Exercícios de Cálculo 2

o A priori o tutor só deve aceitar a proposta se estiver convicto que consegue responder TODAS as questões sem complicações nenhuma o A resolução DEVE SER TOTALMENTE DETALHADA o Caso for fazer de forma manuscrita por gentileza garanta que está vem legível 1 Calcule a seguinte integrai definida deixando claro a resolução da mesma cos 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥 1 0 2 Calcule as integrais impróprias das seguintes funções concluindo se elas são convergentes ou divergentes A 1 𝑥3 𝑑𝑥 1 B 2 ln𝑥 𝑑𝑥 1 0 C 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓𝑥 1 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 1 𝑥2 𝑠𝑒 𝑥 1 3 Uma fábrica de um certo produto após um período inicial da produção tem uma regularidade de produção em horas bem padronizada e modelada pela seguinte equação 𝑃𝑡 𝑡2 5𝑡 50 Assim sendo após esse início qual a média de produção da Fabrica em 5 horas de funcionamento Trabalho Cálculo 2 Instruções ao guru Atividade 1 Atividade 2 Atividade 3 4 Consideremos os sólidos S1 e S2 como sendo os sólidos gerados pela rotação da região inteiramente delimitada pelas curvas 𝑦 𝑥2 e 𝑦 𝑥 2 em torno do eixo x e eixo y respectivamente Encontre a região delimitada entre as curvas que geram os sólidos e a posteriori encontre o volume dos sólidos S1 e S2 é necessário a construção do gráfico 5 Um cabo de aço está suspenso entre dois postes de mesma altura O cabo segue a forma de uma curva que pode ser dada como gráfico de uma função 𝑓𝑥 𝑥𝑥 4 2 no plano cartesiano Isso é x representa a distância ao longo do cabo em metros e y a altura do cabo em metros Determine o comprimento total do cabo de aço entre os dois postes sabendo que os postes estão 4 metros de distância um do outro 6 Consideremos a seguinte função vetorial 𝑢𝑥 𝑠𝑒𝑛𝑥 cos 𝑥 𝑥 Encontre a função vetorial derivada de ux Esboce apenas localmente uma ideia para algum valor x de sua escolha da representação gráfica do vetor derivada junto a trajetória da partícula de ux Encontre o comprimento da trajetória da partícula dada pela função ux para 0 x 1 3 Encontre a norma do vetor médio da função vetorial ux considerando 0 x 1 Atividade 4 Atividade 5 Atividade 6 1 1 from 1 to 2 1 x x2 dx from 1 to 2 1 x12 x2 dx from 1 to 2 x12 x2 dx x12 12 x3 3 from 1 to 2 2 x12 x3 3 from 1 to 2 22 23 3 21 13 22 83 2 13 22 13 1 2 1 x2 4 dx triangle sketch with sides x 2 hypotenuse x2 4 angle θ tg θ x2 x 2 tg θ dx 2 sec2 θ dθ 2 sec2 θ dθ 4 tg2 θ 4 2 sec2 θ dθ 4 tg2 θ 1 2 sec2 θ dθ 2 sec2 θ sec θ dθ ln sec θ tg θ c ln x2 42 x2 c ln 12 x2 4 x c ln12 lnx2 4 x c c ℝ Logo from 0 to π 1 x2 4 dx ln12 lnx2 4 x from 0 to π ln π2 π24 1 1 e ex cosx dx u v v du where ucosx du sinxdx dv ex dx v ex dx ex cosx ex ex sinx dx cosx ex ex sinx dx ex sinx dx u v v du where usinx du cosxdx v ex dx ex sinx ex ex cosx dx ex cosx dx cosx ex sinx ex ex cosx dx ex cosx dx ex cosx dx cosx ex sinx ex 2 ex cosx dx cosx ex sinx ex ex cosx dx 12 cosx ex sinx ex c ex 2 cosx sinx c c ℝ 1 3 Logo integral 0 to 1 of cosxex dx ex2cosxsenx01 e sen1 e cos1 12 2 integral 1 to infinity of 1x3 dx lim tinfinity integral 1 to t of x3 dx lim tinfinity x221t lim tinfinity 12x21t lim tinfinity 12t2 1212 lim tinfinity 12t2 lim tinfinity 12 0 12 12 2 integral 0 to 1 of 2 lnx dx 2 integral 0 to 1 of lnx dx 2 x lnx x01 21ln1 1 0 2 integral lnx dx u v integral v du u lnx dv dx du 1x dx v x lnxx integral x 1x dx lnxx integral 1 dx x lnx x c c in R 2 from 1 to 1x2 dx lim t from 1 to t x2 dx lim t x11t1 lim t 1xt1 lim t 1t 1 0 1 1 from to fx dx 1 23 1 2 23 83 27 fx 1x2 se x 1 x2 se x 1 Logo from to fx dx from to 1 1x2 dx from 1 to 1 x2 dx from 1 to 1x2 dx from 1 to 1 x2 dx x3311 13 13 23 from to 1 1x2 dx lim t from t to 1 x2 dx lim t x111t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t lim t 1x1t 1 4 Para calcular a média da produção da fábrica nas primeiras 5 horas de funcionamento calculamos Pt para t 12 5 A média da produção ao longo das 5 horas será a soma das produções em cada uma dessas horas dividida pelo número de horas t 1 P1 12 51 50 46 t 2 P2 22 52 50 44 t 3 P3 32 53 50 9 15 50 44 t 4 P4 42 54 50 16 20 50 46 t 5 P5 52 55 50 50 Logo a média de produção é M 244 246 50 5 88 92 50 5 230 5 46 unidades por hora 5 Interseção y x2 e y x2 x2 x2 x2 x2 0 xx 12 0 x 0 ou x 12 0 x 12 Pelo Método dos Discos o volume do sólido S1 obtido pela rotação em torno do eixo x é dado pela integral VS1 π012 x22 x22 dx π012 x24 x4 dx π x312 x55012 π 12312 1255 0 π 1812 1325 π 196 1160 π 160 9615360 π 6415360 π240 uV 5 Pelo Método dos Anéis o volume do sólido S2 obtido pela rotação em torno do eixo y é dado pela integral VS2 2π012 x x2 x2 dx 2π012 x22 x3 dx 2π x36 x44012 2π 186 1164 0 2π 148 164 2π 64 483072 π 161536 π96 uV 6 fx xx 4 2 fx x2 4x 2 fx 2x 4 fx2 2x 42 4x2 16x 16 O comprimento total do cabo de aço entre os dois postes é dado pela integral L 04 1 fx2 dx 04 1 2x 42 dx 1 2x 42 4x2 16x 17 4 x2 4x 174 x2 4x x 22 4 completando quadrados Então 4x 22 1 L 04 4x 22 1 dx x 2 12 tg θ dx 12 sec2 θ dθ x 4 θ tg14 x 0 θ tg14 L tg14tg14 1 tg2 θ 12 sec2 θ dθ 12 tg14tg14 sec3 θ dθ 12 12 sec θ tg θ 12 ln sec θ tg θtg14tg14 12 417 12 ln4 17 ln4 17 929 uc 7 ux senx cosx x A função vetorial derivada de ux é ux senx cosx x cosx senx 1 x0 u0 0 1 0 u0 1 0 1 Aqui u0 0 1 0 é o ponto onde a partícula se encontra e u0 1 0 1 é o vetor tangente derivada no ponto x0 Esboço da Trajetória e Vetor Derivada Trajetória de ux u0 u0 u1 y u2 z 7 2 O comprimento da trajetória da partícula ux para 0 x 1 é dado pela integral Lu ab ux dx ux cosx senx 1 ux cos2x sen2x 12 1 1 2 1 Logo Lu 01 2 dx 2 01 1 dx 2 x10 2 1 0 2 uc 7 3 ux sqrtsen2x cosx2 x2 sqrtsen2x cos2x x2 sqrt1 x2 1 x tgθ dx 1cos2 θ dθ Logo a média da norma ux no intervalo 0 x 1 é dada pela integral M 110 01 ux dx 01 sqrt1 x2 dx sqrt1 x2 dx sqrt1 tg2 θ 1cos2 θ dθ sqrtcos2 θcos2 θ sen2 θcos2 θ 1cos2 θ dθ sqrt1cos2 θ 1cos2 θ dθ 1cos3 θ dθ 1cos2 θ 1cos θ dθ 1cos θ tgθ senθcos2 θ tgθ dθ udv uv vdu v 1cos θ du senθcos2 θ dθ dv 1cos2 θ v tg θ senθcos2 θ senθcos θ sen2 θcos3 θ 1 cos2 θcos3 θ 1cos3 θ 1cos θ 1cos θ tgθ 1cos3 θ dθ 1cos θ dθ 1cos θ tgθ 1cos3 θ dθ ln1cos θ tgθ 7 3 2 1cos3 θ dθ 1cos θ tgθ ln1cos θ tg θ 1cos3 θ dθ 12 1cos θ tg θ 12 ln 1cos θ tg θ sqrt1 x2 dx 12 sqrt1 x2 x 12 ln sqrt1 x2 x c c R Então M 01 sqrt1 x2 dx 12 sqrt1 x2 x 12 ln sqrt1 x2 x01 12 sqrt2 1 12 sqrt2 1 0 sqrt22 12 lnsqrt2 1