Lista de Analise

LISTA 4 ANÁLISE MATEMÁTICA II 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada de cada função num ponto de acumulação a do domínio a f 0 R fx x b f R R f x x³ x 0 x² x 0 2 Seja f I R derivável no ponto a I Mostre que a função r J R definida no intervalo J h R a h I pela igualdade fa h fa fa h rh satisfaz limh0 rhh0 3 Calcule os seguintes limites a limx exx³ b limx1 x² 1x 1 c limx 3x² 2x5x² 7x 1 d limx x lnxx lnx 4 Sejam fg R R tais que fgx x para todo x R Suponha que g seja derivável e com derivada não nula em todos os pontos Prove que f é derivável e que fgx 1gx 5 Seja f ab R contínua derivável em ab Suponha que fa fb 0 Então dado um k R mostre que existe c ab tal que fc k fc Sugestão Tome px fxekx e aplique o Teorema de Rolle 6 Mostre que 1 h 1 12h se h 0 7 Aplique o Teorema do Valor Médio a f x x em 100101 para mostrar que 101 10 12c para algum c 100101 8 Explique por que o Teorema do Valor Medio nao se aplica a funcao fx x no intervalo 1 2 9 Seja f contınua em 1 3 e derivavel em 1 3 Suponha que para todo x 1 3 vale que 1 f x 2 Prove que 2 f3 f1 4 10 Seja f R R derivavel tal que fπ π e fe e Mostre que existe x R tal que f x 1 11 Se r 0 prove que ln y ln x y x r sempre que r x y Teorema 2 Sejam fg X R deriváveis no ponto a X X As funções f g fg e fg caso ga 0 são também deriváveis no ponto a com f ga fa ga f ga fa ga fa ga e fg a fa ga fa ga ga² QUESTÃO 1 A b f R R fx x³ x 0 x² x 0 Pela definição de derivada para a R R R fa limxa fx fax a limh0 fa h fah definição Caso a 0 entorno dentro do ramo x³ fx fax a x³ a³x a x ax² a x a²x a x² a x a² x a Sendo a expressão contínua em x a tornase o limite por substituição fa limxax² a x a² a² a² a² 3 a² Caso a 0 entorno dentro do ramo x² fx fax a x² a²x a x ax ax a x a x a logo fa limxax a a a 2 a No ponto de junção a 0 usase as derivadas laterais limites laterais lembrando que a derivada existe se e somente se os limites laterais coincidirem f0 limh0 fh f0h limh0 h³ 0h limh0 h² 0 f0 limh0 fh f0h limh0 h² 0h limh0 h 0 Como f0 f0 0 a derivada existe em 0 e vale 0 Concluise portanto fx 3x² x 0 0 x 0 2x x 0 QUESTÃO 2 QUESTÃO 3 A Concluise que lim p ep p3 b Pela identidade algébrica p2 1 p1p1 escrevese para p 1 p2 1 p1 p1p1 p1 p 1 No cálculo do limite não é permitido tomar p 1 de modo que o cancelamento acima é válido e o valor pontual em p1 é irrelevante para o limite Assim lim p 1 p2 1 p 1 lim p 1 p1 lim p 1 p lim p 1 1 1 1 2 onde se usaram as operações com limites para soma e constantes Concluise que lim p 1 p2 1 p1 2 c Para calcular lim p 3p2 2p 5p2 7p 1 notase que o quociente está na forma indeterminada quando p Assim aplicase a Regra de LHôpital válida para limites do tipo Aplicando a regra uma vez lim p 3p2 2p 5p2 7p 1 lim p 3p2 2p 5p2 7p 1 lim p 6p 2 10p 7 o que ainda é Aplicase novamente LHôpital lim p 6p 2 10p 7 lim p 6p 2 10p 7 lim p 6 10 35 Portanto lim p 3p2 2p 5p2 7p 1 35 d Divisese numerador e denominador por p permitido pois p 0 no limite para p lnp p lnp 1 lnpp 1 lnpp Para concluir o limite calculase primeiro lim p lnp p Tratase de forma aplicase a Regra de LHôpital válida nesse caso lim p lnp p lim p ddp lnp ddp p lim p 1p 1 lim p 1p 0 Usase aqui a formulação da Regra de LHôpital para formas e o conceito de limite no infinito Com esse resultado e as operações com limites obtémse lim p 1 lnpp 1 lnpp 1 0 1 0 1 Portanto lim p p lnp p lnp 1 QUESTÃO 4 Considere f g R R com fgp p para todo p R Dessa igualdade se gp1 gp2 então aplicando f obtémse p1 fgp1 fgp2 p2 logo g é injetiva e escrevendo Y gR temse que g R Y é bijetiva e f g1 Y R Como g é derivável é contínua Sendo g contínua e injetiva em um intervalo seu domínio é R sua inversa f g1 Y R é contínua Usase agora o enunciado derivada da inversa apresentado como corolário da Regra da Cadeia se f X Y é bijetiva g f1 Y X é contínua em b fa e f é derivável em a então g é derivável em b se e somente se fa 0 nesse caso gb 1 fa Aplicando esse resultado com a notação trocada f g g f como g é derivável em p e gp 0 e f g1 é contínua em gp concluise que f é derivável em gp e fgp 1 gp Alternativamente observase que f o g idR é derivável com derivada 1 Pela Regra da Cadeia f o gp fgp gp 1 donde igualmente fgp 1 gp QUESTÃO 5 Seja f ab R contínua em ab e derivável em ab com fa fb 0 Fixando k R definese pp fp ekp p ab Como composição e produto de funções contínuas são contínuos p é contínua em ab além disso produto de funções deriváveis é derivável logo p é derivável em ab Observase que pa fa eka 0 pb fb ekb 0 Pelas hipóteses e pelo Teorema de Rolle existe c ab tal que pc 0 QUESTÃO 6 QUESTÃO 7 Para calcular fc usase que f o g id em 0 com gx x² Pela Regra da Cadeia f o gx fgx gx 1 o que implica fgx 1gx 12x Em reverso y gx x² isto é x y obtémse fy 12y para y 0 Em particular para y c 100 101 fc 12c Substituindo na igualdade do Teorema do Valor Médio 101 10 12c 101 10 12c para algum c 100 101 como se queria QUESTÃO 8 Considere fx x no intervalo 1 2 O Teorema do Valor Médio exige que f seja contínua em a b e derivável em a b Embora f seja contínua em 1 2 a hipótese de derivabilidade em 1 2 falha no ponto 0 De fato pela definição de derivada em a fa limh0 fah fah definição de derivada No ponto a 0 f0h f0h hh 0h hh Tomando limites laterais notação de pontos de acumulação à direita e à esquerda temse limh0 hh 1 e limh0 hh 1 que não coincidem portanto o limite limh0 hh não existe e f não é derivável em 0 QUESTÃO 9 QUESTÃO 10 QUESTÃO 11 TEOREMA 2 Logo fahgah fagah faga faga gaτfh faτghh onde reúne hτhh τh e τfhτghh Como f e g são contínuas em a deriváveis contínuas ficam limitadas numa vizinhança de a com τhh 0 todos os termos restantes tendem a 0 produto de função que tende a 0 com função limitada Quociente Supondo ga 0 Primeiro derivase o recíproco 1gah 1ga h ga gah hgahga ga τghh gahga h0 ga ga² pois gah ga pela continuidade Assim 1ga gaga² Com a regra do produto para f 1g fga fa 1ga fa gaga² faga faga ga²