Oscilações Forçadas e Fenômeno de Ressonância

1 Oscilações Forçadas 11052023 Prof Dr André Ricardo Rocha da Silva Fenômeno de Ressonância 2 Visão geral Até o presente momento foi estudo apenas oscilações livres em que o oscilador recebe uma certa quantidade de energia inicial por meio de seu deslocamento inicial eou velocidade inicial e depois é solto evoluindo livremente O período de oscilação é determinado pela própria natureza do oscilador ou seja por sua inércia e pelas forças restauradoras que atuam sobre ele A oscilação é amortecida pelas forças dissipativas atuantes Agora iniciarseá o estudo do efeito que uma força externa periódica produz sobre um oscilador O período dessa força não coincidirá em geral com o período próprio do oscilador de modo que as oscilações produzidas chamamse oscilações forçadas Assim a força externa supre continuamente energia ao oscilador compensando a dissipação Alguns exemplos de oscilações forçadas são as oscilações do diafragma de um microfone ou do tímpano de nosso ouvido sob a ação de ondas sonoras as oscilações de uma pessoa sentada num banco sob a ação de empurrões periódicos as oscilações elétricas produzidas num circuito detector de rádio ou televisão sob efeito do sinal eletromagnético captado as oscilações dos elétrons em átomos e moléculas de um meio material sob a ação de uma onda eletromagnética como a luz que se propaga nesse meio Além disso surge um novo fenômeno físico no estudo das oscilações forçadas a saber o fenômeno de ressonância que desempenha um papel importante em sistemas eletrônicos e mesmo construções de grande porte No primeiro caso o fenômeno de ressonância é muito útil enquanto que no segundo caso a ressonância é um efeito indesejável e destrutivo Objetivos 1 Resolver a equação de movimento de um oscilador forçado com ou sem amortecimento 2 Discutir o fenômeno de ressonância Oscilador Forçado Sem Amortecimento 3 Seja uma força externa de frequência angular Então a equação de movimento para um oscilador simples em que atua também essas força externa fica sendo Dividindo toda a expressão pela massa da partícula temse em que é a frequência natural de oscilação livre e A equação de movimento acima representa uma equação diferencial de segunda ordem nãohomogênea e sua solução geral é amparada pelo seguinte teorema Seja uma solução particular da equação diferencial nãohomogênea isto é e seja uma solução homogênea da equação diferencial homogênea isto é então a combinação linear representa a solução geral da equação diferencial nãohomogênea Note que as duas constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais já estão contidas na solução Com efeito uma vez que a solução já é bem conhecida tornase necessário determinar apenas a fim de se obter a solução geral para o oscilador forçado Posto isso fazse a extensão analítica da equação de movimento do oscilador forçado a fim de se obter a sua solução particular em que e sendo É de se esperar e isso será ainda mais óbvio quando for discutido as oscilações forçadas e amortecidas que a oscilação produzida pela força 4 externa tenha a mesma frequência da força externa aplicada a saber Deste modo a solução particular complexa deve ser do tipo Calculando as derivadas dessa solução e substituindo na equação de movimento complexa temse que e portanto Assim a solução complexa fica sendo e a solução particular real tornase ou ainda em que é a amplitude de oscilação do oscilador forçado Note que essa amplitude cresce indefinidamente no limite em que nessa situação surge o fenômeno de ressonância Logo a solução particular corresponde a uma oscilação de mesma frequência que a força externa A fim de se obter a solução geral para este oscilador forçado considere a seguinte solução homogênea já conhecida Portanto a solução geral é 5 em que as constantes e advindas da solução homogênea são determinadas pelas condições iniciais aplicadas à solução geral A velocidade instantânea desse oscilador forçado é dada por Uma situação interessante para se aplicar as condições iniciais é aquela em que o oscilador está parado na origem isto é e Deste modo Da segunda equação concluíse que o que pela primeira equação implica Portanto a solução geral do oscilador forçado após a aplicação das condições iniciais será que também pode ser escrita como que corresponde em geral à superposição de dois MHS de frequências diferentes a livre e a forçada podendo levar a batimentos quando é próximo da frequência natural No limite da ressonância exata em que o termo entre colchetes da solução acima assume o caráter de uma derivada através do limite De maneira que a solução geral fica para dada por 6 em que a amplitude de oscilação cresce linearmente com o tempo De fato conforme visto na figura abaixo o efeito da ressonância neste tipo de oscilador forçado é produzir um crescimento linear com o tempo da amplitude de oscilação a partir das condições iniciais dadas No entanto vale a pena observar que essa amplitude evidentemente não cresce de forma indefinida em situações práticas sendo estabilizada por outros efeitos tal como dissipação ou nãolinearidade a distensão permanente da mola A seguir será discutido a ação do efeito de dissipação nesse modelo de oscilador forçado EXEMPLO 1 Considere um bloco de massa que está suspenso na vertical por uma mola ideal de constante elástica Encontre a solução geral do movimento levando em conta que o bloco é solto a partir da origem Desconsidere o efeito da resistência do ar Resolução Nesse caso a equação de movimento do bloco será 7 em que é a força da gravidade Note que a orientação positiva do eixo vertical é para baixo Esta é uma equação diferencial nãohomogênea em que a força é constante Podese reescrevêla da seguinte maneira após a divisão de toda equação pela massa do bloco Agora introduzse uma nova variável definida como de modo que Assim a equação de movimento fica sendo que é a equação de movimento típica de um MHS cuja solução é dada por Retornando à variável original temse então ou seja quando um oscilador forçado está submetido à uma força constante o único efeito produzido por ela no movimento é um deslocamento da origem Nesse caso o bloco oscilará em torno da posição e não mais em torno de A solução desta equação de movimento também poderia ser obtida através do procedimento em que e em que é uma constante a ser determinada Essa escolha de solução particular reside no fato de a força aplicada ao oscilador ser constante Substituindo essa solução particular na equação de movimento sendo que temse 8 e a solução geral fica sendo conforme já obtido através de uma técnica diferente Oscilador Forçado e Amortecido A presença do atrito gera dissipação de energia no oscilador e por isso a solução homogênea é composta de exponenciais evanescentes ou seja tende a zero para tempos suficientemente longos Por outro lado a força externa continua suprindo energia indefinidamente de modo que as oscilações forçadas devem persistir e para tempos suficientemente longos apenas as oscilações forçadas devem sobreviver correspondendo à solução particular da equação diferencial não homogênea Por isso dizse que a solução particular é a solução estacionária ao passo que a solução homogênea é a solução transiente ou seja tem um efeito transitório dependendo das condições iniciais Para um oscilador forçado submetido à uma força dissipativa proporcional à velocidade a equação de movimento será em que é a frequência da força periódica aplicada ao oscilador Dividindo toda a expressão pela massa temse em que novamente é o coeficiente de amortecimento e A solução transiente para essa equação de movimento já é conhecida e de fato existem três tipos então é necessário encontrar a solução estacionária 9 para ela Realizando a extensão analítica desta equação de movimento temse A solução estacionária para esse tipo de equação de movimento deve ter a mesma periodicidade da força aplicada uma vez que a solução transiente tende a zero para longos períodos Logo a solução estacionária deve ser do tipo em que é uma constante complexa que deve ser determinada a partir da substituição dessa solução na equação de movimento Deste modo e a equação de movimento fica ou seja O denominador de é um número complexo na forma em que é a parte real e é a parte imaginária Nesse caso tornase conveniente escrever esse denominador complexo na sua forma polar em que ou ainda 10 é o argumento do número complexo A fase representa a defasagem entre o deslocamento e a força externa Com efeito a constante fica escrita como e portanto a solução estacionária será Agora tomando a parte real a solução estacionária do oscilador forçado e amortecido é ou ainda em que é a amplitude de oscilação estacionária que é função da frequência da força periódica aplicada A solução geral do oscilador forçado e amortecido para o caso do subamortecimento será em que e são duas constantes determinadas pela aplicação das condições iniciais e à solução geral A figura a seguir ilustra o comportamento da solução geral 11 Efeitos de Ressonância Quando o amortecimento é fraco no oscilador forçado e amortecido isto é podese analisar quantitativamente o comportamento do efeito de ressonância a partir da amplitude de oscilação estacionária De fato espera se que na vizinhança de a amplitude seja máxima e a fase varie rapidamente Considerando suficientemente próximo de tal que então é possível aproximar bem como Deste modo o quadrado da amplitude tornase aproximadamente enquanto que a fase tornase O chamado pico de ressonância ocorre quando a frequência da força externa é igual à frequência natural do oscilador isto é Desse modo a amplitude assume seu valor máximo a saber 12 Podese conceituar também a chamada semilargura do pico de ressonância como sendo os valores de tal que Assim Definese então a semilargura do pico de ressonância como A figura a seguir ilustra o comportamento do quadrado da amplitude bem como da fase no em torno do pico de ressonância Observe que para a semilargura também vai a zero e por conseguinte Uma outra quantidade importante a se definir envolvendo o pico de ressonância é o chamado fator de amplificação que é a comparação de 13 com o valor da amplitude no limite de baixas frequências Na prática fazse a seguinte aproximação Com efeito definese o fator de amplificação produzido pela ressonância como Observe que quanto mais estreita a ressonância isto é quanto menor a semilargura mais intenso é a amplificação da ressonância e portanto maior é o pico de ressonância Balanço de Energia A taxa de variação instantânea da energia mecânica armazenada no oscilador em um dado instante é que pela equação de movimento do oscilador forçado e amortecido pode ser escrita como em que é a potência fornecida pela força externa Considerando apenas a solução estacionário sabese que e são proporcionais a enquanto que é proporcional a Com efeito conforme visto no Apêndice 4 o valor médio da taxa de variação instantânea da energia mecânica é nulo o que imediatamente implica que Ou seja no estado estacionário a potência média fornecida pela força externa é igual à potência média dissipada 14 Por outro lado no estado estacionário a taxa com que trabalho é realizado sobre o oscilador pela força aplicada é explicitamente dada por Agora então Essa relação pode ser simplificada tomandose o seu valor médio Desde que e então em que o termo é denominado de fator de potência A partir da definição feita na Pg 9 para a é possível escrever o fator de potência como Logo a potência média fornecida pela força externa assume a seguinte forma 15 Além disso a partir da definição de dada na Pg 10 podese escrever essa potência média como ou seja com era de se esperar a potência média fornecida pela força externa é proporcional ao quadrado da amplitude de oscilação da solução estacionária Esse resultado é importante pois no regime de amortecimento fraco análise feita para o comportamento do quadrado da amplitude nas proximidades do pico de ressonância é inteiramente aproveitado aqui Com efeito no limite em que fazse em de modo que Logo o pico da potência média fornecida pela força externa é proporcional ao quadrado da amplitude da força e inversamente proporcional à semilargura do pico de ressonância Desta maneira um pico mais estreito implica mais intenso EXERCÍCIOS 1 Mostre que a solução geral do oscilador forçado no limite da ressonância quando substituída na equação diferencial resulta em em outras palavras que essa solução satisfaz a equação diferencial que descreve um oscilador forçado 16 2 Mostre que no regime de amortecimento fraco em que a solução estacionária para o oscilador forçado e amortecido é dada por ou seja para um força aplicada que varia lentamente a partícula movese de tal maneira que a força aplicada é balanceada pela força restauradora 3 Mostre que no regime de amortecimento fraco em que a solução estacionária para o oscilador forçado e amortecido é dada por ou seja o movimento da partícula depende somente da massa da partícula e da frequência da força aplicada sendo independente das forças de atrito e restauradora 4 Uma força age sobre um oscilador harmônico de massa constante elástica e constante de amortecimento Determine uma solução particular da equação de movimento partindo da suposição de que existe uma solução com a mesma dependência do tempo que a força aplicada 5 Um oscilador harmônico subamortecido é submetido à ação de uma força aplicada Determine uma solução particular expressando como parte real de uma função exponencial complexa e procurando uma solução para que tenha a mesma dependência exponencial do tempo 6 Um oscilador harmônico sem amortecimento inicialmente em repouso é submetido começando em a uma força Determine o deslocamento 17 7 Um oscilador harmônico amortecido de massa e constante elástica é submetido à ação de uma força Se em e obtenha Analise todos os casos 8 A força age sobre um oscilador a partir de a Quais os valores iniciais de posição e velocidade de modo que não exista transiente b Se ao contrário determine a amplitude e a fase do transiente em termos de 9 Uma força age sobre um oscilador harmônico que está em repouso em na posição de equilíbrio A massa é a constante de mola vale e a constante de amortecimento é Determine o movimento e esboce Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física Edgard Blücher vol I 9ª edição São Paulo 2012 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004 S T Thornton e J B Marion Dinâmica Clássica de Partículas e Sistemas Cengage Learning 1ª edição 2011