a aceleração instantânea do MHS Logo Condições Iniciais As duas constantes que aparecem nas duas formas da solução geral para o MHS são determinadas pelo conhecimento das condições iniciais que são os valores de e no instante inicial Enquanto a forma da solução geral dada pela equação 74 é útil para uma discussão das características gerais do movimento do MHS a forma dada pela equação 73 é útil para identificar os parâmetro e A partir da equação 73 calculase a velocidade instantânea 711 Então no instante temse pela equação 73 logo identificase a constante como sendo a posição inicial da partícula que executa o MHS e pela equação 711 Portanto a solução geral dada pela equação 73 pode ser escrita como 711 13 Agora é possível relacionar esses resultados com as constantes e que aparecem na equação 74 através das relações dadas pelas equações 75 e 76 respectivamente EXEMPLO 2 Considere uma partícula de massa está presa a uma mola de constante elástica e descreve um MHS conforme a função horária em que a posição é medida em metros e o tempo medido em segundos sobre uma superfície horizontal sem atrito a Qual a posição inicial da partícula b Qual a velocidade inicial da partícula c Qual o valor da constante elástica da mola Resolução a Comparando a função horária dada no problema com aquela da equação 711 observase diretamente que b A partir do argumento das funções cosseno e seno na função horária dada temse que Logo por comparação com a equação 711 a velocidade inicial será c Sabese que logo Energia do Oscilador A energia cinética de um sistema mecânico tal qual o sistema massamola sem atrito que descreve um MHS é dada por 14 A energia potencial elástica associada com esse sistema massamola é dada por Lembrando que esse último resultado fica Com efeito a energia mecânica total desse sistema será a soma das contribuições energéticas de origem cinética e potencial 15 em que no penúltimo passo usouse a relação de identidade trigonométrica Esse resultado mostra que a energia mecânica é constante ou seja ela não depende do tempo e por isso dizse que a energia mecânica é conservada Além disso essa energia é proporcional ao quadrado da amplitude o que significa que se a amplitude de oscilação dobrar então a energia mecânica quadruplica O mesmo comportamento da energia mecânica ocorre com relação à frequência angular ou a frequência A partir do conhecimento da energia mecânica do oscilador podese inferir o comportamento de suas componentes energéticas durante o movimento E isso é feito escrevendo a energia cinética em termos da energia mecânica e da energia potencial que é a energia cinética em função da posição sendo que Se o oscilador está na origem então e a energia cinética do oscilador é igual à energia mecânica dele ou seja nessa situação a energia potencia é nula Se o oscilador estiver nos pontos então e a energia mecânica do oscilado será igual à energia potencial Por fim usando a relação podese obter a velocidade do oscilador em função da posição 16 Observe que em a velocidade é nula já que se tratam de dois pontos de retorno Esse resultado para também pode ser usado para se obter a função horária do oscilador via separação de variáveis e posterior integração o que já foi feito no Capítulo anterior Aplicações Será visto alguns exemplos de sistemas mecânicos em que a equação de movimento descreve tipicamente um MHS Pêndulo Simples A figura ao lado mostra a configuração de um pêndulo simples que consiste em uma pequena conta de massa presa na extremidade de um fio ideal de comprimento que está por sua vez fixado no ponto Desprezase o efeito resistivo do ar Há apenas duas forças atuantes no pêndulo a saber a forças da gravidade e a força de tensão do fio O fio faz um ângulo com relação à direção vertical e a conta descreve durante seu movimento de oscilação um arco de circunferência ou seja um trecho de movimento circular Introduziuse um referencial com dois vetores unitários convenientes para a decomposição das forças nesse movimento que são o vetor unitário radial e o vetor unitário tangencial O pêndulo oscila em torno de sua posição de equilíbrio estável que é a direção vertical onde Essa estabilidade pode ser mostrada através 17 da análise da função energia potencial associada ao movimento do pêndulo Decompondo as forças nesse referencial dado temse Analisando o movimento na direção tangencial pela segunda lei de Newton em que é a aceleração tangencial e é a aceleração tangencial do movimento Logo combinando esses resultados que é uma equação diferencial de segunda ordem homogênea e nãolinear para a variável que representa o deslocamento angular do pêndulo com relação à direção vertical No entanto é possível transformar essa equação de movimento em uma equação diferencial linear considerando o regime de pequenas oscilações do pêndulo em torno do eixo vertical Nessa situação vale a seguinte aproximação e a equação de movimento fica 18 que é a equação de movimento típica do MHS em que é a frequência angular de oscilação do pêndulo Com efeito o período para pequenas oscilações do pêndulo é dado por que é um resultado independente da amplitude de oscilação e é conhecido por isocronismo galileano das pequenas oscilações do pêndulo pois foi Galileu Galilei que primeiro relatou esse fenômeno ao observar o movimento de oscilação dos castiçais pendurados nas igrejas Modelo Atômico de J J Thomson O físico britânico e ganhador do prêmio Nobel 1906 J J Thomson descobriu a razão entre a carga e a massa do elétron usando um tubo de raios catódicos dispositivo base para o desenvolvimento da antiga televisão de tubo Uma vez demonstrado a existência dos elétrons ele foi compelido a propor um modelo atômico que ficou conhecido como modelo do pudim de ameixas ou pudim de passas A figura abaixo ilustra o modelo Nesse modelo os elétrons vistos como passas ou ameixas ficavam imersos no núcleo positivo o pudim e vibrando como um oscilador Usando os conceitos da eletrostática é possível mostrar que esse movimento dos elétrons é de fato um MHS e assim calcular a frequência de vibração deles A força elétrica que atua sobre um elétron é dada por 19 em que é a unidade de carga elementar e vale e é o campo elétrico efetivo que atua no elétron Supondo que o átomo seja uma esfera maciça de raio conforme ilustrado na figura abaixo com a carga positiva uniformemente distribuída e o elétron esteja imerso nessa esfera então apenas a região esférica de raio menor ou igual à posição do elétron dentro da esfera região cinza na figura contribuirá para o campo elétrico atuante sobre o elétron A região de casca esférica não contribui para esse campo elétrico teorema das cascas Deste modo o campo elétrico efetivo pode ser calculado com auxílio da lei de Gauss em que é a quantidade de carga positiva envolvida pela superfície gaussiana A integral de superfície do campo elétrico resulta em enquanto que a quantidade de carga envolvida considerando a uniformidade da distribuição é dada por Logo 20 e a força elétrica que atua sobre o elétron fica sendo Pela segunda lei de Newton e portanto que é a equação de movimento do MHS Para um átomo de hidrogênio em que a frequência de oscilação é dada por Considerando o raio atômico como sendo mais o valor da permissividade elétrica no vácuo o valor dessa frequência é que corresponde à região do ultravioleta longínquo do espectro eletromagnético Esse resultado teórico foi comparado com os resultados experimentais dos espectro de emissão do átomo de hidrogênio e infelizmente não concordaram Esse modelo do átomo de Thomson prevê uma única frequência de emissão e se descobriu que o átomo de hidrogênio possui uma série de linhas espectrais de emissão as séries de Lyman Balmer Paschen Brackett e Pfund Método da Energia Uma vez que já se sabe qual é a solução para a equação de movimento típica do MHS podese procurar problemas suja equação de movimento se assemelha à equação do MHS para se aplicar a solução já conhecida 21 Uma técnica muito útil para isso é o uso da energia mecânica do sistema Há pelo menos dois grandes benefícios aqui i a energia mecânica é um grandeza escalar e portanto mais simples de construir ii se o sistema é conservativo a energia mecânica é constante no tempo ou seja Logo E é a partir desse resultado que se pode extrair a equação de movimento subjacente do sistema ou partícula Desde que e então Com efeito Como nem sempre é nulo então o termo entre parênteses dever ser necessariamente zero Daí Agora recordando que para uma força conservativa vale então 22 daí que é a expressão da famigerada segunda lei de Newton Para exemplificar o uso do método da energia considere o tradicional sistema massamola Nesse caso sabese que e Logo que resulta em de onde se extrai a equação de movimento do sistema massamola em que EXEMPLO 3 Considere um pêndulo simples de massa e comprimento que oscila livremente a Escreva a energia mecânica desse pêndulo b Obtenha a equação de movimento do pêndulo para o regime de pequenas oscilações c Qual é a frequência angular do movimento d Supondo que o pêndulo é solta a partir de uma abertura angular escreva Resolução A figura a seguir ilustra o movimento do pêndulo simples bem como define alguns parâmetros importantes para a resolução dos itens do problema 23 a Na figura acima escolheuse o nível de energia potencial nula como sendo aquele em que o pêndula está totalmente na posição vertical para baixo Assim a energia potenciam pode ser escrita como Agora ou seja e a energia potencial fica sendo Já a energia cinética é dada em termos da taxa de variação do arco de circunferência Logo a energia mecânica do pêndulo simples será b A equação de movimento para pêndulo simples pode ser obtida a partir de 24 que pode ser rearranjada como Para o regime de pequenas oscilações vale a aproximação e a equação de movimento acima fica que é a equação de movimento típica do MHS c A partir da equação de movimento acima obtida para o regime de pequenas oscilações identificase daí a frequência angular de oscilação é dada por Note que o período do pêndulo é ou seja Assim o período do pêndulo sofre alterações em razão da variação de seu comprimento que ocorre quando há variações de temperatura Isso é um problema comum dos relógios de pêndulo d Como o pêndulo é solto e a solução da equação de movimento do pêndulo simples para pequenas oscilações pode ser escrita como conforme visto na Eq 711 em que é dado em radianos EXERCÍCIOS 1 Considere o movimento de um pêndulo simples Tomando o nível de energia potencial igual à zero no ponto mais baixo do movimento do pêndulo mostre que a função energia potencial é 25 A partir desse resultado prove que representa um ponto de equilíbrio estável enquanto que representa um ponto de equilíbrio instável Mostre também que para o regime de pequenas oscilações essa energia potencial pode ser aproximada como e que a partir daí a frequência angular de pequenas oscilações é 2 Um pêndulo simples de massa e comprimento é deslocado de sua posição vertical de equilíbrio de modo que a massa fica a uma altura de em relação à posição de equilíbrio e depois é solto a partir do repouso a Qual a amplitude angular de oscilação e a frequência angular de pequenas oscilações b Escreva a função horária para o deslocamento angular do pêndulo 3 A posição de uma partícula que se move em uma dimensão é dada por em que a posição é medida em metros e o tempo em segundos a Determine a amplitude frequência angular frequência e o período do movimento b Em que instantes de tempo a partícula atinge seus pontos de retorno c Determine uma expressão para d Qual é a velocidade em e Determine uma expressão para f Qual é a aceleração no instante g Qual é o valor máximo da força que atua na partícula 4 Uma partícula está presa a uma mola No instante ele está em sua posição de equilíbrio com velocidade de dirigida para o sentido negativo do eixo A sua frequência é a Qual o instante de tempo seguinte que ela fica em repouso b Onde ela está nessa instante c Qual é sua aceleração nesse instante d Escreva a função horária para essa partícula Referências 26 D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física Edgard Blücher vol I 9ª edição São Paulo 2012 M Alonso e E J Finn Física um Curso Universitário LTC vol1 1ª edição São Paulo 1972 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004