Trabalho C2 - Fazer um Resumo e Montar 2 Exercícios

Parte 1 Preparar pelo menos uma página e meia contendo um resumo da teoria de integral dupla e tripla mais precisamente das aplicações da mesma área volumes média Resumo esse que deve se correlacionar com os slides que enviarei e a livros didáticos Isto é o resumo deve ser rigorosamente coeso aos fundamentos da matemática Parte 2 Montar dois exercícios de volume pode ser como aplicação ou não e resolver um deles por integral dupla e outro por integral tripla Não pode haver plágio e não precisa ser um exercício que foge da curva apenas algo que supre o que é pedido Parte 21 Após responder à questão 2 manualmente a mesma deve ser inserida em um app ou software ou IA afim de comparar as respostas e averiguar se ambas se correlacionam No trabalho comente a tecnologia usada informe a resposta e junto com as fotos dos trabalhos envie também uma foto ou print da solução dada pela tecnologia Comparações entre tecnologias são bemvindas entretanto não necessárias INFORMAÇÕES AO GURU Deve seguir o que se pede O trabalho deve ser baseado nos slides que complementarei na proposta e em livros didáticos bem conceituados Aceite SOMENTE se dominar o assunto Deve uma boa abordagem teórica NÃO PODE HAVER PLÁGIO Na questão 2 deve ser resolvida PASSO A PASSO Parte 1 Preparar pelo menos uma página e meia contendo um resumo da teoria de integral dupla e tripla mais precisamente das aplicações da mesma área volumes média Função de Várias Variáveis Para as funções de um variável real denotada por x que toma valores em um subconjunto ℝ temos uma imagem y fx de tal forma que o conjunto dos pares ordenados de números reais x y x fx determinam o gráfico da função f Entretanto é necessário entender o que é uma função de várias variáveis antes de aplicar os conceitos de derivadas e integração Assim de acordo com Guidorizzi Sejam n e m dois naturais diferentes de zero Uma função de n variáveis reais a valores em ℝm será uma função f A ℝm onde A é um subconjunto não vazio de ℝm Uma tal função associa a cada nupla ordenada x1 x2xn A e um único vetor f x1 x2 xn pertencente a ℝm O conjunto A é o domínio de f A imagem de f é o conjunto I m f f x1x2 xn ℝmx1 xn A A imagem de f será fA Porém se B for um subconjunto de A pode ser indicado como fB o conjunto de todos f x1 x2 xn com x1 x2xn B e assim terá que f transforma o conjunto B no conjunto fB ℝm Dessa maneira temos a definição importante para as transformações de coordenadas polares cilíndricas ou um sistema de coordenadas qualquer Onde os pontos pertencem ao plano euclidiano que para sistema de coordenadas cartesianas ℝ Analogamente as funções de duas variáveis tem como gráfico o conjunto de ternas de números reais x y z com z fx y subconjunto do espaço euclidiano tridimensional onde temse definido um sistema de coordenadas cartesiano ℝ 2 Em resumo n 1 ℝ sendo conjunto dos números reais cuja representação geométrica é na reta numérica Já n 2 ℝ 2 R R x y x y R conjunto dos pares ordenados de números reais cuja representação geométrica é no plano E n 3 ℝ 3 R R R x y z x y z R conjunto das ternas ordenadas de números reais cuja representação geométrica é no espaço tridimensional e assim vai Integral Dupla Primeiro vamos considerar um retângulo em ℝ 2 sendo ℜ o retângulo temos então ℜab xcdaxbc yd e uma f 0 e limitada sobre ℜ E sabendo da aplicação da integração cálculo da área sob uma curva em uma função com duas variáveis o que se tem é o calculo de um volume V do sólido S acima de ℜ limitado pelo gráfico de f E em uma aplicação limitada se f for um plano xy isto é f x yK 0 o sólido será um paralelepípedo de base retangular ℜ e com altura K e o volume será a fórmula conhecida da geometria área da base x h Seguindo o mesmo raciocínio da Soma de Riemann do Cálculo I podemos fazer divisão do retângulo ℜ em infinitos subretângulos Para isso devese considera duas partes P1 para o intervalo ab e P2 para o intervalo cd ax0x1x2xmb cy0 y1 y2 ymd E fazendo variações Δx i x i x i1 e Δ yiyiyi1 com Δ xi0 e Δ yi0 se m e n tenderem ao infinito Quando maior o número de intervalos mais próximos do volume real chegaremos Soma de Riemann do Cálculo I porém em com várias variáveis será Smn i m i n f cijΔ Rij Onde cijxi yi um ponto qualquer e ΔijΔ xiΔ yi dentro do retângulo ℜ em mn subretângulos ℜijxi1xi x y j1 y j chamada de soma de Riemann de f será a soma de m n volumes destes paralelepípedos que dará aproximadamente o volume V do sólido S e quanto mais aumentamos os valores de m e n a soma de Riemann Smn se aproxima cada vez mais do volume V Só que Seja f uma função definida e limitada sobre um retângulo ℜ ℝ 2 e com o limite da soma de Riemann V lim m n i m i n f cijΔRij existir para quaisquer que sejam as partições regulares P1 e P2 de ab e cd respectivamente epara quaisquer que sejam os pontos cijxi yi nos subretângulos ℜij então f é integrável sobre ℜ sua integral dupla sobre R é definida por ℜ f x ydxdy lim m n i m i n f cijΔRij Assim como as somas de Riemann é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para várias variáveis por meio do Teorema de Fubini enunciado por Se zf x y é contínua sobre um retângulo ℜab xcd então ℜ f x ydA ℜ f x ydxdy a b c d f x ydydx c d a b f x ydxdy De um modo geral esse teorema vale para funções limitadas sobre ℜij e que tenham descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral exista As duas integrais do lado direito são chamadas de integrais iteradas Porém a aplicação desenvolvida foi para uma região limitada por um retângulo ℜab xcd ou seja a definição de integral dupla sobre um retângulo Porém nem sempre a região será retângulo dessa maneira sendo necessário definir a integral dupla para regiões mais gerais que um retângulo Para tal vamos considerar uma função contínua sobre um domínio R qualquer Fx y f x ysex yD 0sex yR D Assim F é uma função contínua sobre R exceto possivelmente na fronteira de D Logo se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas então se aplicará um teorema GUIDORIZZI com o seguinte enunciado Seja f uma função limitada em um retângulo R existe uma constante M tal que fx y M para todo x y R Se além disso f é contínua em R exceto em um número finito de curvas que são gráficos de funções contínuas de uma variável então f é integrável Assim Fxy será integrável sobre a região R e definise D f x ydA ℜ Fx ydxdy Considerando que a integral independe da escolha do retângulo R que contenha D pois se pensarmos em uma função f 0 a integral dupla de F sobre um retângulo nos dá o valor do volume do sólido abaixo de f sobre D pois em R D o valor de F é zero Porém podemos ter as regiões D no tipo I e Tipo II tal qual em Cálculo I Sendo Tipo I Dx yℝ 2axb g1xyg2x Tipo II Dx yℝ 2cxd h1 yxh2 y E assim sendo possível aplicar o Teorema de Fubini para um região qualquer D f x ydA D f x ydxdy a b g2x g1x f x ydydx c d h2y h1y f x ydxdy De forma mais generalista D f x ydA ℜ Fx ydxdy a b c d Fx ydydx Entretanto muitas aplicações podem ser complexas de resolver no sistema cartesiano então surge a mudança de variáveis sendo as mais comuns utilizar mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas porém o a mudança pode ser para um sistema generalista onde é feita a conversão dos sistemas e teremos D f x ydA D f xuv yuvJu vdudv onde J uv é conhecido por Jacobiano e definido como sendo Τ uma transformação do plano xy para o plano uv definida pelas equações xxuv e yyu v então o Jacobiano J uv de Τ é dado por x yu v e é definido por J uvx y uv x u x v y u y v x u y v y v x v E essa aplicação serve para qualquer mudança de base mas como a mudança de base de coordenadas cartesianas para polares cilíndricas e esféricas também é muito comum sabese que para Coordenadas polares temse xr cosθ yr senθ x 2 y 2r cosθ 2r senθ 2r 2cos 2θ r 2sen 2θ r 2sen 2θ cos 2θ r 21r 2 Assim r 2x 2 y 2 no intervalo a ser avaliado porém de forma geral Dr θ r0θ 0θ θ 2π D f x ydA D f xr θ yr θ J r θ dr dθ θ 0 θ 2π r 0 r Fr θ r dr dθ Integral Tripla A integral de uma função de uma variável y fx foi definida sobre um intervalo limitado e fechado de R e a integral dupla de uma função de duas variáveis z fx y foi definida sobre uma região limitada e fechada de ℝ 2 Agora para a integral tripla de uma função de três variáveis wf x y z sobre uma região limitada e fechada do espaço R 3 Assim como a na integração dupla o exemplo mais simples seria sobre uma caixa retangular onde ℜx y zℝ 3axbcyd ezf Da mesma forma que fizemos na integral dupla o primeiro passo é dividir ℜ em subcaixas Para isto precisamos fazer divisões regulares nos intervalos a b c d e e f Soma Riemann em m subintervalos xi1 xi de comprimento xi n subintervalos y j1 y j de comprimento yj e p subintervalos zk 1 zk de comprimento zk respectivamente Assim os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos paralelos aos planos coordenados subdividem a caixa ℜ em m n p subcaixas ℜijk xi1 xi x y j1 y j xzk1zk De forma análoga a integral dupla cada subcaixa terá um volume ΔV ijkΔ xiΔ y j Δ zk com um ponto qualquer cijkxijk yijk zijk ℜijk teremos a soma de Riemann como Smnp i m j n k n f cijkΔV ijk Então sem muita dificuldade podemos definir que a integral tripla de f sobre ℜ definido como ℜ f x y zdV lim m n p i m j n k n f cijkΔV ijk se esse limite existir do mesmo jeito o Teorema de Fubini tal qual o integral dupla ℜ f x y zdV a b c d e f F x y zdzdydx Porém tal qual na integração dupla precisamos definir uma Integral Tripla sobre regiões gerais de ℝ 3 e para tanto é necessário considerar uma região fechada e limitada a Dℝ 3 de uma forma mais simplificada um sólido qualquer que esteja contido a uma caixa ℜ Fx y z f x y z sex y zD 0sex y zR D Assim F é uma função contínua sobre R exceto possivelmente na fronteira de D Logo se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas então F é integrável sobre ℜ e definimos D tal qual a integral dupla assim ficamos com D f x y zdV ℜ F x y zdV Também com Região do Tipo I Tipo II e Tipo III Tipo I Dx y zx yS f 1x yzf 2x y Dx y zaxbg1x yg2xf 1x yzf 2x y ℜ f x y dV a b g1x g2x f 1x y z f 2 x y f x y zdzdydx ou na região xy tipo II ℜ f x y dV c d h1x h2x f 1x y z f 2x y f x y zdzdxdy Tipo II Dx y zx yS f 1 y zxf 2 y z Dx y zayb g1xzg2xf 1x yxf 2x y ℜ f x y zdV a b g1x g2x f 1 y z f 2 y z f x y zdxdzdy ou na região yz tipo II ℜ f x y zdV c d h1 x h2 x f 1 y z f 2 y z f x y zdxdydz Tipo III Dx y zx yS f 1x z yf 2x z tal qual os dois casos anteriores temse dois casos a depender da região plana S como tipo I e tipo II ℜ f x y zdV a b g1x g2x f 1 y z f 2 y z f x y zdydzdx ou ℜ f x y zdV c d h1 x h2 x f 1 y z f 2 y z f x y zdydxdz Mudança de Variáveis na Integral Tripla Seja D R 3 uma região fechada e limitada Consideremos então w fx y z integrável e uma transformação T D D R 3 definida pelas equações xxuv w y yu vw zzuv w onde x y z são funções com derivadas parciais contínuas Como no caso de 2 variáveis em que a transformação xxuv y yu v leva pequenos retângulos do plano uv em paralelogramos curvilíneos no plano xy a transformação T assim pequenos paralelepípedos retangulares do espaço uvw em paralelepípedos curvilíneos no espaço xyz D f x y zdV D f xuv w yuv wzu vwJ uv wdudvdw com o Jacobiano J uv w x y z uv w x u x v x w y u y v y w z u z v z w Três coordenadas são necessárias para mostrar a posição de um ponto no espaço tridimensional Frequentemente utilizamos para isso as coordenadas cartesianas cuja representação geométrica plana é um sistema de três eixos x y e z Como já adiantado há outros sistemas muito utilizados a coordenadas cilíndricas e esféricas Coordenadas cilíndricas temse xr cosθ xr cosθ r 2x 2 y 2 zz Dr θ zr0θ 0θ θ 2π z J uv w x y z uv w x u x v x w y u y v y w z u z v z w cosθ rsenθ 0 senθ r cosθ 0 0 0 1 rcos 2θ sen 2θ r D f x y zdV D f xr θ z yr θ zJ r θ zdr dθ dz z0 z θ 0 θ 2π r 0 r Fr θ r dr dθ dz Coordenadas Esféricas O sistema de coordenadas esféricas cuja relação com o sistema de coordenadas cartesianas se dá pelas equações xρ cosθ senϕ yρ senθ senϕ e zρ cosϕ ρx 2 y 2z 2 tanθ y x cosϕ z x 2 y 2z 2 Dρ θ ϕ ℝ 3ρ00θ 2π 0ϕπ Juv w x y z ρ θ ϕ x ρ x θ x ϕ y ρ y θ y ϕ z ρ z θ z ϕ ρ 2senϕρ 2senϕ D f x y zdV D f ρ cosθ senϕ ρ senθ senϕ ρ cosϕ Jρ θ ϕ d ρ dθ dϕ D f ρ cosθ senϕ ρ senθ senϕ ρ cosϕ ρ 2senϕ d ρ dθ dϕ Em geral se utilizam coordenadas esféricas quando a região a ser integrada é formada por cones eou esferas Referências Bibliográficas GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de cálculo v 3 5 ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos Editora 2002 STEWART James Cálculo v 2 James Stewart tradução EZ2 Translate São Paulo Cengage Learning 2013 576 p ISBN 9788522114634 Parte 2 Montar dois exercícios de volume pode ser como aplicação ou não e resolver um deles por integral dupla e outro por integral tripla Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x 2 y 21 e pelos planos yz x0 z0 no primeiro octante Primeiro vamos visualizar o sólido em questão para isso se faz necessário utilizar um software que gere gráficos 3D geogebra3D por exemplo Vamos dar uma olhada no plaxo xy primeiro quadrante que será a projeção do 1 octante Bom sabemos que Volume é dado por V D f x ydA de imediado temos que z y ou seja sabemos que zf x y então f x yy Então precisamos apenas encontrar os limites de integração no eixo xy x 2 y 21 podemos isolar o y poque temos a informação de x 0 porém podemos também converter para coordenadas polares Coordenadas polares temse xr cosθ yr senθ r 2x 2 y 2 x 2 y 21 temos então que 0r1 e que 0θ π 2 porque é só no primeiro quadrante de 0 a 90º Assim D ydA 0 1 0 π 2 rsenθ r dθ dr 0 1 0 π 2 r 2senθ dθ dr 0 1 r 2 0 π 2 senθ dθdr 0 1 r 2cosθ 0 π 2dr 0 1 r 2cosθ 0 π 2dr 0 1 r 2cos π 2 cos0dr 0 1 r 201dr 0 1 r 21dr 0 1 r 2dr 1 3 r 30 1 1 3101 3 Então V 1 3 uv Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x 2 y 2z 24 acima do plano xy e abaixo do cone z x 2 y 2 Vamos olhar o gráfico para entender o que temos que fazer Assim V D dV de imediato vemos a melhor opção será coordenadas esféricas xρ cosθ senϕ yρ senθ senϕ e zρ cosϕ ρx 2 y 2z 2 x 2 y 2z 24 temos então ρ2 porém o problema limita acima do eixo xy e então temos 0ρ2 O ângulo θ que é o ângulo entre o eixo z e o plano xy pela restrição do problema temos então 0θ 2π Agora em relação ao z sabemos que pela restrição do cone z x 2 y 2 fazendo uma conversão de esféricas para cilíndricas temos rρ senϕ zρ cosϕ θ θ e sabemos que x 2 y 2r 2 então de z x 2 y 2 temos ρ cosϕ r 2 ρ cosϕ ρ senϕ 2 ρ cosϕ r 2 ρ cosϕ ρ senϕ 2 ρ cosϕ ρ senϕ senϕ cosϕ 1tan ϕ1 dessa maneira sabemos que π 4 ϕ π 2 Agora é só substituir V D dV D ρ 2senϕ d ρ dθ dϕ 0 2 0 2π π 4 π 2 ρ 2senϕ dϕ dθ d ρ 0 2 d ρ 0 2π dθ π 4 π 2 ρ 2senϕ dϕ vamos resolver as integrais inteiradas de forma individuais π 4 π 2 ρ 2senϕ dϕ ρ 2cos π 2 cos π 4 ρ 202 2 ρ 2 2 2 vamos para a segunda 0 2π ρ 2 2 2 dθ ρ 2 2 2 0 2π dθ ρ 2 2 2 θ 0 2πρ 2 2 2 2π 0ρ 2 2 2 2π ρ 2π 2 0 2 ρ 2π 2d ρπ 2 0 2 ρ 2π 2 ρ 3 3 0 2 π 2 3 2 30 38π 2 3 Então V8π 2 3 uv Parte 21 Após responder à questão 2 manualmente a mesma deve ser inserida em um app ou software ou IA afim de comparar as respostas e averiguar se ambas se correlacionam No trabalho comente a tecnologia usada informe a resposta e junto com as fotos dos trabalhos envie também uma foto ou print da solução dada pela tecnologia Comparações entre tecnologias são bemvindas entretanto não necessárias Foram utilizadas 3 IA facilmente acessível Gemini IA do Google ChatGTP IA da Openia e o Meta IA da Meta como um chat no WhatsApp INTEGRAL DUPLA Para a integral dupla foi encontrado o seguinte valor de forma manual V 1 3 uv Pode se o Gemini não utilizou transformação para coordenadas polares porém chegou na mesmo valor já o ChatGTP utilizou a mesma abordagem coordenadas polares porém fez uma integração tripla e obteve o mesmo valor de V1 3 uv A Meta AI fez uma transformação para coordenadas cilíndricas e chegou em um resultado diferente Vπ 6 uv Resolução pelo Gemini Montando a Integral Tripla A integral tripla que representa o volume do sólido é V dV de 0 a 1 de 0 a 1x² de 0 a y dz dy dx Resolvendo a Integral Vamos resolver a integral passo a passo 1 Integral em relação a z de 0 a y dz z de 0 a y y 2 Substituindo na integral em y V de 0 a 1 de 0 a 1x² y dy dx 3 Resolvendo a integral em y de 0 a 1x² y dy y²2 de 0 a 1x² 121x² 4 Substituindo na integral em x V de 0 a 1 121x² dx 5 Resolvendo a integral em x V 12x x³3 de 0 a 1 121 13 13 Resultado O volume do sólido é 13 unidades de volume Em resumo Ao visualizar o sólido e definir os limites de integração montamos uma integral tripla que representa o volume Resolvendo essa integral encontramos o valor exato do volume do sólido Observação A escolha das coordenadas cartesianas cilíndricas ou esféricas pode influenciar a complexidade da integral No caso desse problema as coordenadas cartesianas foram as mais adequadas devido à simplicidade das superfícies que limitam o sólido Se você tiver alguma dúvida ou precisar de mais detalhes fique à vontade para perguntar Gostaria de resolver outro problema Pergunte ao Gemini O Gemini pode cometer erros Por isso é bom checar as respostas Resolução do ChatGPT Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x² y² 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante podemos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas onde x r cos θ y r sin θ e z z o volume V pode ser escrito como V D dV Aqui D é a região do espaço delimitada pelos limites dados O cilindro x² y² 1 se traduz para r 1 Os limites no primeiro octante são 0 r 1 0 θ π2 0 z y r sin θ Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante podemos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas onde x r cos θ y r sin θ e z z o volume V pode ser escrito como V D dV Aqui D é a região do espaço delimitada pelos limites dados O cilindro x2 y2 1 se traduz para r 1 Os limites no primeiro octante são 0 r 1 0 θ π2 0 z y r sin θ A integral tripla para o volume é V 0π2 01 0r sin θ r dz dr dθ Aqui o jacobiano da transformação cilíndrica é r então integrando temos 1 Integramos em z 0r sin θ dz r sin θ 2 Agora integramos em r 01 rr sin θ dr sin θ 01 r2 dr sin θ r3301 sin θ 3 3 Finalmente integramos em θ 0π2 sin θ 3 dθ 13 0π2 sin θ dθ 13 cos θ0π2 1310 13 Portanto o volume do sólido é V 13 Resolução do Meta IA Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos yz x0 z0 no primeiro octante podemos utilizar o método de integração dupla O cilindro x2 y2 1 pode ser representado em coordenadas cilíndricas como r1 O volume do sólido pode ser calculado integrando a função constante 1 sobre a região delimitada A região de integração é 0 r 1 0 θ π2 primeiro octante 0 z r plano yz O volume é V 1 dV 0π2 01 0r r dz dr dθ 0π2 01 r2 dr dθ 0π2 13 dθ 13π2 π6 Portanto o volume do sólido é π6 Resposta final π6 INTEGRAL TRIPLA Valor encontrado de forma manual V8π 2 3 uv nenhuma das IA encontrou o mesmo valor na primeira tentativa o ChatGTP precisou de um ajuste nos limites de integração e ele chegou ao valor correto Resolução Gemini Limites de Integração r Varia de 0 até a interseção da esfera e do cone Para encontrar essa interseção igualamos as equações r2 r2 4 r 2 θ Varia de 0 a 2π pois queremos considerar toda a volta em torno do eixo z z Varia do cone z r até a esfera z 4 r2 Montando a Integral Tripla A integral tripla que representa o volume do sólido é V de 0 a 2π de 0 a 2 de r a 4r2 r dz dr dθ O fator r aparece devido ao jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas Resolvendo a Integral 1 Integral em relação a z de r a 4r2 r dz rz de r a 4r2 r4r2 r2 2 Substituindo na integral em r V de 0 a 2π de 0 a 2 r4r2 r2 dr dθ Resolucao ChatGTP Determine o volume do soloido que esta dentro da esfera x2y2z2 4 acima do plano xy e abaixo do cone z sqrtx2y2 Para determinar o volume do soloido dentro da esfera x2 y2 z2 4 acima do plano xy z 0 e abaixo do cone z sqrtx2 y2 podemos utilizar coordenadas esfericas Em coordenadas esfericas x p sin f cos q y p sin f sin q z p cos f A esfera x2 y2 z2 4 se traduz para p 2 O cone z sqrtx2 y2 se traduz para f p4 pois tanf 1 f p4 Vamos definir os limites de integracao p vai de 0 a 2 raio da esfera f vai de 0 a p4 do plano xy ate o cone q vai de 0 a 2p angulo azimutal ao redor do eixo z O volume V e dado por V D p2 sin f d p df dq d q Integrando temos V 02p 0p4 02 p p2 sin f d p df dq Primeiro integramos em p 02 p2 d p p3302 83 23 O cone z sqrtx2 y2 se traduz para f p4 pois tanf 1 f p4 Vamos definir os limites de integracao p vai de 0 a 2 raio da esfera f vai de 0 a p4 do plano xy ate o cone q vai de 0 a 2 p angulo azimutal ao redor do eixo z O volume V e dado por V D p2 sin f d p df dq Integrando temos V 02p 0p4 02 p p2 sin f d p df dq Primeiro integramos em p 02 p2 d p p3302 83 Agora integramos em f 0p4 sin f d f cos f0p4 cos p4 cos 0 22 1 1 22 Finalmente integramos em q 02p d q 2p Multiplicamos todos os resultados das integracoes V 83 1 22 2p V 16p3 1 22 Portanto o volume do soloido e V 16p3 1 22 Simplificando temos V 16p3 2 22 16p2 26 8p2 23 Portanto V 16p3 1 22 8p3 2 2 21 3 Resolvendo a integral em r Para resolver essa integral voce pode utilizar a substituicao u 4 r2 Apos resolver a integral substitua os limites de integracao e simplifique 4 Integral em relacao a q de 0 a 2p d q 2p Apos realizar todos os calculos o resultado final sera o volume do soloido Observacao A resolucao da integral em r pode envolver algumas manipulacoes algebricas e o uso de tabelas de integrais Utilizando software de calculo Para evitar calculos manuais complexos voce pode utilizar softwares como o Mathematica Maple ou o Wolfram Alpha para resolver a integral numericamente ou simbolicamente Importante O calculo detalhado da integral pode ser um pouco extenso e envolver varias etapas Se voce precisar de um resultado numerico preciso recomendo utilizar um software de calculo simbolico Gostaria que eu detalhasse mais alguma parte do calculo φ não seria de pi2 até pi 4 Você está correto Em coordenadas esféricas φ é o ângulo com o eixo z e para este sólido estamos considerando a região acima do plano xy e abaixo do cone z x² y² Então φ varia de π4 no cone a π2 no plano xy Vamos corrigir a integral de volume com esses limites O volume V é dado por V D ρ² sin φ dρ dφ dθ Integrando com os limites corrigidos V 02π π4π2 02 ρ² sin φ dρ dφ dθ Primeiro integramos em ρ 02 ρ² dρ ρ³302 83 Agora integramos em φ π4π2 sin φ dφ cos φπ4π2 cos π2 cos π4 0 22 22 Finalmente integramos em θ 02π dθ 2π Multiplicando todos os resultados das integrações V 83 22 2π 823 π Portanto o volume do sólido é V 82π3 Resolução do Meta IA Meta AI with Llama 32 Portanto o volume do sólido é π6 Resposta final π6 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2y2z2 4 acima do plano xy e abaixo do cone z sqrtx2y2 Um problema clássico de cálculo Para encontrar o volume do sólido precisamos integrar a função constante 1 sobre a região delimitada A esfera pode ser representada em coordenadas esféricas como ρ 2 O cone pode ser representado em coordenadas cilíndricas como z r A região de integração é 0 ρ 2 esfera 0 θ 2π todo o círculo 0 φ π4 cone O volume é V 1 dV 02 0π4 02π ρ2 senφ dφ dθ dρ Avaliando a integral V 02 02π ρ2 cosφ de 0 a π4 dθ dρ 02 02π ρ2 cosπ4 1 dθ dρ 02 02π ρ2 1 12 dθ dρ 2 2 02 ρ2 dρ 02π dθ 2 2 83 2π 16π3 8π22 Aproximadamente 533 Resposta final 16π3 8π22 Parte 1 Preparar pelo menos uma página e meia contendo um resumo da teoria de integral dupla e tripla mais precisamente das aplicações da mesma área volumes média Função de Várias Variáveis Para as funções de um variável real denotada por x que toma valores em um subconjunto ℝ temos uma imagem y fx de tal forma que o conjunto dos pares ordenados de números reais x y x fx determinam o gráfico da função f Entretanto é necessário entender o que é uma função de várias variáveis antes de aplicar os conceitos de derivadas e integração Assim de acordo com Guidorizzi Sejam n e m dois naturais diferentes de zero Uma função de n variáveis reais a valores em ℝmserá uma função f Aℝ m onde A é um subconjunto não vazio de ℝm Uma tal função associa a cada nupla ordenadax1 x2xn A e um único vetor f x1x2 xn pertencente a ℝm O conjunto A é o domínio de f A imagem de f é o conjunto I m f f x1x2 xnℝm x1 xn A A imagem de f será fA Porém se B for um subconjunto de A pode ser indicado como fB o conjunto de todos f x1x2 xncom x1x2 xn B e assim terá que f transforma o conjunto B no conjunto fB ℝm Dessa maneira temos a definição importante para as transformações de coordenadas polares cilíndricas ou um sistema de coordenadas qualquer Onde os pontos pertencem ao plano euclidiano que para sistema de coordenadas cartesianas ℝ Analogamente as funções de duas variáveis tem como gráfico o conjunto de ternas de números reais x y z com z fx y subconjunto do espaço euclidiano tridimensional onde temse definido um sistema de coordenadas cartesiano ℝ 2 Em resumo n 1 ℝsendo conjunto dos números reais cuja representação geométrica é na reta numérica Já n 2 ℝ 2 R R x y x y R conjunto dos pares ordenados de números reais cuja representação geométrica é no plano E n 3 ℝ 3 R R R x y z x y z R conjunto das ternas ordenadas de números reais cuja representação geométrica é no espaço tridimensional e assim vai Integral Dupla Primeiro vamos considerar um retângulo em ℝ 2 sendo ℜ o retângulo temos então ℜab x c d a xbc y d e uma f 0e limitada sobreℜ E sabendo da aplicação da integração cálculo da área sob uma curva em uma função com duas variáveis o que se tem é o calculo de um volume V do sólido S acima de ℜ limitado pelo gráfico de f E em uma aplicação limitada se f for um plano xy isto é f x y K0 o sólido será um paralelepípedo de base retangular ℜe com altura K e o volume será a fórmula conhecida da geometria área da base x h Seguindo o mesmo raciocínio da Soma de Riemann do Cálculo I podemos fazer divisão do retângulo ℜem infinitos subretângulos Para isso devese considera duas partes P1para o intervalo ab e P2para o intervalo cd ax0x1x2xmb c y0 y1 y2 ymd E fazendo variações eΔ yiyi yi1com Δ xixixi1eΔ yi0 se m e n tenderem ao infinito Quando maior o número de intervalos mais próximos do volume real chegaremos Soma de Riemann do Cálculo I porém em com várias variáveis será Smn i m i n f cij ΔRij Onde cijxi yi um ponto qualquer e ΔijΔ xi Δ yidentro do retângulo ℜem m nsubretângulos ℜij xi 1 xi x y j1 y j chamada de soma de Riemann de f será a soma de m n volumes destes paralelepípedos que dará aproximadamente o volume V do sólido S e quanto mais aumentamos os valores de m e n a soma de Riemann Smn se aproxima cada vez mais do volume V Só que Seja f uma função definida e limitada sobre um retângulo ℜ ℝ 2e com o limite da soma de Riemann V lim mn i m i n f cij Δ Rij existir para quaisquer que sejam as partições regulares P1e P2de ab ec d respectivamente epara quaisquer que sejam os pontos cijxi yi nos subretângulos ℜij então f é integrável sobre ℜsua integral dupla sobre R é definida por ℜ f x y dxdy lim mn i m i n f cij Δ Rij Assim como as somas de Riemann é possível aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para várias variáveis por meio do Teorema de Fubini enunciado por Se zf x y é contínua sobre um retângulo ℜab x c d então ℜ f x y dA ℜ f x y dxdy a b c d f x y dydx c d a b f x y dxdy De um modo geral esse teorema vale para funções limitadas sobre ℜije que tenham descontinuidades apenas em um número finito de curvas suaves e que a integral exista As duas integrais do lado direito são chamadas de integrais iteradas Porém a aplicação desenvolvida foi para uma região limitada por um retângulo ℜab x c d ou seja a definição de integral dupla sobre um retângulo Porém nem sempre a região será retângulo dessa maneira sendo necessário definir a integral dupla para regiões mais gerais que um retângulo Para tal vamos considerar uma função contínua sobre um domínio R qualquer F x y f x y se x y D 0se x y R D Assim F é uma função contínua sobre R exceto possivelmente na fronteira de D Logo se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas então se aplicará um teorema GUIDORIZZI com o seguinte enunciado Seja f uma função limitada em um retângulo R existe uma constante M tal que fx y M para todo x y R Se além disso f é contínua em R exceto em um número finito de curvas que são gráficos de funções contínuas de uma variável então f é integrável Assim Fxy será integrável sobre a região R e definise D f x y dA ℜ F x y dxdy Considerando que a integral independe da escolha do retângulo R que contenha D pois se pensarmos em uma função f 0 a integral dupla de F sobre um retângulo nos dá o valor do volume do sólido abaixo de f sobre D pois em R D o valor de F é zero Porém podemos ter as regiões D no tipo I e Tipo II tal qual em Cálculo I Sendo Tipo I Dx y ℝ 2ax b g1 x y g2 x Tipo II Dx y ℝ 2c xd h1 y x h2 y E assim sendo possível aplicar o Teorema de Fubini para um região qualquer D f x y dA D f x y dxdy a b g2 x g1 x f x y dydx c d h2 y h1 y f x y dxdy De forma mais generalista D f x y dA ℜ F x y dxdy a b c d F x y dydx Entretanto muitas aplicações podem ser complexas de resolver no sistema cartesiano então surge a mudança de variáveis sendo as mais comuns utilizar mudança para coordenadas cilíndricas e esféricas porém o a mudança pode ser para um sistema generalista onde é feita a conversão dos sistemas e teremos D f x y dA D f x uv y uv J uv dudv onde J uv é conhecido por Jacobiano e definido como sendo Τuma transformação do plano xy para o planouv definida pelas equações xx uv e y y uv então o Jacobiano J uv de Τ é dado por x yu v e é definido por J uv x y uv x u x v y u y v x u y v y v x v E essa aplicação serve para qualquer mudança de base mas como a mudança de base de coordenadas cartesianas para polares cilíndricas e esféricas também é muito comum sabese que para Coordenadas polares temse xr cosθ yr senθ x 2 y 2r cosθ 2r senθ 2r 2cos 2θr 2sen 2θr 2sen 2θcos 2θr 2 1r 2 Assim r 2x 2 y 2no intervalo a ser avaliado porém de forma geral D r θr 0θ0θθ2π D f x y dA D f x r θ y r θJ rθ dr dθ θ0 θ2π r0 r F r θ r dr dθ Integral Tripla A integral de uma função de uma variável y fx foi definida sobre um intervalo limitado e fechado de R e a integral dupla de uma função de duas variáveis z fx y foi definida sobre uma região limitada e fechada de ℝ 2 Agora para a integral tripla de uma função de três variáveis wf x y z sobre uma região limitada e fechada do espaço R 3 Assim como a na integração dupla o exemplo mais simples seria sobre uma caixa retangular onde ℜx y z ℝ 3a x b c yd ez f Da mesma forma que fizemos na integral dupla o primeiro passo é dividir ℜ em subcaixas Para isto precisamos fazer divisões regulares nos intervalos a b c d e e f Soma Riemann em m subintervalos xi1xi de comprimento xi n subintervalos y j 1 y j de comprimento yj e p subintervalos zk 1z k de comprimento zk respectivamente Assim os planos que passam pelas extremidades desses subintervalos paralelos aos planos coordenados subdividem a caixa ℜ em m n p subcaixas ℜijk xi1 xi x y j1 y j x zk 1zk De forma análoga a integral dupla cada subcaixa terá um volume ΔV ijkΔ xi Δ y j Δ zkcom um ponto qualquer cijkxijk yijk zijk ℜijkteremos a soma de Riemann como Smnp i m j n k n f cijk ΔV ijk Então sem muita dificuldade podemos definir que a integral tripla de f sobre ℜdefinido como ℜ f x y z dV lim mn p i m j n k n f cijk Δ V ijk se esse limite existir do mesmo jeito o Teorema de Fubini tal qual o integral dupla ℜ f x y z dV a b c d e f F x y z dzdydx Porém tal qual na integração dupla precisamos definir uma Integral Tripla sobre regiões gerais de ℝ 3 e para tanto é necessário considerar uma região fechada e limitada a D ℝ 3 de uma forma mais simplificada um sólido qualquer que esteja contido a uma caixa ℜ F x y z f x y z sex y z D 0se x y z R D AssimF é uma função contínua sobre R exceto possivelmente na fronteira de D Logo se a fronteira de D tiver apenas um número finito de gráficos de funções contínuas então F é integrável sobre ℜ e definimosDtal qual a integral dupla assim ficamos com D f x y z dV ℜ F x y z dV Também com Região do Tipo I Tipo II e Tipo III Tipo I Dx y z x y Sf 1 x y z f 2 x y Dx y z a xbg1x y g2x f 1 x y z f 2x y ℜ f x y dV a b g1x g 2x f 1 x y z f 2x y f x y z dzdydx ou na região xy tipo II ℜ f x y dV c d h1 x h2 x f 1x y z f 2 x y f x y z dzdxdy Tipo II Dx y z x y Sf 1 y z x f 2 y z Dx y z a yb g1 x z g2x f 1 x y x f 2x y ℜ f x y z dV a b g1 x g2 x f 1 y z f 2 y z f x y z dxdzdy ou na região yz tipo II ℜ f x y z dV c d h1 x h2 x f 1 y z f 2 y z f x y z dxdydz Tipo III Dx y z x y Sf 1 x z y f 2 x z tal qual os dois casos anteriores temse dois casos a depender da região plana Scomo tipo I e tipo II ℜ f x y z dV a b g1 x g2 x f 1 y z f 2 y z f x y z dydzdx ou ℜ f x y z dV c d h1 x h2 x f 1 y z f 2 y z f x y z dydxdz Mudança de Variáveis na Integral Tripla Seja D R 3uma região fechada e limitada Consideremos então w fx y z integrável e uma transformaçãoT D D R 3 definida pelas equações xx uv w y y uv w zz uv w onde x y z são funções com derivadas parciais contínuas Como no caso de 2 variáveis em que a transformaçãoxx uv y y uv leva pequenos retângulos do planouvem paralelogramos curvilíneos no planoxy a transformação T assim pequenos paralelepípedos retangulares do espaço uvwem paralelepípedos curvilíneos no espaçoxyz D f x y z dV D f x uv w y uv w z uv w J uv w dudv dw com o Jacobiano J uv w x y z uv w x u x v x w y u y v y w z u z v z w Três coordenadas são necessárias para mostrar a posição de um ponto no espaço tridimensional Frequentemente utilizamos para isso as coordenadas cartesianas cuja representação geométrica plana é um sistema de três eixos x y e z Como já adiantado há outros sistemas muito utilizados a coordenadas cilíndricas e esféricas Coordenadas cilíndricas temse xr cosθ xr cosθ r 2x 2 y 2 zz D r θz r0θ0θθ2 π z J uv w x y z uv w x u x v x w y u y v y w z u z v z w cosθ rsenθ 0 senθ r cosθ 0 0 0 1 r cos 2θsen 2θ r D f x y z dV D f x rθ z y r θ z J r θ z dr d θdz z0 z θ0 θ2π r 0 r F r θr dr dθdz Coordenadas Esféricas O sistema de coordenadas esféricas cuja relação com o sistema de coordenadas cartesianas se dá pelas equações xρcosθ senϕ yρsenθsen ϕe zρcos ϕ ρx 2 y 2z 2 tanθ y x cos ϕ z x 2 y 2z 2 D ρθ ϕ ℝ 3ρ00θ2 π 0ϕ π J uv w x y z ρθ ϕ x ρ x θ x ϕ y ρ y θ y ϕ z ρ z θ z ϕ ρ 2sen ϕρ 2sen ϕ D f x y z dV D f ρcosθsen ϕ ρsen θsen ϕ ρcosϕJ ρθ ϕd ρdθ d ϕ D f ρcosθsen ϕ ρsenθ senϕ ρcosϕ ρ 2senϕ d ρdθd ϕ Em geral se utilizam coordenadas esféricas quando a região a ser integrada é formada por cones eou esferas Referências Bibliográficas GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de cálculo v 3 5 ed Rio de Janeiro LTC Livros Técnicos e Científicos Editora 2002 STEWART James Cálculo v 2 James Stewart tradução EZ2 Translate São Paulo Cengage Learning 2013 576 p ISBN 9788522114634 Parte 2 Montar dois exercícios de volume pode ser como aplicação ou não e resolver um deles por integral dupla e outro por integral tripla Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x 2 y 21e pelos planos yz x0 z0 no primeiro octante Primeiro vamos visualizar o sólido em questão para isso se faz necessário utilizar um software que gere gráficos 3D geogebra3D por exemplo Vamos dar uma olhada no plaxo xy primeiro quadrante que será a projeção do 1 octante Bom sabemos que Volume é dado por V D f x y dAde imediado temos quezy ou seja sabemos que zf x y então f x y y Então precisamos apenas encontrar os limites de integração no eixo xy x 2 y 21podemos isolar o y poque temos a informação de x 0 porém podemos também converter para coordenadas polares Coordenadas polares temse xr cosθ yr senθ r 2x 2 y 2 x 2 y 21 temos então que 0r 1e que 0θ2 πporque é só no primeiro quadrante de 0 a 90º Assim D ydA 0 1 0 2π rsenθ r d θdr 0 1 0 2 π r 2sen θdθdr 0 1 r 2 0 2π senθ dθdr 0 1 r 2 dr 0 1 r 2cosθ0 π 2dr 0 1 r 2cos π 2cos 0 dr 0 1 r 20 1 dr 0 1 r 21dr 0 1 r 2dr1 3 r 30 11 3 10 1 3 Então V1 3 u v Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x 2 y 2z 24 acima do plano xy e abaixo do cone z x 2 y 2 Vamos olhar o gráfico para entender o que temos que fazer Assim V D dVde imediato vemos a melhor opção será coordenadas esféricas xρcosθ senϕ yρsenθsen ϕe zρcos ϕ ρx 2 y 2z 2 x 2 y 2z 24 temos então ρ2porém o problema limita acima do eixo xy e então temos 0 ρ2 O ângulo θque é o ângulo entre o eixo z e o plano xy pela restrição do problema temos então 0θ2 π Agora em relação ao z sabemos que pela restrição do cone z x 2 y 2fazendo uma conversão de esféricas para cilíndricas temos rρsen ϕ zρcos ϕ θθ e sabemos que x 2 y 2r 2 então de z x 2 y 2temos ρcos ϕr 2 ρcosϕ ρsen ϕ 2 ρcos ϕr 2 ρcosϕ ρsen ϕ 2 ρcos ϕ ρsen ϕ sen ϕ cos ϕ 1tan ϕ 1 dessa maneira sabemos que π 4 ϕ π 2 Agora é só substituir V D dV D ρ 2sen ϕd ρdθ d ϕ 0 2 0 2 π π 4 π 2 ρ 2sen ϕ dϕ d θd ρ 0 2 d ρ 0 2 π dθ π 4 π 2 ρ 2sen ϕd ϕ vamos resolver as integrais inteiradas de forma individuais π 4 π 2 ρ 2senϕ d ϕ ρ 2cos π 2cos π 4 ρ 20 2 2 ρ 2 2 2 vamos para a segunda 0 2 ρ 2π 2d ρπ 2 0 2 ρ 2π 2 ρ 3 3 0 2 π 2 3 2 30 38 π 2 3 Então V8 π 2 3 uv Parte 21 Após responder à questão 2 manualmente a mesma deve ser inserida em um app ou software ou IA afim de comparar as respostas e averiguar se ambas se correlacionam No trabalho comente a tecnologia usada informe a resposta e junto com as fotos dos trabalhos envie também uma foto ou print da solução dada pela tecnologia Comparações entre tecnologias são bemvindas entretanto não necessárias Foram utilizadas 3 IA facilmente acessível Gemini IA do Google ChatGTP IA da Openia e o Meta IA da Meta como um chat no WhatsApp INTEGRAL DUPLA Para a integral dupla foi encontrado o seguinte valor de forma manualV1 3 u v Pode se o Gemini não utilizou transformação para coordenadas polares porém chegou na mesmo valor já o ChatGTP utilizou a mesma abordagem coordenadas polares porém fez uma integração tripla e obteve o mesmo valor de V1 3 u v A Meta AI fez uma transformação para coordenadas cilíndricas e chegou em um resultado diferente V1 3 u v Resolução pelo Gemini Montando a Integral Tripla A integral tripla que representa o volume do sólido é V dV de 0 a 1 de 0 a 1 x² de 0 a y dz dy dx Resolvendo a Integral Vamos resolver a integral passo a passo 1 Integral em relação a z de 0 a y dz z de 0 a y y 2 Substituindo na integral em y V de 0 a 1 de 0 a 1 x² y dy dx 3 Resolvendo a integral em y de 0 a 1 x² y dy y²2 de 0 a 1 x² 121 x² Resolução do ChatGPT Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x² y² 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante podemos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas onde x r cos θ y r sin θ e z z o volume V pode ser escrito como V D dV Aqui D é a região do espaço delimitada pelos limites dados O cilindro x² y² 1 se traduz para r 1 Os limites no primeiro octante são 0 r 1 0 θ π2 0 z y r sin θ Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x² y² 1 e pelos planos y z x 0 z 0 no primeiro octante podemos usar uma integral tripla em coordenadas cilíndricas Em coordenadas cilíndricas onde x r cos θ y r sin θ e z z o volume V pode ser escrito como V D dV Aqui D é a região do espaço delimitada pelos limites dados O cilindro x² y² 1 se traduz para r 1 Os limites no primeiro octante são 0 r 1 0 θ π2 0 z y r sin θ A integral tripla para o volume é V 0π2 01 0r sin θ r dz dr dθ Aqui o jacobiano da transformação cilíndrica é r então integrando temos 1 Integramos em z 0r sin θ dz r sin θ 2 Agora integramos em r 0¹ rr sin θ dr sin θ 0¹ r² dr sin θ r³30¹ sin θ3 3 Finalmente integramos em θ 0π2 sin θ3 dθ 13 0π2 sin θ dθ 13 cos θ0π2 131 0 13 Portanto o volume do sólido é V 13 4 Substituindo na integral em x V de 0 a 1 121x² dx 5 Resolvendo a integral em x V 12x x³3 de 0 a 1 121 13 13 Resultado O volume do sólido é 13 unidades de volume Em resumo Ao visualizar o sólido e definir os limites de integração montamos uma integral tripla que representa o volume Resolvendo essa integral encontramos o valor exato do volume do sólido Observação A escolha das coordenadas cartesianas cilíndricas ou esféricas pode influenciar a complexidade da integral No caso desse problema as coordenadas cartesianas foram as mais adequadas devido à simplicidade das superfícies que limitam o sólido Se você tiver alguma dúvida ou precisar de mais detalhes fique à vontade para perguntar Gostaria de resolver outro problema Resolução do Meta IA Meta AI with Llama 32 Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos yz x0 z0 no primeiro octante Para determinar o volume do sólido limitado pelo cilindro x2 y2 1 e pelos planos yz x0 z0 no primeiro octante podemos utilizar o método de integração dupla O cilindro x2 y2 1 pode ser representado em coordenadas cilíndricas como r1 O volume do sólido pode ser calculado integrando a função constante 1 sobre a região delimitada A região de integração é 0 r 1 0 θ π2 primeiro octante 0 z r plano yz O volume é V 1 dV 0π2 01 0r r dz dr dθ 0π2 01 r2 dr dθ 0π2 13 dθ 13π2 π6 Portanto o volume do sólido é π6 Resposta final π6 INTEGRAL TRIPLA Valor encontrado de forma manualV8 π 2 3 uv nenhuma das IA encontrou o mesmo valor na primeira tentativa o ChatGTP precisou de um ajuste nos limites de integração e ele chegou ao valor correto Resolução Gemini Limites de Integração r Varia de 0 até a interseção da esfera e do cone Para encontrar essa interseção igualamos as equações r2 r2 4 r 2 θ Varia de 0 a 2π pois queremos considerar toda a volta em torno do eixo z z Varia do cone z r até a esfera z 4 r2 Montando a Integral Tripla A integral tripla que representa o volume do sólido é V de 0 a 2π de 0 a 2 de r a 4r2 r dz dr dθ O fator r aparece devido ao jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas Resolvendo a Integral 1 Integral em relação a z de r a 4r2 r dz rz de r a 4r2 r4r2 r2 2 Substituindo na integral em r V de 0 a 2π de 0 a 2 r4r2 r2 dr dθ 3 Resolvendo a integral em r Para resolver essa integral você pode utilizar a substituição u 4 r2 Após resolver a integral substitua os limites de integração e simplifique 4 Integral em relação a θ de 0 a 2π dθ 2π Após realizar todos os cálculos o resultado final será o volume do sólido Observação A resolução da integral em r pode envolver algumas manipulações algébricas e o uso de tabelas de integrais Utilizando software de cálculo Para evitar cálculos manuais complexos você pode utilizar softwares como o Mathematica Maple ou o Wolfram Alpha para resolver a integral numericamente ou simbolicamente Importante O cálculo detalhado da integral pode ser um pouco extenso e envolver várias etapas Se você precisar de um resultado numérico preciso recomendo utilizar um software de cálculo simbólico Gostaria que eu detalhasse mais alguma parte do cálculo Pergunte ao Gemini O Gemini pode cometer erros Por isso é bom checar as respostas Resolução ChatGTP Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2y2z24 acima do plano xy e abaixo do cone zsqrtx2y2 Para determinar o volume do sólido dentro da esfera x2 y2 z2 4 acima do plano xy z 0 e abaixo do cone z x2 y2 podemos utilizar coordenadas esféricas Em coordenadas esféricas x ρ sin φ cos θ y ρ sin φ sin θ z ρ cos φ A esfera x2 y2 z2 4 se traduz para ρ 2 O cone z x2 y2 se traduz para φ π4 pois tanφ 1 φ π4 Vamos definir os limites de integração ρ vai de 0 a 2 raio da esfera φ vai de 0 a π4 do plano xy até o cone θ vai de 0 a 2π ângulo azimutal ao redor do eixo z O volume V é dado por V D ρ2 sin φ dρ dφ dθ Integrando temos V 02π 0π4 02 ρ2 sin φ dρ dφ dθ Primeiro integramos em ρ 02 ρ2 dρ ρ3302 83 O cone z x2 y2 se traduz para φ π4 pois tanφ 1 φ π4 Vamos definir os limites de integração ρ vai de 0 a 2 raio da esfera φ vai de 0 a π4 do plano xy até o cone θ vai de 0 a 2π ângulo azimutal ao redor do eixo z O volume V é dado por V D ρ2 sin φ dρ dφ dθ Integrando temos V 02π 0π4 02 ρ2 sin φ dρ dφ dθ Primeiro integramos em ρ 02 ρ2 dρ ρ3302 83 Agora integramos em φ 0π4 sin φ dφ cos φ0π4 cosπ4 cos 0 22 1 1 22 Finalmente integramos em θ 02π dθ 2π Multiplicamos todos os resultados das integrações V 83 1 22 2π V 16π3 1 22 Portanto o volume do sólido é V 16π3 1 22 Simplificando temos V 16π3 2 22 16π2 26 8π2 23 Portanto V 16π3 1 22 8π32 2 φ não seria de pi2 até pi 4 Você está correto Em coordenadas esféricas φ é o ângulo com o eixo z e para este sólido estamos considerando a região acima do plano xy e abaixo do cone z x2 y2 Então φ varia de π4 no cone a π2 no plano xy Vamos corrigir a integral de volume com esses limites O volume V é dado por V D ρ2 sin φ dρ dφ dθ Integrando com os limites corrigidos V 02π π4π2 02 ρ2 sin φ dρ dφ dθ Primeiro integramos em ρ 02 ρ2 dρ ρ3302 83 Agora integramos em φ π4π2 sin φ dφ cos φπ4π2 cosπ2 cosπ4 0 22 22 Finalmente integramos em θ 02π dθ 2π Multiplicando todos os resultados das integrações V 83 22 2π V 823 π Portanto o volume do sólido é V 82π3 Resolução do Meta IA Meta AI with Llama 32 Portanto o volume do sólido é π6 Resposta final π6 Determine o volume do sólido que está dentro da esfera x2y2z2 4 acima do plano xy e abaixo do cone z sqrtx2y2 Um problema clássico de cálculo Para encontrar o volume do sólido precisamos integrar a função constante 1 sobre a região delimitada A esfera pode ser representada em coordenadas esféricas como ρ 2 O cone pode ser representado em coordenadas cilíndricas como z r A região de integração é 0 ρ 2 esfera 0 θ 2π todo o círculo 0 φ π4 cone O volume é V 1 dV 02 02π 0π4 ρ2 senφ dφ dθ dρ Avaliando a integral V 02 02π ρ2 cosφ de 0 a π4 dθ dρ 02 02π ρ2 cosπ4 1 dθ dρ 02 02π ρ2 1 12 dθ dρ 2 2 02 ρ2 dρ 02π dθ 2 2 83 2π 16π3 8π2 Aproximadamente 533 Resposta final 16π3 8π2