Fundamentos da Equação de Movimento e Teorema do Momento Linear

m fracd2 xdt2 F 31 que também é conhecida como equação de movimento Esta é a equação fundamental da dinâmica e a partir dela é possível demonstrar alguns teoremas simples e fundamentais para se buscar soluções para ela antes mesmo de uma abordagem direta para resolvêla Observe que obter uma solução para a equação de movimento significa que se deve determinar uma função horária xt para a posição instantânea da partícula a fim de que ela satisfaça a equação 31 Sabese que o momento linear é definido como p m cdot v m fracdxdt 32 Assim supondo que a massa m da partícula seja constante podese reescrever a equação 31 como m fracd2 xdt2 m fracddt leftfracdxdtright fracddtmv fracdpdt m fracd2 xdt2 F vec Rightarrow fracdpdt F 33 Este formato de expressão para a segunda lei de Newton que foi originalmente concebida assim é também conhecido como teorema do momento linear na forma diferencial Podese integrar a equação 33 e para isso usase uma técnica muito comum em Física que é tratar em um certo sentido o operador derivativo como se fosse uma fração ordinária Desse modo podese reescrever aquela equação como dp F cdot dt 34 Esse procedimento tem respaldo matemático e envolve o conceito de diferenciais e possui a vantagem de simplificar o manuseio de alguns tipos de equações diferenciais Efetuando a integração da equação 34 intp2p1 dp intt2t1 F dt p2 p1 intt2t1 F dt 35 Esta expressão fornece a variação do momento linear ou equivalentemente a variação da velocidade a diferença entre os valores do momento linear no instante final p2 e no instante inicial p1 devido à ação da força F entre os instantes t1 e t2 e é conhecida como teorema do momento linear na forma integral A integral do lado direito envolvendo a força aplicada à partícula é conhecida como o impulso da força Note que F deve ser conhecida como uma função do tempo t para que o cálculo da integral do impulso possa ser realizado Se eventualmente a força seja dada como uma função da posição e da velocidade também Fx v t então será necessário conhecer a forma funcional de xt e vt que ao serem substituídos na força resultará numa função apenas do tempo Fxt vt t Ft e assim sendo possível calcular a integral do impulso Outra grandeza importante a ser considerada no movimento unidimensional de uma partícula é a energia cinética T frac12 mv2 Observando que fracd2 xdt2 fracdvdt a equação 31 pode ser reescrita também como fracdvdt fracFm Multiplicando ambos os lados dessa relação pela velocidade v então é possível escrever mv fracdvdt F cdot v rightarrow fracddt left frac12 mv2 right F cdot v Visão geral Estudarseá os elementos básicos do movimento unidimensional de uma partícula sob a ação de uma força Uma vez que o movimento no espaço pode ser decomposto nos três eixos cartesianos a compreensão dos princípios cinemáticos e dinâmicos do movimento unidimensional podem ser facilmente entendidos para as demais dimensões Além disso o conceito de partícula para um objeto à luz da dinâmica de um sistema de partículas simplifica grandemente o entendimento do problema mecânico desde que as características geométricas do objeto não sejam relevantes para o estudo Posto isto a compreensão do movimento tanto causal quanto descritiva se dá através do tipo de força que atua sobre a partícula Isto pois a segunda lei de Newton fornece a relação entre os diferentes tipos de forças que atuam em uma partícula e a aceleração que ela adquire em razão dessas forças A partir daí o estudo do movimento tornase meramente cinemático uma vez conhecida a aceleração podese obter a velocidade e a posição usando técnicas de integração Objetivos 1 Revisar alguns teoremas fundamentais do movimento unidimensional Teoremas de Momento e Energia Considere o movimento de uma partícula de massa m ao longo de uma linha reta dita eixo x sob a ação de uma força vecF que também está ao longo do eixo x vecF F hati Conforme a segunda lei de Newton o movimento de uma partícula é governado pela equação diferencial fracdTdt F cdot v 36 O produto F cdot v é a potência P da força F aplicada à partícula Esse resultado expresso na equação 36 é conhecido como teorema da variação da energia cinética na forma diferencial pois relaciona a taxa de variação instantânea da energia cinética da partícula com a potência aplicada pela força que age sobre ela Tratando a operação de derivação em dTdt como uma fração ordinária a equação 36 pode ser reescrita como dT F cdot v dt e então é possível proceder com a integração direta dessa relação intT1T2 dT intt1t2 F cdot v dt T2 T1 intt1t2 F cdot v dt 37 que é o chamado teorema da variação da energia cinética na forma integral e relaciona a variação da energia cinética a diferença entre os valores da energia cinética no instante final T2 e no instante inicial T1 com a integral temporal da potência fornecida à partícula Evidentemente é necessário se conhecer tanto a força quanto a velocidade como funções explícitas do tempo F Ft e v vt a fim de se obter a variação da energia cinética De outro modo e esta é a situação mais útil para a equação 37 podese conhecer apenas a forma funcional da dependência da potência com relação ao tempo P Pt e assim determinar a variação da energia cinética Note atentamente que os teoremas do momento linear e da variação da energia cinética em suas formas integrais são ferramentas úteis para se determinar a velocidade da partícula uma vez que v pm ou v sqrt2Tm Agora uma outra maneira de expressar o teorema da variação da energia cinética na forma integral é utilizando uma grandeza já bem conhecida o trabalho da força Para tanto note que v dxdt e o integrando da equação 37 pode ser escrito como F cdot v dt F fracdxdt dt F dx A partir dessa relação a equação 37 também pode ser enunciada como T2 T1 intx1x2 F dx 38 em que a integral do lado direito desta expressão representa o trabalho realizado pela força que atua na partícula entre as posições x1 e x2 e portanto F Fx ou vecF vecFx vx deve ser conhecida de antemão Por isso a equação 38 também é conhecida como teorema da variação da energia e do trabalho Vale a pena enfatizar que a forma integral do teorema da variação da energia cinética é em sua essência muito mais abrangente que o teorema da conservação da energia mecânica uma vez que não há qualquer restrição sobre a natureza da força aplicada à partícula seja ela conservativa ou não De fato para o caso unidimensional é possível demonstrar que se a força for uma função apenas da posição da partícula então ela é conservativa Assim tratandose de uma força conservativa o trabalho realizado por ela é independente de trajetória ou caminho escolhido e por isso o resultado da integral do trabalho será uma função escalar Ux que dependerá apenas dos pontos inicial x1 e final x2 dessa trajetória Esta função escalar Ux é chamada de energia potencial e está relacionada com a integral do trabalho da seguinte maneira intx1x2 Fxdx U2 U1 39 em que U2 Ux2 é a energia potencial calculada na posição x2 e U1 Ux1 é a energia potencial calculada em x1 Combinando as equações 38 e 39 através do denominador comum que é o trabalho da força chegase à relação T2 T1 U2 U1 U1 U2 T2 U2 T1 U1 em que na última passagem agrupouse as quantidades com índices 2 do lado esquerdo e com índice 1 do lado direito Com efeito a quantidade T U é a mesma tanto no instante final quanto no instante inicial e por isso ela é denominada de energia mecânica da partícula EM T U 310 que é sempre conservada desde que a partícula esteja sob a ação de forças conservativas EXEMPLO 1 Um bloco de massa m 4 kg desliza sobre uma superfície horizontal com velocidade de 4 m cdot s1 Repentinamente atua sobre ele uma força horizontal no sentido oposto ao seu movimento de magnitude Ft 3t2 dada em newtons e que dura apenas 2 s Após esse intervalo de tempo a força é nula Determine a velocidade final do bloco após a força cessar Resolução Já que foi dado a velocidade inicial da partícula a força que atua sobre ela como uma função do tempo bem como o tempo de duração dessa força podese encontrar a velocidade final dela com o auxílio do teorema da variação do momento linear na forma integral equação 35 Com v₁ 4 m s¹ então p₁ m v₁ 4 4 16 kg m s¹ Sendo Ft 3t² o sinal negativo indica que a força atua no sentido oposto ao movimento t₁ 0 s e t₂ 2 s então ₂⁰3t² dt 8 A partir desses resultados pela equação 35 obtémse p₂ 16 p₂ 8 m v₂ Logo v₂ 84 2 m s¹ é a velocidade final do bloco após o intervalo de tempo dado quando a força para de agir sobre a partícula Combinando esses dois resultados de acordo com a equação 38 temse que T₂ 12 mv²₀ 14 kx⁴ Considerando que v₂ vx então 12 mv²x 12 mv²₀ 14 kx⁴ v²x v²₀ kx⁴2m vx v²₀ kx⁴2m que a velocidade da partícula como uma função da posição Agora a condição cinemática necessária para que a partícula esteja em repouso é v 0 E isso ocorrerá no resultado acima apenas quando a expressão no interior da raiz quadrada for nula v²₀ kx⁴2m 0 Ou seja quando x 2mv²₀k14 Nessa posição a partícula para instantaneamente De fato nesse problema a partícula movese no sentido positivo do eixo x sob a ação de uma força contrária ao sentido de seu movimento que faz com que a partícula pare na posição dada acima e a partir daí movendose novamente mas no sentido negativo Agora que F e vt são conhecidos podese usar a forma do teorema da energia cinética dada pela equação 37 para se determinar a energia cinética final T₂ T₂ T₁ ₜ₁ᵗ₂ F v dt A energia cinética inicial é dada por T₁ 12 mv₁² 2 122 1 J A integral da potência é dada por ₜ₁ᵗ₂ F v dt ₀¹ⁱ⁰ 1 8t dt 80 J Portanto T₂ 1 80 T₂ 81 J que é a energia cinética final adquirida pela partícula após o intervalo de tempo dado qualquer instante de tempo posterior usando o teorema da variação da energia cinética primeiro calculando o trabalho como a integral da potência com relação ao tempo depois calculando o trabalho como a integral da força com relação à posição Verifique se os resultados concordam 2 Uma partícula de massa m 2 kg se desloca ao longo de uma superfície horizontal sem atrito com velocidade de v 5 m s1 Em um certo instante de tempo uma força horizontal de intensidade Ft 6t 1 t2 dada em newtons começa a agir sobre a partícula no mesmo sentido de seu movimento durante um intervalo de tempo de 3 s e cessando após esse intervalo Determine a velocidade final da partícula após a ação da força 3 Um bloco de massa m preso a uma mola movese sob o efeito da ação de uma força Fx kx Dado que a velocidade do bloco na origem vale v0 determine a sua velocidade como uma função da posição Para qual posição x 0 o bloco para instantaneamente 4 Uma partícula de massa m 05 kg movese ao longo de uma superfície horizontal com velocidade inicial de 10 m s1 De repente ela entra em uma região na qual começa a agir sobre ela uma força contrária a seu movimento de magnitude Ft 04et4 cuja duração é de 4 s Determine a velocidade da partícula após o término da ação da força Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física LTC vol I 9ª edição São Paulo 2012 P A Tipler e G Mosca Física para Cientistas e Engenheiros LTC vol1 6ª edição Rio de Janeiro 2009 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972