Dois Exercícios de Cálculo 2 - Integral Definida e Valor Médio

LISTA DE EXERCÍCIOS Exercício 1 Calcule as seguintes integrais definidas MeuGurunet Matheus Exercício 1 Calcule as integrais definidas sin𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 1 0 Resolução Primeiro vamos trabalhar como uma integral indefinida Usando a integração por partes 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Onde nós temos 𝑢 sin𝑥 𝑑𝑣 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑒𝑥 Sendo assim aplicando a integração por partes 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 Usando o mesmo processo de integração por partes em 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑢 cos𝑥 𝑑𝑣 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑒𝑥 Portanto temos que 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 Substituindo na nossa integral 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 Aplicando o sinal negativo nos parênteses e passando a integral para o outro lado da igualdade 2 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 Logo nós temos que 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 2 Então agora nós temos apenas que aplicar os limites 𝑒𝑥 sin𝑥 1 0 𝑑𝑥 𝑒𝑥 sin𝑥 𝑒𝑥 cos𝑥 2 0 1 Aplicando os limites 𝑒1 sin1 𝑒1 cos1 2 𝑒0 sin0 𝑒0 cos0 2 Simplificando 𝑒 sin1 𝑒 cos1 2 0 1 2 Finalmente o resultado da integral definida é sin𝑥 𝑒𝑥𝑑𝑥 1 0 𝑒 sin1 𝑒 cos1 1 2 Exercício 2 Encontre o valor médio das seguintes funções nos respectivos intervalos 𝑓𝑥 𝑥 ln𝑥 𝑥 1 2 Resolução Nós temos que o valor médio é definido pela seguinte função 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 1 𝑏 𝑎 𝑓𝑥 𝑏 𝑎 Sendo que no exemplo que nos foi dado nós temos 𝑎 1 𝑏 2 𝑓𝑥 𝑥 ln𝑥 Logo aplicando os valores na fórmula do valor médio 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 1 2 1 𝑥 ln𝑥 2 1 𝑑𝑥 Simplificando 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑥 ln𝑥 2 1 𝑑𝑥 Usando a integração por partes 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 Onde nós temos 𝑢 ln𝑥 𝑑𝑣 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 𝑥2 2 Substituindo 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥2 2 1 𝑥 𝑑𝑥 Simplificando e integrando 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥2 4 Agora podemos aplicar os limites 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 𝑥2 2 ln𝑥 𝑥2 4 1 2 Aplicando os limites 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 4 2 ln2 4 4 1 2 ln1 1 4 Simplificando 𝑓𝑚é𝑑𝑖𝑜 2 ln2 3 4 Estou à disposição no chat da plataforma para dúvidas