Modelo Linear com K-variáveis Usando os Estimadores Emqo

Questões 1 Mostre como são derivados os EMQO 2 Apresente sua expressão 3 Interprete o significado da condição de derivação dos EMQO 4 Enuncie as hipóteses clássicas do modelo de MQO e explique o que significam 5 Escreva os estimadores de MQO EMQO 6 Apresente as hipóteses 7 Enuncie o teorema de GaussMarkov e explique o seu significado 8 O são resíduos com estrutura ou informação Questões 1 e 2 As questões serão realizadas em conjunto Após derivar os Estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários EMQO retornaremos a sua expressão Ela será destacada a partir de um contorno na cor vermelha Derivação dos Estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários EMQO Estimar os parâmetros do modelo de regressão linear simples Definição do modelo Onde Yi é a variável dependente β0 é o intercepto β1 é o coeficiente angular e xi é a variável independente Queremos encontrar os estimadores que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos que é a diferença entre os valores observados e os valores preditos Como todo problema de minimização derivamos a equação e igualamos a zero Simplificando Em cada uma dessas expressões substituir a equação anterior Ficará da seguinte maneira Isolando temse Substituindo na equação para Questão 3 Quando derivamos os estimadores definimos a função soma dos erros quadráticos da seguinte forma Ao derivar a função e igualar à zero geramos um sistema de equações que serão resolvidas para encontrar os parâmetros dos estimadores Ao satisfazer a condição de derivação encontramos os estimadores que melhor ajustam a linha de regressão aos dados observados A condição de derivação possui as seguintes implicações 1 A soma dos resíduos erros deve ser zero 2 a soma dos produtos dos resíduos e das variáveis independentes xi deve ser zero Dessa forma resultam em um ajuste ideal da linha de regressão aos dados Questão 4 Hipótese 1 O modelo de regressão é linear nos parâmetros A relação entre a variável dependente y e as variáveis independentes x deve ser uma combinação linear dos parâmetros O modelo assume que y pode ser expresso a partir de uma soma pondera das variáveis independentes x mais um termo de erro Hipótese 2 Os erros são independentes entre si O erro associado a uma observação não deve estar correlacionado com o erro de outra observação Isso significa que o valor do erro em um ponto não influencia ou é influenciado pelo valor do erro em outro ponto Hipótese 3 Homoscedasticidade Os erros possuem variância constante Isto é a variância dos erros deve ser a mesma para todas as observações de x Na reta de regressão a dispersão dos erros em relação aos valores observados deve ser constante Hipótese 4 Normalidade dos Erros Os erros seguem uma função de distribuição normal Hipótese 5 Exogeneidade As variáveis independentes x são exógenas ou seja não estão correlacionadas com o erro ϵi Dessa forma toda variação em y precisa ser explicada por variações em x e não pode estar relacionada com o termo de erro Hipótese 6 Não Multicolinearidade Perfeita As variáveis independentes não são perfeitamente colineares Não deve haver uma relação linear exata entre as variáveis independentes Caso houver não será possível estimar os coeficientes de forma independente Questão 5 Questão 6 Os estimadores de MQO possuem duas hipóteses centrais 1 Não Tendenciosidade Os estimadores de MQO são não tendenciosos o que significa que em média eles coincidem com o valor verdadeiro dos parâmetros 2 Eficiência Os estimadores de MQO têm a menor variância entre todos os estimadores lineares e não tendenciosos Isso é garantido pelo Teorema de GaussMarkov Questão 7 Na versão clássica do teorema de GaussMarkov Em um modelo de regressão linear y X β onde é o vetor de erros Se as seguintes condições são satisfeitas 1 Os erros têm média zero EX 0 2 Os erros têm variância constante Vari X σ² para todos os i 3 Os erros são não correlacionados Covij X 0 para i j Os estimadores serão não tendenciosos e eficientes Isso significa que os estimados serão em média iguais aos valores verdadeiros dos parâmetros não tendencioso ou seja o valor real que queremos estimar Além disso são os mais precisos possíveis com a menor dispersão em relação ao valor verdadeiro dos parâmetros eficiente Resumidamente garante que se as condições mencionadas forem atendidas são os melhores estimadores possíveis Questão 8 Resíduos com estrutura ou informação são padrões nos erros do modelo que indicam que o modelo não está capturando bem os dados Isso geralmente ocorre quando uma das condições básicas não é atendida mostrando que o modelo precisa ser ajustado Invés dos erros serem aleatórios eles seguem padrões sugerindo algumns dos itens a seguir autocorrelação heretocedasticidade e outros tipos de padrões como tendências sazonalidade etc