Equações de Movimento e a Segunda Lei de Newton

2 Visão geral Essencialmente a segunda lei de Newton é expressa em uma equação diferencial E a solução dessa equação diferencial é conhecer a função horária que a satisfaça Às vezes a solução é direta e simples como no caso de uma força constante tal qual a força da gravidade em que já se sabe que a solução da equação de movimento unidimensional conduz à equação horária do MRUV Em outras vezes podese lançar mão de algum teorema tal como visto na Seção anterior para se obter um caminho seguro em direção à solução requerida No entanto na maioria dos problemas mecânicos especialmente aqueles de ordem mais prática ou mais próximo de se modelar os fenômenos reais é necessário outras técnicas mais refinadas para se encontrar a solução de alguns deles até mesmo fazer uso do cálculo numérico Certamente o tema de como resolver uma variedade de problemas mecânicos envolvendo equações diferenciais é vasto e exigiria uma disciplina e de fato tem só para atacar tais problemas Aqui será exposto alguns aspectos gerais da equação de movimento resultante da segunda lei de Newton bem como algumas técnicas matemáticas de solução envolvendo uma variedade de tipos de força de interesse que introduzem um certo grau de realidade fenomenológica aos problemas mecânicos idealizados vistos até o presente momento Objetivos 1 Apresentar uma discussão geral sobre equações de movimento 2 Resolver a equação de movimento para uma força com dependência temporal 3 Discussão do Problema Geral do Movimento Unidimensional Quando a força é dada como uma função da posição da velocidade e do tempo a equação de movimento resultante da segunda lei de Newton se torna uma equação diferencial ordinária EDO de segunda ordem para a função desconhecida 41 em que Ela é uma equação diferencial de segunda ordem pois envolve a segunda derivada como derivada mais elevada e é ordinária pois envolve apenas uma variável e eventualmente sua primeira derivada A equação 41 representa a forma mais geral de equação diferencial ordinária de segunda ordem Esta equação é aplicável a todos os problemas de uma partícula submetida à ação de uma força conhecida Em geral existem muitos movimento possíveis pois esta equação fornece apenas a aceleração da partícula em cada instante em termos de sua posição e sua velocidade naquele instante Deste modo podese especificar um tipo de descrição de movimento conhecendose para uma dado instante a posição e a velocidade da partícula Essas são as chamadas condições iniciais do problema também conhecidas como integrais do movimento Tais condições iniciais juntamente com a equação diferencial 41 representam um problema perfeitamente definido cuja solução deve ser uma única função que representa o movimento de uma partícula sob tais condições específicas 4 EXEMPLO 1 Queda livre Uma bola de aço de massa em queda livre nas proximidades da superfície da Terra em que se despreza o efeito de resistência do ar está sujeita apenas a ação da força gravitacional constante Nessa situação de acordo com a equação 41 A solução desta equação diferencial já é bem conhecida a saber Observe dois aspectos importantes dessa solução Primeiro ela possui duas constantes de integração que são as condições iniciais do movimento a saber a posição inicial da bola em um dado instante inicial do movimento e a velocidade inicial da bola nesse mesmo instante inicial Segundo derivando duas vezes essa solução podese verificar que ela satisfaz a equação diferencial inicialmente dada Portanto a função horária obtida e que representa tipicamente um MRUV é solução da equação diferencial dada que é consequência da segunda lei de Newton envolvendo como força resultante uma única força constante A teoria matemática das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem conduz a resultados que concordam com o que se espera da natureza do problema de Física que deu origem à equação A teoria assegura que ordinariamente a solução de tal equação diferencial ordinária é contínua e única e assume os valores de e das variáveis e em qualquer valor escolhido do tempo 5 De fato sabese que qualquer problema de Física deve ter uma solução única e portanto qualquer força do tipo que apareça deverá satisfazer necessariamente à condição imposta para aqueles valores de e para um dado instante de tempo Força aplicada dependente do tempo Uma força aplicada a uma partícula que depende exclusivamente do tempo é uma força do tipo Pelo teorema do momento linear na forma integral podese escrever ou seja 42 que é a velocidade instantânea de uma partícula de massa Aqui representa sua velocidade inicial Lembrando que temse Nesse ponto fazse duas considerações importantes para resolver essa equação Primeiro assim como já feito antes considere que o operador derivativo é uma fração envolvendo duas quantidades infinitesimais Segundo fazse a chamada separação de variáveis isto é passase todas as variáveis envolvendo o tempo para o lado direito e as variáveis envolvendo a posição ficam do lado esquerdo Desse modo podese escrever 6 cuja integração fornece a expressão 43 que é a função horária da posição da partícula Vale a pena notar que em última instância a obtenção da solução para envolve duas integrações simultâneas a saber 44 A expressão acima evidencia esse processo de integração simultânea que gera duas constantes de integração e No entanto para se buscar a solução de problemas envolvendo forças que dependem do tempo basta usar a equação 42 obtendo assim a velocidade instantânea e depois aplicar esse resultado na equação 43 que fornece a expressão e portanto a solução para O exemplo a seguir demonstra como esse processo funciona EXEMPLO 2 Uma partícula de massa movese ao longo de uma linha reta partindo da posição inicial com velocidade inicial de sob a ação de uma força dada em newtons encontre 7 a função horária dessa partícula Em qual posição a partícula estará no instante Resolução Sabese que e para um instante inicial dito Então fazendo uso inicialmente da equação 42 temse que que é a velocidade instantânea da partícula Esse resultado pode ser aplicado na equação 43 para se encontrar Esta é a função horária da partícula Assim no instante a posição da partícula será EXEMPLO 3 Uma força periódica em que é a amplitude da força e é a frequência da força atua sobre uma partícula de massa que parte da posição com velocidade no instante inicial Encontre Como se comporta a solução para o regime em que Interprete seu resultado Resolução Uma vez que a força já é conhecida então pela equação 42 é a velocidade instantânea da partícula 8 Agora pela equação 43 é possível obter que é a solução requerida para Observe atentamente que as funções e satisfazem plenamente as condições iniciais dadas Agora a análise do comportamento da solução para o regime exige uma expansão em série de Taylor em torno de zero Sobre esse tema veja o material complementar Nesse caso a função relevante a ser expandida é o cosseno Sabese que Substituindo esse resultado na solução para obtida temse Comparando esse resultado com aquele obtido no Exemplo 1 notase que no regime em que a partícula se comporta com se descrevesse um MRUV em que a aceleração efetiva é dada por que de fato tem unidade de aceleração O mesmo vale para a função quando fazse a expansão em série de Taylor em torno do zero para a função seno 9 de modo que é a velocidade instantânea típica de uma partícula que descreve um MRUV em que a aceleração é dada por EXERCÍCIOS 1 Uma partícula de massa em repouso no instante está sujeita a uma força Determine e Verifique que as soluções encontradas satisfazem as condições iniciais dadas 2 Uma bolinha de massa partindo da origem movese em linha reta com velocidade inicial de quando uma força em que começa a atuar nela no instante Qual a velocidade e a posição dessa partícula no instante 3 Encontre a velocidade de uma partícula de massa que parte do repouso sob a ação de uma força dada por 4 Uma partícula de massa inicialmente em repouso movese sob a ação de uma força em que é uma constante com dimensão de tempo Encontre a função horária Calcule para o instante 10 Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física Edgard Blücher vol I 9ª edição São Paulo 2012 M Alonso e E J Finn Física um Curso Universitário LTC vol1 1ª edição São Paulo 1972 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004