Gabarito Calculo II - Avaliação com Soluções Detalhadas

Cálculo II Avaliação escrita 21 160223 Gabarito geral 1 25 Considere D como uma subfatia de arco b radianos do disco de raio 1 centrado na origem Qual deve ser o valor de b para que D x2 y2 dA a Solução Em coordenadas polares a região D passa a ser descrita como rθ 0 r 1 π2 θ π2 b de modo que ao fazermos uma substituição para coordenadas polares D x2 y2 dA 01 π2π2b r3 dθdr 01 r3 dr π2π2b dθ r44 01 θ π2π2b 14 b Assim se desejamos que D x2 y2 dA a basta que b4 a b 4a 2 25 Tome o sólido C descrito por C xyz x2 y2 1 0 z x2 y2 Após fazer uma substituição para coordenadas cilíndricas qual das integrais abaixo corresponde ao cálculo da integral tripla C y2 dV Solução após uma substituição para coordenadas cilíndricas o sólido C passa a ter descrição rθz 0 r 1 0 θ 2π 0 z r2 Portanto C y2 dV 01 02π 0r2 r2 sen2θ r dz dθ dr 01 02π 0r2 r3 sen2θ dz dθ dr 3 25 Dado um sólido tridimensional E sabemos que o valor da integral tripla E 1 dV corresponde ao volume de E Por exemplo no caso de uma esfera de raio b o resultado dessa integral será 43 πb3 Assim sendo qual das integrais triplas abaixo deve ser utilizada para calcular o volume de uma esfera de raio b Solução em coordenadas cartesianas a esfera B descrita no enunciado é B xyz x2 y2 z2 1 e seu volume será dado por B 1 dV Entretanto no espaço esférico a descrição de uma esfera de raio b centrada na origem é ρθφ 0 ρ b 0 θ 2π 0 φ π ou seja a integral tripla original pode ser calculada como E 1 dV 0b 02π 0π ρ2 senφ dφ dθ dρ 43 π b3 4 25 Se D é a região delimitada apenas pelos gráficos de y x y x2 e y 4 conforme ilustrado abaixo qual será o valor de D 2xy dA Solução as intersecções dessas curvas na região destacada ocorrem nos pontos 1 1 2 4 e 4 4 Assim com o auxílio da figura podemos descrever A como A xy 1 y 4 y x y Assim A 2xy dA 14 yy 2xy dxdy 14 y x2yy dy 14 y y2 y dy note que y 0 no intervalo 14 14 y y2 y dy 14 y3 y2 dy y44 y33 14 64 643 14 13 1283 112 51312 1714