Questões 6 de Cálculo 2

Instruções para o guru Aceite o pedido apenas se tiver certeza que sabe MUITO bem o assunto pois minha meta é acertar todos os exercícios A resposta deve ser detalhada Se for manuscrito tenha a certeza que esteja legível Leia COM ATENÇÃO antes de responder pois o orientador é muito rígido com a correção Assuntos das atividades Domínio das funções de duas ou mais variáveis Conjunto de imagens de funções de duas ou mais variáveis Esboço do conjunto de níveis Derivadas parciais de ordem superior Derivada direcional Pontos críticos e pontos máximo e mínimos Exercício 1 Consideremos as funções fxy x² y e gxyz z x² y² 1 Encontre os domínios das funções f e g 2 Encontre os conjuntos imagens das funções f e g 3 Escolha um valor k₁ e um valor k₂ que estejam no conjunto imagem das funções f e g respectivamente Feito isso esboce os conjuntos de níveis k₁ e k₂ para as respectivas funções usando alguma tecnologia disponível e tire uma foto ou print do esboço a qual deve ser enviada junto ao trabalho Exercício 2 Calcule as seguintes derivadas parciais de ordem superior a fₓₓ para fxy x²y ysen x b fᵧₓ para fxy y³ x²y 4y² y lny 1 c fₓᵧ𝓏 para fxyz exy x² y z lnx y xy d f𝓏ᵧₓ para fxyz xyz yz² sen x Exercício 3 Consideremos a função de duas variáveis fxy x² y² Encontre a equação geral GA do plano tangente ao gráfico da função f no ponto 11f11 do gráfico Dica identifique a função g de três variáveis cuja superfície de nível 0 seja exatamente o gráfico da função f Feito isso encontre o vetor gradiente dessa função g no ponto em questão Esse vetor será o vetor normal ao plano requerido e assim temse todas as informações para encontrar a equação geral do plano tangente Exercício 4 Calcule a derivada direcional da função f no ponto P₀ na direção do vetor u DᵤfP₀ a fxy xy y² P₀ 11 e u i j b fxyz xy yz zx P₀ 111 e u i j k Exercício 5 Encontre os pontos críticos e verifique se são pontos de máximo ou mínimo locais nas funções abaixo a fxy x² 3xy y² 3x 3y b fxy x² y² 2x y 6 Exercício 6 Encontre o máximo e mínimo da função fxy xy restrito a circunferência x² y² 1 ① a Temos que fxy x² y como a função está sendo analisada nos reais ℝ temos que x² y 0 x² y Logo o domínio de fxy será Dom f xy ℝ² y x² Para gxyz z x² y² vemos que por ser uma expressão polinomial gxyz é definido para todos os reais Logo Dom g xyz ℝ³ b Como discutimos no item a a função fxy é definida a partir de uma raiz quadrática Com isso fxy 0 e portanto Im f 0 E para gxyz como para qualquer valor xyz ℝ a função também assumirá valores reais então Im g ℝ c x² y 1 z x² y² 2 ② a fxy x²y y sin x fₓₓ ²fx² x x x²y y sin x x 2xy y cos x 2y y sin x b fxy y³ x²y 4y² y lny 1 fᵧₓ ²f ²xy x y y³ x²y 4y² y lny 1 x 3y² 2xy yy1 lny1 x² 2x c fxyz exy x²y z lnx y xy fₓᵧ𝓏 ³f x y z z y x exy x²y z lnxy xy z y y exy x² y² z 2xy exy x⁴ y² z² x x y lnx y x² y x y z exy x z 2 exy x² y x⁴ y² z 2 exy x³ y x⁶ y⁴ z² exy x² z² 2 exy x² y z² 2 exy x³ y² z² d fxyz xyz y z² sin x f𝓏ᵧₓ x y z xyz y z² sin x x y xy 2y z sin x x x 2z sin x 1 2z cos x Para acharmos o plano tangente a 11f11 iremos calcular primeiramente f11 e fx fy f11 12 12 2 então o ponto é 112 fx 2x e fy 2y A equação do plano tangente ao ponto x0y0fx0y0 é z fx0y0 fxx0y0x x0 fyx0y0y y0 como nosso ponto é 112 z 2 21 x 1 21 y 1 z 2 2x 2 2y 2 Portanto z 2x 2y 2 a Temos fxy xy y2 e a derivada direcional é dada por Dufx0y0 fxx0y0a fyx0y0b em que x0y0 são os pontos de P e u aî bj é o vetor normalizado No caso u î j e normalizando u uu 12 î 12 j Além disso fx y e fy x 2y Portanto Duf11 112 1 2112 2 b Temos fxyz xy yz zx a derivada direcional no ponto P 111 na direção u î j k é dada por Dufx0y0z0 fxx0y0z0a fyx0y0z0b fzx0y0z0c em que a b c são as componentes do vetor u normalizado Temos u î j k logo u uu 13 î 13 j 13 k Além disso fx y z fy x z e fz y x Logo Duf111 1 113 1 113 1 1 13 23 5 a Para acharmos os pontos críticos de fxy x2 3xy y2 3x 3y precisamos resolver o sistema fx 0 fy 0 2x 3y 3 0 2y 3x 3 0 x 3 e y3 Com isso o ponto crítico é 33 Agora para caracterizarmos esse ponto precisamos da Hessiana H fxx fyy fxy2 Então fxx 2 e fyy 2 Além disso fxy 3 Portanto H 22 32 4 9 5 Como H 0 logo o ponto é um ponto de sela b Para acharmos os pontos críticos de fxy x2 y2 2x y 6 precisamos resolver o sistema fx 0 fy 0 2x 2 0 2y 1 0 x 1 e y 12 Com isso o ponto crítico é 1 12 Agora para caracterizarmos esse ponto precisamos da Hessiana H fxx fyy fxy2 Logo fxx 2 fyy 2 e fxy 0 Portanto H 22 02 4 Com isso o ponto 1 12 é um ponto de sela 6 Usaremos os multiplicadores de Lagrange para achar máximos e mínimos Tomando fxy xy e gxy x2 y2 1 temos f λ g então yx λ2x2y Temos portanto as equações y 2λx 1 x 2λy 2 De 1 λ y2x e de 2 λ x2y Tomando ambas iguais temse y2x x2y x2 y2 y x ou y x Tomando a circunferência x2 y2 1 e tomando y x temos 2x2 1 x 12 e y 12 ou x 12 e y 12 Agora y x 2x2 1 x 12 e y 12 ou x 12 e y 12 Com isso iremos avaliar fxy nos pontos 12 12 12 12 12 12 e 12 12 f12 12 12 f12 12 12 f12 12 12 f12 12 12 Com isso o valor máximo é 12 e mínimo 12