Duas Questões de Cálculo 2 - Área e Volume

Resposta detalhada Só aceite se as questões forem fáceis para você Cálculo 2 Tipo de resolução Calculo 2 Exercício 3 Para encontrar e esboçar a região R vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas y x² 9 e y x ou seja x x² 9 x² x 9 0 x 1 Δ Bhaskara 2 1 Observe que Δ 1² 4 1 9 1 36 37 x 1 37 2 x₁ 1 37 2 x₂ 1 37 2 Para esboçar a região vamos desenhar as duas curvas no mesmo gráfico e pintar a região delimitada por elas É importante observar que y x² 9 é uma parábola com raízes 3 e 3 Assim temos o seguinte esboço Podemos observar que na região destacada temos 1 37 2 x 1 37 2 e x² 9 y x Logo R xy R² 1 372 x 1 372 e x² 9 y x Por fim a área da região R será A 1372 x x²9 dx 1372 x x² 9 dx x²2 x³3 9x 1372 1372 12 1 37 2² 13 1 37 2³ 9 1 37 2 12 1 37 2² 13 1 37 2³ 9 1 37 2 A 1 237 37 8 1 337 337 3737 24 9 937 2 1 237 37 8 1 337 337 3737 24 9 937 2 143728 8037324 18372 3376 20376 54376 37376 Portanto A 3737 6 Exercício 5 Primeiramente vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas y x² e y x2 x² x2 2x² x 2x² x 0 x2x1 0 x 0 ou 2x 1 0 x 12 Assim R é a região tal que 0 x 12 e x² y x2 Assim o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x será dado por V₁ π ₀¹₂ x2² x²² dx ou seja V₁ π ₀¹₂ x²4 x⁴ dx π 14 x³3 x⁵5₀¹₂ π 12³ 112 12⁵ 15 π 18 12 132 5 π 196 1160 π 160 96 96 160 64 π 15360 1005 π 240 Por outro lado o volume gerado pela rotação de R em torno do eixo y será V₂ 2π ₀¹₂ x x2 x² dx 2π ₀¹₂ x²2 x³ dx 2π 12 x³3 x⁴4₀¹₂ 2π 16 12³ 12 12⁴ π 13 18 12 116 π 124 132 π 32 24 32 24 π 8 432 π 96 Portanto os volumes dos sólidos S₁ e S₂ são respectivamente V₁ π240 e V₂ π96