Lista 1 - Econometria 1 2021-2

Lista I - Econometria I Monitor Johann Marques johannmarquesQid.uff. br Professor Diogo Braga 1. Temos que a probabilidade de obter uma certa tira de papel de uma urna é 1/5. (a) A distribuigaéo conjunta de X; e Xo é: X> 1 3 5 7 1 1/25 1/25 2/25 1/25 3 | 1/25 1/25 2/25 1/25 5 | 2/25 2/25 4/25 2/25 7 |1/25 1/25 2/25 1/25 Tabela 1: Distribuigao conjunta de X; e X92 (b) Aproveitando a estrutura anterior, temos as distribuigdes marginais definidas como Ix, (x1) = it P(X, = 1%1,X2= X24) Xy~Xi|] 1 3 5 7 | fxz(x2) 1 1/25 1/25 2/25 1/25 5/25 3 1/25 1/25 2/25 1/25 5/25 5 2/25 2/25 4/25 2/25} 10/25 7 1/25 1/25 2/25 1/25 5/25 fx, (a1) | 5/25 5/25 10/25 5/25 1 Tabela 2: Distribuigao marginal de X, e Xo Podemos dizer que X, e X_ séo independentes se para qualquer par (#1, 72) P(X, = 1, X2 = X2) = fx, (x1) fx,(x2). No caso presente 1 Se P(X, #5, X29 #5) = 55” 5 5 1 1 1 fx, (41) fxa(@2) = 55 X ge = 5 XE = Oe: 2 Se P(X, =5, X_y 45) = 35° 10 5 2 1 2 fx, (41) fxo(@2) = 55 X ge = 5 XE = Oe: 4 Se P(X, =5, X2 = 5) = 35° 10 10 2 2 4 Fx, (41) fxa(@2) = 55 X Se = 5 XE = Oe: Portanto, X; e X_ sao independentes. Lista I - Econometria I Johann Marques (c) ~ 1 1 2 1 BUX] = Dr P(% = tr) = 1 x 513% 5 + 2% 5 t?* 5 1 _ +34+10+7 _ 21 yo 5 5 ~ 1 1 2 1 B[Xa] = (rai P(Xe = ras) =1 x 513% 5 + o% 5 t’* 5 14+34+104+7 21 — ter LS 49 FIX 5 5 Lembrando que Var[X] = E[X?] — E?[X}: E[X7| = 30 22,P(% = 2,) =P x 543 x = +52 x 2 LP xe eee " 5 5 5 5 14+9+50+49 109 = — =— = = 21,8 = E[X3] E?|X\| = 4,2? = 17,64 = E”[X9] Var(X,) = E[X?¢] — E?[X]] = 21,8 — 17,64 = 4,16 = Var(X2) Sobre X, usamos a linearidade da esperanca: = X, +X: 1 E|X E|X E|X EX QE|X E[X] = [ote 2) = = BX, +X] = [X41] + [Xo] _ [Xq] + [Xa] [Xi] 2 2 2 2 2 = E|X,| = E[X2] = 4,2 Lembrando que Var|X + Y] = Var[X] + Var[Y] + 2cou(X,Y), Var[aX] = a*Var[X]. Para X e Y independentes, cov(X,Y) = 0. = X, +X 1 1 Var(X) = Var( 52) = 2Var(X1 + X2) = [(Var(X1) + Var(X2) + 2eov(X, X2)) 2 xX _ Var(X1) _ Var(X1) ~ 2.08 4 2 2. (a) Obtendo valores possiveis para X: X> 13 5 5 7 1 12 3 3 4 3 23 4 4 5 5 3 4 5 5 6 7 4 5 6 6 7 Tabela 3: Valores possiveis de X a partir de X; e X» Contamos as ocorréncias possiveis para cada valor de X, e construfmos a tabela com a distribuigaéo amostral: xX 1 2 3 4 5 6 7 | Total P(X) | 1/25 2/25 5/25 6/25 6/25 4/25 1/25] 1 Tabela 4: Distribuicéo amostral de X Lista I - Econometria I Johann Marques (b) Obtendo valores poss´ıveis para S2 a partir da distribui¸c˜ao de ¯X: X2 X1 1 3 5 5 7 1 0 2 8 8 18 3 2 0 2 2 8 5 8 2 0 0 2 5 8 2 0 0 2 7 18 8 2 2 0 Tabela 5: Valores poss´ıveis de S2 a partir de X1 e X2 Contamos as ocorrˆencias poss´ıveis para cada valor de S2, e constru´ımos a tabela com a distribui¸c˜ao amostral: S2 0 2 8 18 Total P(S2) 7/25 10/25 6/25 2/25 1 Tabela 6: Distribui¸c˜ao amostral de S2 (c) Observe que podemos estabelecer uma rela¸c˜ao para ˆσ2 e S2, isto ´e, ˆσ2 = n − 1 n S2. A partir dessa rela¸c˜ao, encontramos os valores poss´ıveis de ˆσ2 apenas multiplicando os valores do item anterior por 1/2: ˆσ2 0 1 4 9 Total P(ˆσ2) 7/25 10/25 6/25 2/25 1 Tabela 7: Distribui¸c˜ao amostral de ˆσ2 3. (a) A partir da distribui¸c˜ao no enunciado, temos: X2 X1 0 1 2 3 4 fX2(x2) 0 1 2 3 2,5 1,5 10 1 2 4 6 5 3 20 2 3 6 9 7,5 4,5 30 3 2,5 5 7,5 6,25 3,75 25 4 1,5 3 4,5 3,75 2,25 15 fX1(x1) 10 20 30 25 15 100 Tabela 8: Distribui¸c˜ao marginal de X1 e X2 em % (b) 30 100 × 25 100 × 25 100 × 20 100 = 375 × 103 108 = 375 105 = 0, 00375 = 0, 375% 4. (a) E[X] = 0 × 10 100 + 1 × 20 100 + 2 × 30 100 + 3 × 25 100 + 4 × 15 100 = 0 + 20 + 60 + 75 + 60 100 = 2, 15 E[X2] = 0 × 10 100 + 1 × 20 100 + 4 × 30 100 + 9 × 25 100 + 16 × 15 100 = 0 + 20 + 120 + 225 + 240 100 = 6, 05 V ar(X) = E[X2] − E2[X] = 6, 05 − 2, 152 = 6, 05 − 4, 6225 = 1, 4275 Lista I - Econometria I Johann Marques (b) E[Xi] = 0 × 10 100 + 1 × 20 100 + 2 × 30 100 + 3 × 25 100 + 4 × 15 100 = 0 + 20 + 60 + 75 + 60 100 = 2, 15 E[X2 i ] = 0 × 10 100 + 1 × 20 100 + 4 × 30 100 + 9 × 25 100 + 16 × 15 100 = 0 + 20 + 120 + 225 + 240 100 = 6, 05 V ar(Xi) = E[X2 i ] − E2[Xi] = 6, 05 − 2, 152 = 6, 05 − 4, 6225 = 1, 4275 (c) Obtendo valores poss´ıveis para ¯X: X2 X1 0 1 2 3 4 0 0 1/2 1 3/2 2 1 1/2 1 3/2 2 5/2 2 1 3/2 2 5/2 3 3 3/2 2 5/2 3 7/2 4 2 5/2 3 7/2 4 Tabela 9: Valores poss´ıveis de ¯X a partir de X1 e X2 Contamos as ocorrˆencias poss´ıveis para cada valor de ¯X e suas probabilidades, e cons- tru´ımos a tabela com a distribui¸c˜ao amostral: ¯X 0 1/2 1 3/2 2 5/2 3 7/2 4 Total P( ¯X) 0,01 0,04 0,1 0,17 0,22 0,21 0,1525 0,075 0,0225 1 Tabela 10: Distribui¸c˜ao amostral de ¯X (d) E[ ¯X] = E[X1 + X2 2 ] = 1 2E[X1] + 1 2E[X2] = 1 2E[X1] + 1 2E[X1] = E[X1] = 2, 15 V ar( ¯X) = V ar(X1 + X2 2 ) = 1 4V ar(X1 + X2) = 1 4(V ar(X1) + V ar(X2) + 2cov(X1, X2)) = 1 42V ar(X1) = V ar(X1) 2 = 1, 4275 2 = 0, 71375 (e) Contamos as ocorrˆencias poss´ıveis para cada par de (x1, x2) e suas probabilidades, e constru´ımos a tabela com a distribui¸c˜ao amostral: X2 X1 0 1 2 3 4 0 0 1/2 2 9/2 8 1 1/2 0 1/2 2 9/2 2 2 1/2 0 1/2 2 3 9/2 2 1/2 0 1/2 4 8 9/2 2 1/2 0 Tabela 11: Valores poss´ıveis de S2 a partir de X1 e X2 Lista I - Econometria I Johann Marques S? 0 1/2 2 9/2 8 | Total P(S?) | 0,225 0,385 0,25 0,11 0,03 1 Tabela 12: Distribuicao amostral de S? a2 _ Na-ley Relembrando que o~ = ——S*: n a 0 1/4 1 9/4 4 | Total P(e") | 0,225 0,385 0,25 0,11 0,03 1 Tabela 13: Distribuicdéo amostral de o? 90 — 100 110 — 100 5. (a) Para Z = —7 = —1, P(Z > -1) = 0,84134. Para Z = —7 = 1, P(Z < 1) =0, 84134. Entao, P(—-1 < Z < 1) = 1—[(1 — 0, 84134) + (1 — 0, 84134)] = 0, 68268 — 100 110 — 100 (b) Para Z = “— = —4, P(Z > —4) = 0,99997. Para Z = —9 = 4, P(Z< V16 V16 4) = 0,99997. Entao, P(—1 < Z < 1) =1-—|(1 — 0, 99997) + (1 — 0, 99997)] = 0, 99994 (c) Na tabela, o Z associado a probabilidade de 5% nas duas caudas é 1,96: 110 — 100 — 1,96 Jn 10 “10. = 1,96 Jn 10. vn — x —— = 1,96 1* 17” n = 1,96? = 3,8416 6. (a) Se X ~ N(70, 100), nX ~ N(n70,n100) 500 — 490 Z = ———_ = 0,378 P(Z > 0,378) = 1 — 0, 64728 = 0, 35272 v 700 (b) 500 — 420 Z = ——_ = 3, 265, P(Z > 3,265) = 1 — 0,9995 = 0, 0005 Vv 600 Xx _ _ ee 1 -yy—Fp 7. A fungdo densidade de uma distribuigaéo normal é f(a) = =e a. Obtendo a ov 27 fungao de verossimilhanga: L(n) = II Le wetme—m? bey 1/20)? 4 V 20 (/27)” Lista I - Econometria I Johann Marques Obtendo a funcao de log-verossimilhan¢a (lembrando que log(ab) = log(a) +log(b), log(a®) = blog(a), log(e) = 1 e log(1) = 0): 1 n 2 1 n 2 I() _ log’ ———e»™=1 —1/2(ai—p) ) _ log/——— + log erini —1/2(vi-H) (ny (ame) ion n 1 n = log(1) — log((v2m)") + log(e) > —1/2(a; — 1)? = —nlog(V2m) — 5 So (ai — 0)? i=1 i=1 Derivando e igualando a fungao de log-verossimilhanga a zero, para obter o EML jz: dl — a) S- (ai — w)(—1)(2) = 0 i=1 Sr(m A) =0 i=1 Sn Soro i=1 i=1 S- xj, — nt = 0 i=1 ~ 1x b= n d Tv; 8. Obtendo a fungao de verossimilhanga: L(A) = [[Qaatte*" = (Aa)"eX Ae [[" i=1 i=1 Obtendo a funcgao de log-verossimilhanga: I(A) = log((Aa)reX >" [[2") = log((Aa)”) + log(] | a!) + log(e*"") i=1 i=1 = nlog(Aa) + S- log(x?~') + log(e) S- —Ax;° = nlog(A) + nlog(a) + (a — 1) S- log(a;) — A S- xe i=1 i=1 i=1 i=1 Derivando e igualando a funcao de log-verossimilhanga a zero, para obter o EML d dl 1 — = n-— o=9 av" D da 1 n Ni = xe Ve ie do i=1 Lista I - Econometria I Johann Marques 9. (a) Obtendo a fungao de verossimilhanga: L(6) =] [ori =o [I a? i=1 i=1 Obtendo a fungao de log-verossimilhanga: 1(0) = log(@” [[2h) = log(0") + log(] x?!) = nlog(0) + S- log(x?~") i=1 i=1 i=1 = nlog() + (6 — 1) S| log(xi) i=1 Derivando e igualando a funcao de log-verossimilhancga a zero, para obter o EML 0 aoene a 4+ S| log(2i) = 0 Qi z= S- log(x;) g i=1 j--—_ 2 S- log(x;) i=1 (b) _ 1 1 tl 1 0 E|X| =X = | rOxr° dr = | adr = 9 | = —— 0 0 0 + Llo 0 + 1 d+1 0X +X =0 0X —§64+X =0 6(X —1)=—X 7X ~ X-1 1-X Ly et . ~ ; 1 1 10. A distribuigdo uniforme tem funcao densidade f(x) = boa 8 (a) = g 1 /° 12?)o @ 96 pixj=X= [ pena de = 55 |= 39 73 E[x)-x=2 2 6 =2X (b) E[O] = E[2X] = 2E[X] = 2X (c) E[(@—6)] = E[(@—0)(6—6)] = E[@? — 200462] = E[4AX2-4X0+6?] = 4X2-4X04 0? 11. (a) S(6) = (3-6)? + (5 — 6)? + (6 — 6)? + (8 — 6)? + (16 — 6)? = 114 S(7) = (3-7)? + (5— 7)? + (6 — 7)? + (8 — 7)? + (16 — 7)? = 103 $(8) = (3-8)? + (5 — 8)? + (6-8)? + (8 — 8)? + (16 — 8)? = 102 S(9) = (3-9)? + (5 — 9)? + (6 — 9)? + (8 —9)? + (16 — 9)? = 111 S(10) = (3 — 10)? + (5 — 10)? + (5 — 10)? + (8 — 10)? + (16 — 10)? = 139 (b) Tirando a derivada de S em relagao a ys e igualando a zero: Os “ = =25 (wm -p)(-1) =0 Ou t=1 Sou _ iy =0 t=1 Sou — Soil =0 t=1 t=1 Sou —np =0 t=1 np = Sou t=1 ~ ly b= S- Ut nt 1 Aplicando valores, ji = eee = 7,6 12. (a) A partir do modelo y% = a+ 6t+ &, temos e? = (y,— a — Bt)? e S(a, 8B) = Yo, Gg = Lista I - Econometria I Johann Marques Sor (Yu — a — Bt)’. Derivando S em realgao a a e 3 e igualando a zero: OS “ —=2 —a— 6t)(-1) =0 Su -Sa-Sie=0 t=1 t=1 t=1 d= dom dst t=1 t=1 t=1 n= Sono t=1 t=1 a=- —— n a t=1 t=1 a=y- Bt OS “ —= 2S ou —a— Bt)(-t) =0 0p t=1 Sut —at— BA) =0 t=1 Yo a SrA =o t=1 t=1 t=1 n> — yt —nay~t—nb So? =0 t=1 t=1 t=1 Manipulando a derivada em relagao a a@ para endogeneizar: n= Sono t=1 t=1 ne or= wey t=1 t=1t=1 t=1— t=1 Lista I - Econometria I Johann Marques Substituindo: n> — wt —nay~t—nB Soe =0 t=1 t=1 t=1 Wt Lue aoe ue =e t=1 t=1 t=1 t=1—s t= t=1 Wout Lu INN Ie t=1 t=1 t= t=1 t= t=1 Wt Duden eI t=1 t=1 t=1 t=1 t=1 t= Bin DUP = (DO) =n Dut De dt t=1 t=1 t=1 t=1 t= Ba Meer vl = Vr Me Drea t nt i? — (era t)? Aplicando valores, @ = —350026,732 e B = 177,803. O modelo estimado é y% = —350026, 732 + 177, 803¢. (b) Yiog1 = —350026, 732 + 177, 803 x 1981 = 2201, 011