Sequencias e Series

Sequências e Séries\n\nSadao Massago\n\nSetembro de 2014 Sumário\n\n1 Aritmética Infinitesimal 1\n\n2 Sequências Numéricas 2\n2.1 Algumas propriedades operacionais 2\n2.2 Teste da subseqüência 3\n2.3 Sequências definidas pela função contínua 4\n2.4 Teorema de Sanduche 4\n2.5 Usando a ordem da função 5\n2.6 Sequências monótona 6\n2.7 Limite da sequência definida pela recorrência 6\n2.8 Alguns limites importantes 7\n\n3 Séries Numéricas 8\n3.1 Algumas propriedades operacionais 9\n3.2 Limite do termo geral 9\n3.3 Séries geométricas 10\n3.4 Séries alternadas 11\n3.5 Série de termos positivos 12\n3.6 Séries absolutamente convergentes 15\n3.7 Teste da raiz e da razão 16\n\n4 Séries de Potências 18\n4.1 Raio de convergência 18\n4.2 O Intervalo de convergência 19\n4.3 Derivadas e integrais 20\n\n5 Séries de Taylor e de Maclaurin 22\nA Séries de Fourier 26\nB Prova do Teorema 2.24 30\nC Considerações sobre sequências pela recorrência 31\nD Exemplo de rearranjos dos termos da séries condicionalmente convergentes 32 Capítulo 1\nAritmética Infinitesimal\n\nDefinição 1.1. O infinito é a representação da “quantidade” maior que qualquer número e é denotado por\n\nDefinição 1.2. O valor infinitesimalmente maior que é denotado por . Temos que para o cálculo infinitesimal, mas o valor numérico de é igual a . Analogamente, o valor infinitesimalmente menor que é denotado por . Entre estes valores infinitesimalmente próximos, e são frequentemente usados, juntamente com o jogo de sinal. Por exemplo, --- .\n\nA regra de operação envolvendo os valores infinitesimais (infinitamente pequeno ou infinitamente grande), requer formalismo de limites. A seguir, algumas regras em demonstração.\n\nSe então ,\nSe então\nIndeterminados:\nObservação 1.3. No caso de não ter originado dos limites, convenciona-se que -\n\nExercício 1.4. Justifique cada um dos indeterminados, através de contra exemplos (apresentar limites adequados).\n\nExercício 1.5. Para , tem-se .\n\nExercício 1.6. Para tem-se .\n\nExercício 1.7. Para tem-se .\n\nExercício 1.8. Para, tem-se e . CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS\n\nCaso for contínua,\nAs demonstrações são similares ao caso das funções reais e não serão repetidos aqui.\nObservação 2.4. No caso da sequência que diverge para , a operação pode ser efetuado se a aritmética infinitesimal for possível. A demonstração destas propriedades no caso de limite da sequência ser infinito fornece as regras de cálculo infinitesimal apresentado na seção anterior.\nPara resolver problemas envolvendo potências, a fórmula para , é uma das identidades mais importantes.\nObservação 2.5. Para obter o limite, basta analisar para grandes.\n\n2.2 Teste da subsequência\nPara mostrar que o limite não existe, o teste de subsequências são um dos mais utilizados. Subsequência é uma sequência formada pelas partes da sequência dada, isto é onde é injetiva ( então ).\nTeorema 2.6. Seja uma sequência convergente. Então qualquer subsequência de converge e tem o mesmo limite.\nA forma mais usada do Teorema acima é\nCorolário 2.7 (teste da subsequência). Qualquer sequência que possui duas subsequências com limites diferentes será divergente.\nEste corolário é um dos mais importantes para provar a divergência das sequências.\nExemplo 2.8. diverge, pois a subsequência converge para , e a subsequência converge para que são valores diferentes.\nPara mostrar que a sequência converge através de subsequências, todas as subsequências consideradas devem ter o mesmo limite e além disso, a união destas subsequências, respeitando as posições dentro de deve ser exatamente a sequência , respeitando as suas respectivas posições.\nExemplo 2.9. converge para . Para provar, considere as subsequências — na qual\n— Como e são subsequências que possuem o mesmo limite e a \"união\" de e é exatamente a sequência , a sequência converge para .\nNote que o problema acima é muito mais fácil de ser resolvido pelo Teorema de Sanduíche (Teorema 2.14 da página 4) que veremos mais adiante.\nExemplo 2.10. e consideremos na qual possuem o mesmo limite, podemos dizer que, se convergir, o limite será . No entanto, a \"união\" deles não é exatamente a sequência e não podemos afirmar se a sequência converge ou não.\nDe fato, já tinhamos visto que ele diverge (Exercício 2.8 da página 3). CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS\n\n2.3 Sequências definidas pela função contínua\nTeorema 2.12. Se onde é uma função contínua (para grande) tal que existe, então .\nExemplo 2.13. — — — linguagem para considerar como número real na qual na sequência era números inteiros.\nLembrar que, não ter o limite da função, não significa que a sequência diverge, como no caso de\nNeste caso, e consequentemente, mas\n\n2.4 Teorema de Sanduíche\nTeorema 2.14 (Teorema de Sanduíche). Se e então\nDemonstrando. Agora a demonstração será análoga ao caso das funções, repetimos a demonstração devido a sua importância. Sendo , temos que, existe tal que, para todo tem-se Analogamente, existe tal que, para todo tem-se . Considere . Então, para , temos que . Logo, Assim, \n\nExemplo 2.15. — então temos que implicando que — e consequentemente, —. Assim, —. —. Logo,\nUma das consequências importantes do Teorema de Sanduíche é\nCorolário 2.16. se, e somente se, , cuja demonstração é deixado como exercício.\nExemplo 2.17. então — —. Logo, .\nOutro exemplo do uso do Teorema de Sanduíche.\nExemplo 2.18. Vamos mostrar que . Observe que —. Logo, —, o que implica que —. CAPÍTULO 2. SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS\n\n2.5 Usando a ordem da função\n\nDefinimos a ordem de convergência da função como segue. Dizemos que tem ordem maior que denominamos por quando - \n\nO estudo da ordem da função não costuma ser tratado no nível de Cálculo, mas ajuda muito quando precisamos determinar o limite. Dizemos que em quando - . Se usar a lista da ordem de convergência das funções elementares no infinito, o cálculo de limites das sequências facilitará mais simples.\n\nClaro que qualquer função que vai para o infinito, tem a ordem maior que a função constante.\n\nTeorema 2.19. Para o limite no infinito, temos\n\nSe então - . Qualquer função que tende a infinito tem ordem maior que a função constante.\n\nPara números racionais, temos - Potenciação maior tem ordem maior.\n\nPara - , temos que e Logaritmo tem (com base maior que 1) ordem menor que qualquer potência (positiva) e exponenciação (com base maior que 1) tem ordem maior que qualquer potência (positiva). Em particular, tem ordem potência (positiva) e tem ordem maior que potenciação (positiva).\n\nPara - , temos que\n\n - para inteiro é denominado de função gamma. No caso de inteiros, é equivalente a e .\n\nprova parcial. As demonstrações podem ser feito diretamente com o uso da regra de L'Hopital, exceto para o caso da ordem de função gamma. Assim, será deixado como exercício.\n\nNo caso de envolver a função gamma, vamos provar somente no caso da variável ser inteira. A propriedade é a Proposição 3.48 (página 17). O caso de (página 4). Caso de ser real, precisaria usar o fato das funções serem contínuas crescentes, o que omitiremos aqui.\n\nAssim, se denotarmos para o caso de em , a ordem das funções poderá ser resumido como para e (claro que pode ser que é maior que ). Aliado ao fato de e para números reais, podemos simplificar a obtenção do limite das sequências através do seguinte resultado.\n\nProposição 20. Se em , então\n\nDemonstração. Como em , temos que por definição.\n\nExemplo 2.21. Obter o limite de - caso exista. Como e temos Observação 2.27. No Cálculo, não vamos preocupar muito em como mostrar que uma sequência recursiva (definida pela recorrência) é convergente, mas é importante para o Cálculo Numérico.\n\n2.8 Alguns limites importantes\n\n - Prova: - - Mas - - - - .\n\nAssim, \n\n - - - - - - .\n\nComo -\n\n(prova é análoga a anterior e deixado como exercício)\n\n - Caso de é provado de forma similar ao caso anterior, mas\n\nobservando o sinal de . Caso de e são triviais e o caso de já foi mostrado, usando a subsequência. O caso de segue do caso de (tente provar).\n\n - Prova: Observe que - - - .\n\nLogo, - - - . Assim, - . Consequentemente, 2.6 Sequences monotonic\n\nUma sequência é dito monótona crescente quando para todo . Da forma análoga, uma sequência é dito monótona decrescente se para todo .\n\nDefinição 2.22. As sequências crescente ou decrescente são denominados de sequências monotônicas.\n\nCaso especial das sequências monotônicas são as sequências estritamente monótonas definidos como segue.\n\nDefinição 2.23. No caso de ter para todo , dizemos que a sequência é estritamente crescente e caso de ter para todo , dizemos que a sequência é estritamente decrescente.\n\nUma sequência é estritamente monótona se for estritamente crescente ou estritamente decrescente.\n\nNote que, em vez de dizer crescente, também podemos dizer não decrescente. O mesmo vale para decrescente que podem ser referenciado como não crescente. No entanto, é recomendado não abusar o termo “estritamente” quando não ser igual é essencial.\n\nUma sequência é dita limitada se existe tal que\n\nUm dos teoremas mais importantes da sequência monótona é\n\nTeorema 2.24. Toda sequência monótona limitada é convergente.\n\nPara quem interessar, a demonstração está no apêndice (Subseção B, página B).\n\nExemplo 2.25. - . A sequência é limitada, pois - . Ele é crescente, pois que vale sempre. Logo,\n\na sequência converge. Note que, é fácil ver que pela regra de L'Hopital, o que implica que é convergente. O critério de convergência da sequência monótona é importante para estudos teóricos tais como obter critérios de convergência das séries. Capítulo 3\nSéries Numéricas\n\nA soma dos termos de uma sequência é denominado de séries de termo geral e é denotado por . Neste caso, é denominado de termo geral da séries. Quando não importa onde inicia a soma, às vezes abreviamos como como no caso de somente analisar a convergências (se a soma é número ou não).\nDefinir a soma de infinitos termos não é simplesmente somar. Por exemplo, na séries \n , temos que \nquanto que \n\ntes. Assim, não podemos tratar somas de infinitos termos como no caso da some de finitos termos. Para que não perca algumas das propriedades essenciais da soma como no caso acima, estabelecemos que os termos precisam ser somados em sequências. Para ser mais formal, considere uma série . Definimos a soma parcial que é uma sequência recursiva dado por e para . Escrevemos quando tiver . Note que, para esta definição, a soma precisam ser feitas em ordem, somando um termo a cada etapa.\n\nDefinição 3.1. Quando converge, dizemos que a série é convergente. Quando diverge, dizemos que a série é divergente.\n\nComo a soma parcial é uma soma finita, permite efetuar associação dos termos. Logo, a séries convergente permite efetuar associação dos termos da soma. Assim, a séries é divergente por não permitir associação. No entanto, as trocas das posições dos termos nem sempre pode ser efetuada (Ver o Exemplo D.1 da página 32).\nObservação 3.2. Existe o estudo da convergência da séries usando a sequência de média das somas parciais na qual −. A convergência pelas médias das somas parciais requer estudos mais sofisticados, o que não será apresentado neste texto.\n 8