Lista 3 - Econometria 1 2021-2

Lista III - Econometria I Monitor Johann Marques johannmarques@id.uff. br Professor Diogo Braga 1. Vamos determinar, primeiramente, os 3 parametros estimados para o Modelo II em termos 60U[ Xo, X: de a;. Definimos bo; = cou|Xs, Xs) de modo que €93 = X2 — b93X3. (Isso pode ser verificado Var|X3] no Exercicio 7.3 do Gujarati) B. CovlY _ Xo, Xo _ bo3.X°3| couly, Xo _ bo3.X°3| Cov[Xa, Xo _ bo3.X°3| a 1 2 cl 2 Var|X2 _ bo3.X°3] Var|X2 _ bo3.X3| Var|X2 _ bo3.X°3] 3 coul[Y — Xz, X3 — b32X2] — cov[Y, X3 — b32X2] — Cov[X2, X3 — b32X2] — Cov[Y, X3 — b32X9] a 3 = OOo. Oa EE Oe OT Oem”... OOOO —— SE OOS = 8B Var|X3 _ b32.X9| Var|X3 _ b32.X9| Var|X3 _ b32.X9| Var|X3 _ b32.X9| B, =(Y —X) — BoXy — B3Xs = Y — X_ — (@ —1)X2 — 3X3 = Y — Xp — G.X2 + XQ — B3X3 = Y —_ 2X —_ a3X3 = Qy Esse procedimento responde aos itens (a), (b) e (c). Sobre o item (d), recordemos que a interpretacao do R? da conta de quanto das mudancas na varidvel dependente sao explicadas pelas varidveis explicativas. Acontece que a varidvel dependente do Modelo I é Y, e no Modelo II 6 Y — Xo: o R? nos fornece duas informacoes essencialmente distintas. Outra forma de interpretar isso 6 observar que 0 SQT (componente do calculo do R?) é diferente nos dois modelos. 2. (a) - —1 —1 R k-1SQR pap Paty py SOR Fat 1 SOR) _ | _SQR RAT SOR n—k SQT n-k SQT SQT n—-—kSQT SQR k-1 SQRn-k+k-1 SQRn-1 —1 —, 208 Rat, _ SQRnakFka1_ | _ sQhnat_)_ maha _ py SQT n—k SQT n—k SQTn-—k n—k (b) n—-1 0>1—-——(1- R? TE! ) n—-1 ——(1-R’)>1 TE! ) (n—1)(1—R?)>n-k n—-nR?-1+R?>n-k —nR?—1+ R?>—k k> R(n-1)4+1 Lista III - Econometria I Johann Marques (c) Sek > 1, entaon—-1>n-—k, ea razao no > 1. Se resolvermos R?, = n—1 n—-1SQR n— iS ) n—kSQT - SQR —-1SQR SQR n-1 pe pea 2@R_ | Me tSOR SOR nat) SQT n-kSQT SQT n-k Como 2 > 1, R? — R? > 0, portanto R? > R?. (d) Sabemos que SQT = SQE + SQR. Seja SQE;, = S7(Bo + Bi Xy +o.+ Br Xe —Y) e SQE, = Yi(Bo + BiXu +... + ByXp — Y)*?. A definic&o de SQE nos diz que ele corresponde a parte do SQT explicada pelo modelo, e dela concluimos que um modelo mais parametrizado explica uma parte maior da totalidade, ou seja, SQE;, < SQE). Mas sendo a variavel dependente a mesma, SQT;, = SQT, = SQT. Seo SQE aumenta a medida que se acrescentam varidveis explicativas, eo SQT' se mantém, entao a parcela do SQR reduz a medida que os parametros do modelo aumentam, isto é, SOR, > SQR,p. 3. (a) (b) T T T T T T Soe = 0% Yi) = SOM — Xa — BX sr) = SY — fe SO Xn — Bs SO Xu t=1 t=1 t=1 t=1 t=1 t=1 = TY — (oT X2 — 63TX3 = T(Y — 82X2 — 33Xs) (c) Lembrando do processo de obtengao de estimadores de minimos quadrados, a partir de S = 4 e= (MY — BX, — B3X3,)?. Vamos aplicar a Condicgao de Primeira Ordem referente a 62, mas o processo é andlogo para (3 Os —=x =0 OB» T So 2% — ByXx% — 83X31)(—Xa) = 0 t=1 T S (Vi — B2X2r — B3X 1) Xoe = 0 t=1 T S- eeXa, = 0 t=1 Portanto, o préprio procedimento para obter o estimador MQO nesse Modelo garante as condigdes propostas no exercicio. (d) Modelos sem intercepto podem ser aplicados em casos nos quais as varidveis explica- tivas, por construcao tedrica, garantem que o modelo inevitavelmente ird passar pela média. Um exemplo, é diante da existencia de colinearidade perfeita entre as varidveis explicativas. (ce) Essas condigdes podem ser generalizadas para modelos com k varidveis, com procedi- mento andlogos para os itens (b) e (c). Lista III - Econometria I Johann Marques 4. Partimos de uma estatistica F para testar restricoes lineares: SQ Rrestrito ~~ SQ Rirrestrito k—m F = ——_*#a—m SQ Rirrestrito n—k Escrevendo SQR = SQT(1 — R’), SQT(1 7 Re strito) 7 SQT(1 7 Re nestrito) 1-— Re strito —1+ Re nestrito Re restrito 7 Re estrito poem mm SQT(1 7 Ri mestrito) 1- Ri mestrito 1— Ri nestrito n—k n—k n—k Considerando os modelos estimados, essa estatistica F corresponde a testar a hipdtese de que o coeficiente associado a X3 é zero. Isso nos permite enquadrar o caso numa relacao F = t?. Calculando, 0,9776 — 0, 9388 _ 1 _ _ 42 FH T-0.9770 = 29, 44643 = t 20 — 3 23,195 \/29, 44643 = ——— Bs 23,195 Og, = ———— = 4, 274429 783 ~ 5426456 5. (a) 1254.65 — 1149.00 4 P= —_ = 0.5 287097 SQR1149.00 30 — 7 Como F33 10% = 2.21, F' nao pertence a regiao critica, e portanto nao rejeitamos a hipdtese nula de que as varidveis omitidas conjuntamente nao possuem efeito significa- tivo. (b) A estatistica F na Tabela 1 corresponde a hipdtese de que a regresséo nao é significativa. Como FS3.1% = 3.71, a estatistica pertence a regiao critica, e com isso rejeitamos a hipdtese nula de que a regressao é nao significativa. n—-1 29 1 — ——(1— R?) = 1—-— —(1 —0, 708) = 0,6863704 () 1- "a= R)=1- 5 ) (d) Suponha dois modelos, um com k e outro com k — 1 varidveis explicativas, em que 7 é a varidvel omitida no modelo restrito. O teste F corresponde a Ho : 8; = 0. O teste t convencional, na forma t = fi corresponde a mesma hipdtese, e portanto os dois OB, testes devem promover um mesmo resultado. 2 SQR _ 1149.00 _ ; nol 2) _ 29 0.7326023) = 0.6628464. O teste de hipdteses a partir do R? pode ser feito verificando a Questao 4. Lista III - Econometria I Johann Marques 6. Usando o primeiro modelo, temos t2 = −4, 72802 = R2 k − 1 1 − R2 n − k = F 22, 35398 = 0, 6149 1 1 − 0, 6149 n − 2 n − 2 = 22, 353981 − 0, 6149 0, 6149 n = 22, 353981 − 0, 6149 0, 6149 + 2 ≈ 16 7. (a) O Modelo 1 aponta uma estimativa positiva para a vari´avel dicotˆomica relacionada ao Gˆenero. No entando, esse coeficiente n˜ao ´e significativo, vide p-valor associado. Portanto, n˜ao existem evidˆencias estat´ısticas de que homens recebem significativamente mais que mulheres. (b) Observando o Modelo 2 e o p-valor associado ao Gˆenero (dividido por 2, para considerar uma hip´otese unilateral), rejeitamos a hip´otese nula de que o Gˆenero ´e n˜ao-significativo contra uma alternativa de que homens s˜ao mais qualificados que mulheres. (c) O analista, ao estimar um modelo que considera distin¸c˜ao entre gˆeneros, tem a intui¸c˜ao de imaginar que desigualdades (infelizmente) observadas cotidianamente estar˜ao mani- festadas nos dados. Por isso, o elevado p-valor associado `a dummy para Gˆenero causa relativa estranheza. Ademais, o Modelo 2 aponta uma influˆencia do Gˆenero sobre a Qualifica¸c˜ao, que deveria se manifestar no Sal´ario (Modelo 1). (d) A interpreta¸c˜ao apropriada do Modelo 1 permitiria concluir que a postura da empresa n˜ao ´e discriminat´oria quanto a Gˆenero, ou seja, que a influˆencia do Gˆenero n˜ao ´e rele- vante para a representa¸c˜ao do Sal´ario.