Limite de Funcoes - Analise Real II - UFF

Limite de funcoes Patrıcia Rampazo Analise Real II UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 1 17 Limite Sejam X R um conjunto de numeros reais f X R uma funcao real cujo domınio e X e a X um ponto de acumulacao do conjunto X Definicao O numero real L e limite de f x quando x tende para a e escrevese limxa f x L quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que se tem f x L ε sempre que x X e 0 x a δ Simbolicamente lim xa f x L ε 0δ 0 x X 0 x a δ f x L ε Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 2 17 Informalmente limxa f x L quer dizer que se pode tornar f x tao proximo de L quanto se queira desde que se tome x X suficientemente proximo porem diferente de a A restricao 0 x a significa x a Assim no limite L lim xa f x nao e permitido a variavel x assumir o valor a Portanto o valor f a nao tem importˆancia alguma quando se quer determinar L o que conta e o comportamento de f x quando x se aproxima de a sempre com x a Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 3 17 Na definicao de limite e essencial que a seja um ponto de acumulacao do conjunto X mas e irrelevante que a pertenca ou nao a X isto e que f esteja ou nao definida no ponto a Num dos exemplos mais importantes de limite a saber a derivada estudase limxa qx onde a funcao qx f x f ax a nao esta definida para x a Nas condicoes f X R a X negar que se tem limxa f x L equivale a dizer que existe um numero ε 0 com a seguinte propriedade seja qual for δ 0 podese sempre achar xδ X tal que 0 xδ a δe f xδ L ε Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 4 17 Teorema 0 Unicidade do limite Sejam f X R e a X Se limxa f x L e limxa f x M entao L M Proposicao Heine Sejam f X R uma funcao e a X Sao equivalentes as afirmacoes i limxa f x L ii xn X xn a xn a n N f xn L Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 5 17 Teorema 0 Unicidade do limite Sejam f X R e a X Se limxa f x L e limxa f x M entao L M Proposicao Heine Sejam f X R uma funcao e a X Sao equivalentes as afirmacoes i limxa f x L ii xn X xn a xn a n N f xn L Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 5 17 Teorema 1 Sejam f g X R a X limxa f x L e limxa gx M Se L M entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com 0 x a δ Corolario 11 Se limxa f x L M entao existe δ 0 tal que f x M para todo x X com 0 x a δ Corolario 21 Sejam limxa f x L e limxa gx M Se f x gx para todo x X a entao L M Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 6 17 Teorema 1 Sejam f g X R a X limxa f x L e limxa gx M Se L M entao existe δ 0 tal que f x gx para todo x X com 0 x a δ Corolario 11 Se limxa f x L M entao existe δ 0 tal que f x M para todo x X com 0 x a δ Corolario 21 Sejam limxa f x L e limxa gx M Se f x gx para todo x X a entao L M Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 6 17 Teorema 2 Teorema do sanduıche Sejam f g h X R a X e limxa f x limxa gx L Se f x hx gx para todo x X a entao limxa hx L Teorema 3 Sejam f X R e a X A fim de que seja limxa f x L e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a tenhase lim f xn L Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 7 17 Teorema 2 Teorema do sanduıche Sejam f g h X R a X e limxa f x limxa gx L Se f x hx gx para todo x X a entao limxa hx L Teorema 3 Sejam f X R e a X A fim de que seja limxa f x L e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a tenhase lim f xn L Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 7 17 Teorema 2 Teorema do sanduıche Sejam f g h X R a X e limxa f x limxa gx L Se f x hx gx para todo x X a entao limxa hx L Teorema 3 Sejam f X R e a X A fim de que seja limxa f x L e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X a com lim xn a tenhase lim f xn L Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 7 17 Corolario 2 Operacoes com limites Sejam f g X R a X com limxa f x L e limxa gx M Entao lim xaf x gx L M lim xaf x gx L M lim xa f x gx L M se M 0 Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 8 17 Teorema 4 Sejam f X R a X Se existe limxa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem δ 0 e c 0 tais que x X 0 x a δ f x c Teorema 5 Sejam a X e f g X R funcoes tais que limxa f x 0eg limitada em Xa Entao lim xa f x gx 0 mesmo que nao exista o limite da q em x a Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 9 17 Teorema 4 Sejam f X R a X Se existe limxa f x entao f e limitada numa vizinhanca de a isto e existem δ 0 e c 0 tais que x X 0 x a δ f x c Teorema 5 Sejam a X e f g X R funcoes tais que limxa f x 0eg limitada em Xa Entao lim xa f x gx 0 mesmo que nao exista o limite da q em x a Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 9 17 Teorema 6 limite de funcao composta Sejam f A R g B R funcoes tais que f A B a ponto de acumulacao de A e b ponto de acumulacao de B b B Se limxa f x b e limyb gy c entao limxag f x gb onde gb c Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 10 17 Limites laterais Definicao Sejam X R e a R Dizemos que a e um ponto de acumulacao a direita de X e escrevemos a X se e somente se δ 0 X a a δ Analogamente dizemos que a e um ponto de acumulacao a esquerda de X e escrevemos a X se e somente se δ 0 X a δ a Note que a X se e somente se a X e a X Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 11 17 Definicao Sejam X R f X R uma funcao e a X Dizemos que L R e o limite a direita de f x quando x tende para a pela direita e escrevemos lim xa f x L se e somente se ε 0 δ 0 tal que x X a a δ f x L ε Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 12 17 Analogamente Definicao Sejam X R f X R uma funcao e a X Dizemos que L R e o limite a esquerda de f x quando x tende para a pela esquerda e escrevemos lim xa f x L se e somente se ε 0 δ 0 tal que x X a δ x a f x L ε Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 13 17 Proposicao Sejam f X R uma funcao e a X X ie a e ponto de acumulacao a esquerda e a direita do conjunto X Entao lim xa f x L lim xa f x lim xa f x L ou seja o limite de f existe em a se e somente se os limites laterais em a existirem e forem iguais Teorema 5 Sejam f X R monotona e limitada e a ponto de acumuilacao de X Entao existem os limites laterais em a Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 14 17 Limites infinitos e no infinito Definicao Sejam X R um conjunto a X e f X R uma funcao Definimos os limites infinitos limxa f x se e somente se N 0 δ 0 tal que x X 0 x a δ f x N limxa f x se e somente se N 0 δ 0 tal que x X 0 x a δ f x N Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 15 17 Definicao Sejam X R um conjunto ilimitado e f X R uma funcao Definimos os limites no infinito limx f x L com L R se e somente se ε 0 M 0 tal que x X x M f x L ε limx f x L com L R se e somente se ε 0 M 0 tal que x X x M f x L ε Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 16 17 Utilizando as definicoes conhecidas tambem podemos deduzir os limites infintos no infinito limx f x se e somente se N 0 M 0 tal que x X x M f x N Patrıcia Rampazo Limite de funcoes 17 17