Movimento Unidimensional de uma Partícula: Forças e Energia Potencial

1 Movimento Unidimensional de uma Partícula Parte 4 16032023 Prof Dr André Ricardo Rocha da Silva 2 Visão geral Nessa Seção será discutido um dos mais importantes tipos de força da natureza a saber as forças que dependem da posição da partícula Isto pois esse tipo de força conduz a um importante conceito físico a energia potencial Assim força e energia potencial serão conceitos interligados o que possibilita extrair informações de um através do outro e viceversa De fato às vezes a forma funcional da força é complexa impossibilitando uma solução analítica para a equação de movimento Às vezes recorrese a uma análise numérica No entanto uma ferramenta muito útil para se obter informações qualitativas do movimento é a análise gráfica da energia potencial E isto será extensivamente explorado aqui Objetivos 1 Resolver a equação de movimento para uma força que depende da posição 2 Esboçar o gráfico da energia potencial Força Conservativa Dependente da Posição Um dos mais importantes tipos de movimento ocorre quando a força é uma função apenas da coordenada de sua posição Assim a equação de movimento é dada por Uma técnica muito útil para resolver essa equação de movimento é tratar a velocidade como uma função explícita da posição e implícita do tempo ou seja Deste modo a velocidade é uma função composta e a derivação de uma função composta é dada por 3 Além disso é possível mostrar a seguinte identidade de maneira que a equação de movimento pode ser reescrita como Integrando essa expressão com relação à coordenada Note que em que e Com efeito No entanto pela própria segunda lei de Newton a razão entre força e massa resulta em aceleração e a equação acima toma a seguinte forma 61 Esse resultado representa a equação de Torricelli generalizada isto é para as situações em que a aceleração não é mais constante mas uma função da posição 4 Evidentemente para o caso particular em que a aceleração seja constante temse que e a equação 61 se reduz a tradicional forma da equação de Torricelli EXEMPLO 1 Uma partícula de massa unitária movese sobre o eixo positivo sob influência de uma força Encontre e considerando que e no instante Resolução A componente da força é e sendo a massa da partícula unitária isto é então a aceleração da partícula é Substituindo esse resultado na equação 61 Desde que o resultado acima pode ser escrito como Efetuando a separação de variáveis dessa expressão podese integrála diretamente Invertese facilmente essa última relação elevando ao cubo os dois lados da igualdade A velocidade então é dada por simples derivação desse resultado 5 E finalmente a aceleração é obtida também por simples derivação da velocidade dada acima Uma outra abordagem a este tipo de equação de movimento é utilizando o teorema da variação da energia cinética na forma integral 62 em que a integral representa o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de até Ou seja o trabalho descreve um processo no qual energia é transferida nesse caso na forma cinética de um sistema ou agente externo para a partícula em razão da ação da força sobre a partícula Definese então a energia potencial como sendo o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca desde uma posição até um ponto de referência escolhido 63 em que no último passo apenas se inverteu a ordem de integração gerando assim um sinal negativo Essa definição de energia potencial é compatível com a noção de que um agente externo ao sistema transfere energia para o sistema que assim é armazenada na forma de energia potencial Para exemplificar essa noção considere um sistema formado pela Terra e um bloco de massa que está em repouso sobre a superfície da Terra Um agente externo aplica um força e suspende esse bloco até uma altura em relação ao solo onde o bloco fica em repouso novamente Pelo teorema da variação da energia cinética na forma integral o trabalho realizado pela força será 6 em que é o trabalho da força da gravidade Mas e portanto é o trabalho realizado pela força Observe que nesse processo energia é transferida ao sistema Terrabloco pela força aplicada No entanto do ponto de vista do bloco este iniciou e terminou o processo permanecendo em repouso ou seja sem qualquer energia cinética de movimento De fato a energia fornecida ao sistema pelo agente externo através do bloco foi armazenada no campo gravitacional da Terra isto pois simultaneamente ao fornecimento de energia ao bloco em razão de esta energia era retirada do bloco por meio de E por isso ela é denominada de energia potencial gravitacional do bloco Além disso reescrevendo da equação 63 é possível obter uma relação direta para a força a partir do conhecimento da energia potencial Derivando todos os termos dessa expressão temse em que pois é uma constante Pelo teorema fundamental do cálculo a derivada da integral resulta no próprio integrando Assim 64 Portanto uma vez conhecida a função energia potencial da partícula é possível obter a força que atua sobre a partícula calculado o negativo da derivada da energia potencial Esse importante resultado será explorado mais adiante nesse Capítulo quando da discussão do gráfico da energia potencial 7 Agora combinando as equações 62 e 63 temse ou ainda em que o resultado do lado direito desta equação é uma constante que depende apenas das condições iniciais e Com efeito chegase à lei de conservação da energia mecânica 65 pois embora a energia cinética e a energia potencial possam variar durante o movimento da partícula a energia mecânica permanece constante durante o movimento como um todo O resultado da equação 64 também pode ser usado para se obter a posição instantânea de uma partícula Reescrevendo a equação para em que o sinal que aparece devese à escolha do sentido do movimento Desde que então é possível lançar mão do método de separação de variáveis cuja integração resulta em 66 Portanto conhecendose a função energia potencial é possível em princípio determinar a função horária da partícula 8 EXEMPLO 2 Considere o problema de uma partícula de massa submetida à força restauradora linear lei de Hooke em que é uma constante Determine Resolução Tratase tipicamente de um sistema massamola em que é a constante elástica da mola Considerando a posição de referência como sendo a posição de equilíbrio do sistema então A partir da equação 63 podese calcular a energia potencial como em que se considerou esse resultado para a energia potencial pode ser substituído na equação 66 em que se escolheu o sinal positivo movimento no sentido positivo da equação 66 Fatorando a constante de energia que aparece no denominador do integrando do lado esquerdo A fim de se resolver essa integral será necessário efetuar uma mudança de variáveis conveniente Seja de modo que ou seja 9 Ainda lembrando que a diferencial tornase e a integração passa ser na variável Assim sendo é necessário redefinir os limites de integração na nova variável Pela relação que define a mudança de variáveis então Finalmente a integral pode então ser reescrita como em que se usou a identidade trigonométrica para reescrever o denominador do integrando 10 Uma vez obtido obtémse usando a relação entre essas duas variáveis Definise para simplificar esse resultado que é a amplitude do movimento e que é a frequência angular de oscilação é a posição instantânea da partícula Note que essa solução é inteiramente compatível com a condição inicial previamente escolhida O Gráfico da Energia Potencial Uma função que depende de uma variável de sua primeira derivada e que é constante para todas as soluções de uma equação diferencia de segunda ordem denominase integral primeira da equação para qualquer Este é exatamente o caso da função que por isso também é chamada de integral da energia Uma integral primeira de uma equação de movimento de um sistema mecânica também é denominada de constante de movimento Em geral qualquer problema mecânico pode ser resolvido caso se encontre um número suficiente de constantes de movimento Com efeito a função energia potencial desempenha um papel fundamental na resolução dos problemas mecânicos Mesmo nos casos em que não seja fácil o cálculo da integral 11 ou que não se possa resolver a equação resultante para a integral de energia fornece informações úteis sobre a solução Para uma dada energia podese verificar que a partícula permanece confinada àquelas regiões no eixo onde Isso decorre diretamente do fato de sempre Assim pela integral da energia temse que 67 o que implica As raízes da igualdade isto é os valores de que satisfazem aquela igualdade representam os chamados pontos de retorno do movimento Um ponto onde a função tem um mínimo local chamase de ponto de equilíbrio estável Uma partícula em repouso em um desses pontos permanecerá em repouso Se ela for deslocada desse ponto de equilíbrio estável por uma pequena distância ela experimentará uma força restauradora agindo sobre ela ou seja atuará sobre a partícula uma força que vai empurrar ela de volta ao ponto de equilíbrio e assim a partícula oscilará em torno desse ponto Já em um ponto onde a função tem um máximo local chamase ponto de equilíbrio instável Em teoria uma partícula em repouso nesse ponto pode permanecer em repouso desde que a força aplicada sobre ela seja nula Porém se for ligeiramente deslocada dessa posição a força que atuará sobre ela a empurrará para mais longe da posição de equilíbrio afastandoa permanentemente A região onde a função é constante denominase região de equilíbrio indiferente pois a partícula pode sofrer um pequeno afastamento desse ponto sem que uma força restauradora ou repulsiva atue sobre ela 12 A figura a seguir ilustra os três tipos de pontos de equilíbrio Esse é o gráfico de energia potencial como uma função da variável radial Em há um ponto de equilíbrio estável pois a função energia potencial apresenta um valor mínimo local Já em temse um ponto de equilíbrio instável pois a função energia potencial apresenta um máximo local Agora um pouco antes de em diante a função energia potencial é constante e esta região é caracterizada pelo estado de equilíbrio indiferente Vale a pena salientar que é possível que um gráfico da energia potencial pode apresentar mais de um ponto de máximo ou mínimo ou mesmo mais de uma região onde ele é constante É exatamente por isso que se diz um ponto de mínimo local ou um ponto de máximo local Em todos os três casos de pontos de equilíbrio a derivada da função energia potencial é nula A figura abaixo ilustra isso para uma partícula em repouso no ponto Pela equação 64 isso implica que a força nesses pontos é nula também Assim uma partícula em repouso localizada ao longo da reta em um desses pontos de equilíbrio permanecerá em repouso pois não há força agindo sobre ela 13 Na figura a seguir verificase que uma partícula próxima a um ponto de equilíbrio estável experimenta uma força restauradora que age sempre no sentido de restaurar a partícula para a posição de equilíbrio Além disso como a derivada à esquerda do ponto de equilíbrio estável é negativa e a derivada à direita é positiva então ou seja para um ponto de equilíbrio estável a segunda derivada da energia potencial calculada naquele ponto será sempre positiva 14 Na próxima figura uma partícula que esteja próxima a um ponto de equilíbrio instável experimenta uma força repulsiva que age sempre no sentido de afastar a partícula da posição de equilíbrio Além disso como a derivada à esquerda do ponto de equilíbrio instável é positiva e a derivada à direita é negativa chegase a ou seja para um ponto de equilíbrio instável a segunda derivada da energia potencial calculada naquele ponto será sempre negativa Por fim quando a segunda derivada da função energia potencial é nula em um determinado ponto isso indica que há uma mudança de concavidade na curva do gráfico naquele ponto Esse ponto também é conhecido como ponto de inflexão do gráfico Essa mudança de concavidade representa um ponto de máximo ou mínimo no gráfico da função força que atua sobre a partícula Deste modo quando a função energia potencial passa de um ponto de mínimo para um ponto de máximo o ponto onde ocorre a mudança de concavidade em vai representar o ponto de mínimo no gráfico da força Por outro lado quando a função energia potencial passa de um ponto de máximo para um ponto de mínimo o ponto onde ocorre a mudança de 15 concavidade em vai representar o ponto de máximo no gráfico da força A figura abaixo ilustra esse comportamento entre a função energia potencial e a função força derivada de energia potencial Os pontos e representam pontos de inflexão do gráfico de e são respectivamente pontos de mínimo e máximo no gráfico de Agora é possível discutir qualitativamente as características do movimento de uma partícula para uma dada energia potencial com o auxílio da equação 67 para um dado nível de energia mecânica 16 A figura anterior mostra o movimento de um partícula quando ela possui uma energia mecânica total Pela equação 67 apenas as regiões onde o movimento da partícula é permitido Isso ocorre apenas no intervalo Os pontos onde e são os pontos de retorno do movimento pois velocidade nula já que e respectivamente Já as regiões onde e são regiões proibidas ou inacessíveis pois nessas regiões o que implicaria uma energia cinética negativa Portanto o movimento da partícula fica confinado na região onde Observe que entre atua sobre a partícula uma força no sentido positivo do eixo Assim se a partícula movese no sentido negativo ela será freada nessa região até parar em e depois ela inverterá o sentido de seu movimento movendose então no sentido positivo Agora entre atua sobre a partícula uma força no sentido negativo do eixo Deste modo se a partícula movese no sentido positivo ela será freada nessa região até parar instantaneamente em e depois inverterá o sentido de seu movimento Em particular quando a partícula não experimenta nenhuma força e sua energia cinética é máxima assim como sua velocidade Com efeito nessa situação a partícula fica oscilando indefinidamente em torno do ponto de equilíbrio estável em e os pontos de retorno definem a amplitude do movimento de oscilação Mais adiante essa discussão será retomada para se analisar o comportamento da função energia potencial em torno de um ponto de equilíbrio estável Se a partícula possuir um pouco mais de energia ela pode acessar outras regiões como é visto na figura a seguir Nesse caso a partícula possui um total de energia mecânica e duas regiões acessíveis para seu movimento Na região a partícula fica confinada em movimento oscilatório tal como visto antes A única diferença aqui é que pelo fato de a amplitude do movimento também é maior Na região a partícula possui apenas um ponto de retorno em Assim se a partícula se move no sentido negativo do eixo ela começa a ser freada próxima de ponto até finalmente parar e depois inverter seu sentido de movimento movendose indefinidamente ao longo do sentido positivo do eixo De fato já pouco antes do ponto o gráfico da energia potencial é constante o que implica que a partícula descreve um 17 movimento retilíneo uniforme nessa região tal que A região entre é inacessível para o movimento da partícula Além disso como essa região bloqueia outras duas regiões acessíveis dizse que há uma barreira de potencial No gráfico visualmente ela se parece com um pequeno morro entre dois vales A única maneira de se transpor essa barreira de potencial do ponto de vista clássico é fornecendo mais energia para a partícula Em mecânica quântica é possível atravessar essa barreira por meio do efeito de tunelamento quântico Ou seja existe uma probabilidade de a partícula que esteja confinada no vale à esquerda possa acessar a outra região à direita Finalmente para um nível de energia superior tal como visto na figura a seguir a partícula transpõe a barreira de potencial discutida na figura anterior e pode acessar quase todo o eixo exceto a região Assim em há um único ponto de retorno para a partícula sendo que em a energia cinética da partícula é máxima Quando a partícula oscila próximo de um ponto de equilíbrio estável pode se achar uma solução aproximada para o seu movimento Considere que a função energia potencial tenha um valor mínimo em Então é possível efetuar uma expansão em série de Taylor da função energia potencial em torno desse ponto 18 A constante pode ser ignorada pois não afeta o resultado físico uma vez que Agora como é um ponto de mínimo da função energia potencial então e ainda que decorre do fato de ser um ponto de equilíbrio estável Definindo em analogia ao sistema massamola a função energia potencial pode então ser aproximada como 19 Desde que a partícula oscile muito próxima do ponto de equilíbrio estável então termos de ordem superior a nessa expansão podem ser negligenciados Com efeito a partícula descreve aproximadamente um movimento harmônico simples cuja frequência de pequenas oscilações é dada por em que é a massa da partícula EXEMPLO 3 Uma partícula de massa possui uma energia potencial dada por em que e são duas constantes positivas a Esboce o gráfico dessa energia potencial b Qual é a força que atua sobre a partícula c Determine a frequência de pequenas oscilações se houver Resolução a Esboçar o gráfico da função energia potencial implica aplicar algumas técnicas de cálculo diferencial conforme foi discutido no texto i O valor da função na origem em a energia potencial vale ii O comportamento assintótico da função no limite em que tem se que por outro lado no limite em que temse que pois o termo de potência é dominante sobre o outro iii As raízes da função Nem sempre essa etapa é factível determinarseá quais são os valores de tal que Assim logo as raízes são que é uma raiz dupla e 20 que é uma raiz simples Quando a função tem uma raiz dupla ela apenas tangencia o eixo enquanto que se a raiz é simples então a função intercepta o eixo iv Pontos de equilíbrio são determinados a partir do cálculo da derivada da função sendo igual a zero Então e os pontos de equilíbrio são e O valor da energia potencial nesses pontos é e v Estabilidade dos pontos de equilíbrio aqui calculase o valor da segunda derivada da função energia potencial nos pontos de equilíbrio determinados no item anterior Assim Em a segunda derivada vale e portanto é um ponto de equilíbrio estável Agora em a segunda derivada vale e portanto é um ponto de equilíbrio instável vi Pontos de inflexão calculase em que pontos a segunda derivada da função é nula Logo e é o ponto de inflexão da função energia potencial isto é onde há uma mudança de concavidade da função O valor da energia potencial nesse ponto é De fato esse resultado é inteiramente compatível com o fato de em haver um máximo da função e em haver um mínimo da função 21 Com auxílio do Google gráficos e escolhendo convenientemente os valores das constantes e chegase ao seguinte esboço em que e Além disso b A força de atua sobre a partícula é dada por c a frequência de pequenas oscilações da partícula é dada por ou seja para o valor da constante dado acima EXERCÍCIOS 1 Uma partícula de massa é repelida da origem por uma força inversamente proporcional ao cubo de sua distância à origem 22 Escreva e resolva a equação de movimento considerando que a partícula está inicialmente em repouso a uma distância da origem 2 Uma partícula de massa achase sob a ação de uma força cuja energia potencial é em que e são constantes positivas a Determine a força b A partícula parte da origem com velocidade Mostre que se em que é uma certa velocidade crítica a partícula permanecerá confinada à região próxima da origem Determine 3 A energia potencial para a força existente entre dois átomos numa molécula diatômica tem a seguinte forma aproximada em que é a distância entre os átomos e são duas constantes positivas a Determine a força b Esboce o gráfico do potencial c Supondo que um dos átomos seja muito pesado e permaneça em repouso enquanto o outro se move ao longo de uma linha reta descreva os possíveis tipos de movimento d Determine a distância de equilíbrio e o período para pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio se a massa do átomo mais leve for 4 Considere uma partícula de massa movendose numa região sob influência do potencial em que e Esboce o gráfico da energia potencial encontre os pontos de equilíbrio e analise a estabilidade deles e determine a frequência de pequenas oscilações se houver Referências D Halliday R Resnick e J Walker Fundamentos de Física Edgard Blücher vol I 9ª edição São Paulo 2012 M Alonso e E J Finn Física um Curso Universitário LTC vol1 1ª edição São Paulo 1972 23 H M Nussenzveig Curso de Física Básica Mecânica Editora Edgard Blücher Ltda vol 1 3ª edição São Paulo 1996 K R Symon Mechanics AddisonWesley 3ª edição USA 1972 K Watari Mecânica Clássica Livraria da Física vol I 2ª edição São Paulo 2004