Cálculo Vetorial - Aula 3: Funções Vetoriais e Área de Superfície

CÁLCULO VETORIAL Slides de Aula 3 071123 Cálculo de Área de Superfície Funções Vetoriais Cap 10 pg 592 a 595 Cap 13 pg 761 a 768 Área de Superfície EXEMPLO 6 Mostre que a área da superfície de uma esfera de raio r é 4πr² SOLUÇÃO A esfera é obtida pela rotação do semicirculo x r cos t y r sen t 0 t π sobre o eixo x Portanto da Fórmula 6 temos S ₀ᴨ 2πr sen t r sen t² r cos t² dt 2πr² ₀ᴨ sen t dt 2πr²cos t₀ᴨ 4πr² Funções Vetoriais As funções que usamos até agora foram funções a valores reais Agora estudaremos funções cujos valores são vetores pois estas são necessárias para descrever curvas e superfícies no espaço Usaremos funções a valores vetoriais também para descrever o movimento de objetos no espaço Em particular as usaremos para deduzir as leis de Kepler para o movimento planetário 131 Funções Vetoriais e Curvas Espaciais Em geral uma função é uma regra que associa a cada elemento de seu domínio um elemento de sua imagem Uma função vetorial ou função a valores vetoriais é uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores Estamos particularmente interessados em funções vetoriais r cujos valores são vetores tridimensionais Isso significa que para todo número t no domínio de r existe um único vetor de V₃ denotado por rt Se ft gt e ht são as componentes do vetor rt então f g e h são funções a valores reais chamadas funções componentes de r e podemos escrever rt ft gt ht ft i gt j ht k Usamos a letra t para denotar a variável independente porque ela representa o tempo na maioria das aplicações de funções vetoriais Se rt t³ ln3 t t então as funções componentes são ft t³ gt ln3 t ht t Pela convenção usual o domínio de r é constituído por todos os valores de t para os quais a expressão rt está definida As expressões t³ ln3 t e t são definidas quando 3 t 0 e t 0 Portanto o domínio de r é o intervalo 0 3 Determine lim rt onde rt 1 t³ i teᶦ j sen tt k SOLUÇÃO De acordo com a Definição 1 o limite de r é o vetor cujas componentes são os limites das funções componentes de r lim rt lim 1 t³ i lim teᶦ j lim sen tt k i k Uma função vetorial r é contínua em a se lim rt ra Em vista da Definição 1 vemos que r é contínua em a se e somente se suas funções componentes f g e h forem contínuas em a Curvas no espaço As curvas espaciais e as funções vetoriais contínuas estão intimamente relacionadas Suponha que f g e h sejam funções reais contínuas em um intervalo I Em seguida o conjunto C de todos os pontos x y z no espaço onde x ft y gt z ht e t varia no intervalo I é chamado curva espacial As equações em 2 são denominadas equações paramétricas de C e t é conhecido como parâmetro Podemos pensar em C como tendo sido traçada pelo movimento de uma partícula cuja posição no instante t é Pft gt ht Se considerarmos agora a função vetorial rt ft gt ht então rt é o vetor posição do ponto de Pft gt ht em C Assim qualquer função vetorial contínua r define uma curva espacial C que é traçada pela ponta do vetor em movimento rt como se mostra na Figura 1 C é traçada pelo movimento da ponta do vetor de posição rt EXEMPLO 3 Descreva a curva definida pela função vetorial rt 1 t 2 5t 1 6t SOLUÇÃO As equações paramétricas correspondentes são x 1 t y 2 5t z 1 6t que reconhecemos a partir da Equação 1252 como as equações paramétricas de uma reta passando pelo ponto 1 2 1 e paralela ao vetor 1 5 6 Como alternativa podemos observar que a função pode ser escrita como r r0 tv quando r0 1 2 1 e v 1 5 6 e esta é a equação vetorial da reta dada pela Equação 1251 Curvas planas também podem ser representadas utilizandose notação vetorial Por exemplo a curva determinada pelas equações paramétricas x t² 2t e y t 1 veja o Exemplo 1 na Seção 101 poderia também ser descrita pela equação vetorial rt t² 2t t 1 t² 2ti t 1j EXEMPLO 4 Esboce a curva cuja equação vetorial é dada por rt cost i sint j tk SOLUÇÃO As equações paramétricas para essa curva são x cost y sint z t Uma vez que x² y² cos²t sen²t 1 para todos os valores de t a curva deve situarse no cilindro circular x² y² 1 O ponto x y z está diretamente acima do ponto x y 0 que se move para a esquerda em torno do círculo x² y² 1 no plano xy A projeção da curva para o plano xy tem equação vetorial rt cost sint 0 Veja o Exemplo 2 na Seção 101 Como z t a curva gira para cima ao redor do cilindro quando t aumenta A curva mostrada na Figura 2 é chamada hélice A forma de sacarolha da hélice circular do Exemplo 4 é a mesma das molas Elas também aparecem no modelo do DNA ácido desoxirribonucleico material genético de células vivas Em 1953 James Watson e Francis Crick mostraram que a estrutura da molécula de DNA é de duas hélices circulares paralelas interligadas como na Figura 3 Nos Exemplos 3 e 4 demos as equações vetoriais das curvas e pedimos uma descrição geométrica ou esboço delas Nos dois exemplos a seguir daremos uma descrição geométrica da curva e pediremos para encontrar equações paramétricas para ela EXEMPLO 5 Determine uma equação vetorial e as equações paramétricas para o segmento de reta ligando o ponto P1 3 2 ao ponto Q2 1 3 SOLUÇÃO Na Seção 125 encontramos uma equação vetorial para o segmento de reta que une a extremidade do vetor r₀ à extremidade do vetor r₁ rt 1 tr₀ tr₁ 0 t 1 Veja a Equação 1254 Aqui tomamos r₀ 1 3 2 e r₁ 2 1 3 para obter uma equação vetorial do segmento de linha de P para Q rt 1 t1 3 2 t2 1 3 0 t 1 ou rt 1 t 3 4t 2 5t 0 t 1 As equações paramétricas correspondentes são x 1 t y 3 4t z 2 5t 0 t 1 A Figura 4 mostra o segmento de linha PQ no Exemplo 5 EXEMPLO 6 Determine uma equação vetorial que representa a curva obtida pela interseção do cilindro x² y² 1 com o plano y z 2 SOLUÇÃO A Figura 5 mostra como o plano intercepta o cilindro e a Figura 6 mostra a curva de interseção C que é uma elipse A projeção de C para o plano xy é o círculo x² y² 1 z 0 Então sabemos do Exemplo 2 na Seção 101 que podemos escrever x cos t y sen t 0 t 2π Da equação do plano temos z 2 y 2 sen t Desta modo podemos escrever as equações paramétricas para C como x cos t y sen t z 2 sen t 0 t 2π A equação vetorial correspondente é rt cos t i sen t j 2 sen t k 0 t 2π Essa equação é chamada de parametrização da curva C As setas na Figura 6 indicam o sentido em que a curva C é percorrida quando o valor do parâmetro t aumenta 131 Exercícios 12 Determine o domínio das funções vetoriais 1 rt lnt 1 t9 t² 2 2 rt cos ti ln tj 1t 2 k 36 Calcule os limites 3 lim t0 e3i t²sen²t j cos 2t k 4 lim t1 t² tt 1 t 8j senπtln t k 5 lim t 1 t²1 t² tg11 e2t 6 lim t tet t³2t³ 1 t sen1t