Cálculo Vetorial: Equações Paramétricas de Curvas

CÁLCULO VETORIAL Slides de Aula 2 311023 Equações Paramétricas de Curvas e Cálculo com Curvas Parametrizadas Cap 10 pg 579 a 592 10 Equações Paramétricas e Coordenadas Polares Até agora descrevemos as curvas planas dando y como uma função de x y fx ou x como uma função de y x gy ou fornecendo uma relação entre x e y que define y implicitamente como uma função de x fx y 0 Neste capítulo discutiremos dois novos métodos para descrever as curvas Algumas curvas como a cicloide são mais bem manipuladas quando x e y forem dados em termos de uma terceira variável t chamada parâmetro x ft y gt Outras curvas como a cardioide têm sua descrição mais conveniente se usarmos um novo sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C como mostrado na Figura 1 É impossível descrever C com uma equação do tipo y fx porque C não passa no Teste da Reta Vertical Mas as coordenadas x e y da partícula são funções do tempo e assim podemos escrever x ft e y gt Esse par de equações é muitas vezes uma maneira conveniente de descrever uma curva e faz surgir a definição a seguir Suponha que x e y sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável t denominada parâmetro pelas equações x ft y gt chamadas equações paramétricas Cada valor de t determina um ponto x y que podemos marcar em um plano coordenado Quando t varia o ponto x y ft gt varia e traça a curva C que chamamos curva parametizada O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e de fato poderíamos usar outra letra em vez de t para o parâmetro Porém EXEMPLO 2 Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas x cos t y sen t 0 t 2π SOLUÇÃO Se marcarmos os pontos parece que a curva é um círculo Podemos confirmar esta impressão pela eliminação de t Observe que x² y² cos²t sen²t 1 Então o ponto x y se move no círculo unitário x² y² 1 Observe que neste exemplo o parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo em radianos mostrado na Figura 4 Quando t aumenta de 0 até 2π o ponto x y cos t sen t se move uma vez em torno do círculo no sentido antihorário partindo do ponto 1 0 A Cicloide A curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele rola ao longo de uma reta é chamada cicloide veja a Figura 13 Se o círculo tiver raio r e rolar ao longo do eixo x e se uma posição de P for a origem encontre as equações paramétricas para a cicloide Portanto as equações paramétricas da cicloide são x rθ sen θ y r1 cos θ θ ℝ 102 Cálculo com Curvas Parametrizadas Tangentes Tendo visto como representar as curvas por equações paramétricas vamos agora aplicar os métodos de cálculo a essas curvas parametrizadas Em particular resolveremos problemas envolvendo tangentes área comprimento de arco e área de superfície Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis e queremos encontrar a reta tangente a um ponto da curva x ft e y gt onde y também é uma função diferenciável de x A Regra da Cad eia nos diz que se dxdt 0 podemos isolar dydx A Equação 1 nos permite encontrar a inclinação dydx da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro t Podemos ver de 1 que a curva tem uma tangente horizontal quando dydt 0 desde que dxdt 0 e tem uma tangente vertical quando dxdt 0 desde que dydt 0 Essa informação é útil para esboçar as curvas paramétrizadas Como sabemos do Capítulo 4 no Volume 1 é também útil considerar d²ydx² Isso pode ser encontrado mudando y por dydx na Equação 1 d²ydx² ddx dydx ddt dydxdxdt Se pensarmos em uma curva parametrizada sendo traçada pelo movimento de uma partícula então dydt e dxdt são as velocidades vertical e horizontal da partícula e a Fórmula 1 diz que a inclinação da tangente é a razão dessas velocidades EXEMPLO 1 Uma curva C é definida pelas equações paramétricas x t² e y t³ 3t a Mostre que C tem duas tangentes no ponto 3 0 e encontre suas equações b Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal ou vertical c Determine onde a curva sobe e desce e onde a concavidade é para cima ou para baixo d Esboce a curva SOLUÇÃO a Observe que y t³ 3t tt² 3 0 quando t 0 ou t 3 Portanto o ponto 3 0 em C surge de dois valores do parâmetro t 3 e t 3 Isso indica que C intercepta a si própria em 3 0 Uma vez que dydx dydt dxdt 3t² 32t 32t 1t a inclinação da tangente quando t 3 é dydx 623 3 assim as equações das tangentes em 3 0 são y 3x 3 e y 3x 3 b C tem uma tangente horizontal quando dydx 0 isto é quando dydt 0 e dxdt 0 Uma vez que dydt 3t² 3 isso ocorre quando t² 1 isto é t 1 Os pontos correspondentes em C são 1 2 e 1 2 C tem uma tangente vertical quando dxdt 2t 0 isto é t 0 Observe que dydt 0 ali O ponto correspondente em C é 0 0 c Para determinar a concavidade calculamos a segunda derivada d²ydx² ddt dydxdxdt 321 1t²2t 3t² 14t³ Então a concavidade da curva é para cima quando t 0 e para baixo quando t 0 d Usando as informações das partes b e c esboçamos C na Figura 1 EXEMPLO 2 a Encontre a tangente à cículoide x rθ sen θ y r1 cos θ no ponto onde θ π3 Veja o Exemplo 7 na Seção 101 b Em que pontos a tangente é horizontal Quando é vertical SOLUÇÃO a A inclinação da reta tangente é dydx dydθdxdθ r sen θr1 cos θ sen θ1 cos θ Quando θ π3 temos x rπ3 senπ3 rπ3 32 y r1 cosπ3 r1 12 r2 e dydx senπ31 cosπ3 321 12 3 Portanto a inclinação da tangente é 3 e sua equação é y r2 3 x rπ3 r32 ou 3 x y r π3 2 A tangente está esboçada na Figura 2 b A tangente é horizontal quando dydx 0 o que ocorre quando sen θ 0 e 1 cos θ 0 isto é θ 2n 1π n um inteiro O ponto correspondente na cicloide é 2n 1πr 2r Quando θ 2nπ tanto dxdθ quanto dydθ são 0 A partir do gráfico parece que existem tangentes verticais naqueles pontos Podemos verificar isso usando a Regra de LHôpital como a seguir lim θ2nπ dydx lim θ2nπ sen θ1 cos θ lim θ2nπ cos θsen θ Um cálculo similar mostra que dydx quando θ 2nπ assim realmente existem tangentes verticais quando θ 2nπ isto é quando x 2nπr EXEMPLO 3 Encontre a área sob um arco da cicloide x rθ sen θ y r1 cos θ Veja a Figura 3 SOLUÇÃO Um arco da cicloide é dado por 0 θ 2π Usando a Regra da Substituição com y r1 cos θ e dx r1 cos θdθ temos A 0 to 2π y dx 0 to 2π r1 cos θ r1 cos θ dθ r² 0 to 2π 1 cos θ² dθ r² 0 to 2π 1 2 cos θ cos² θ dθ r²32 θ 2 sen θ 14 sen 2θ₀²π r²32 2π 3πr² Já sabemos como encontrar o comprimento L de uma curva C dada na forma y Fx a x b A Fórmula 3 da Seção 81 diz que se F for contínua então Suponha que C também possa ser descrita pelas equações paramétricas x ft e y gt α t β em que dxdt ft 0 Isso significa que C é percorrida uma vez da esquerda para a direita quando t aumenta de α até β e fα a fβ b Colocando a Fórmula 1 na Fórmula 2 e usando a Regra da Substituição obtemos Se usamos a representação do círculo unitário dada no Exemplo 2 na Seção 101 x cos t e y sen t 0 t 2π então dxdt sen t e dydt cos t logo o Teorema 5 nos dá x t3 3t y t2 3 x t3 3t y t3 3t2 x cos θ y cos 3θ Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado A seguir trace a curva e a tangente x esen θ y ecos θ Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto mais baixo e do ponto mais à esquerda na curva x t4 2t3 2t2 y t t4 A seguir encontre as coordenadas exatas