Derivada-Analise-Real-II-Notas-de-Aula-UFF

Derivada Patrıcia Rampazo Analise Real II UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Patrıcia Rampazo Derivada 1 18 Nocao da derivada Sejam f X R e a X O quociente qx f x f ax a tem sentido para x a logo define uma funcao q X a R cujo valor qx e a inclinacao da secante reta que liga os pontos a f aex f x no grafico de f em relacao ao eixo x Se imaginarmos x como o tempo e f x como a abcissa no instante x de um ponto movel que se desloca sobre o eixo x entao qx e a velocidade media desse ponto no intervalo de tempo decorrido entre os instantes a e x Patrıcia Rampazo Derivada 2 18 Se a X X podemos considerar limxa qx As interpretacoes deste limite sao respectivamente a inclinacao da tangente ao grafico de f no ponto a f a a velocidade instantˆanea do movel no instante x a ou em geral a taxa de variacaoda funcao f no ponto a Patrıcia Rampazo Derivada 3 18 Secante Q Tangente P R fah fa h a ah Derivada Definicao Sejam f X R e a X X A derivada da funcao f no ponto a e o limite f a lim xa f x f a x a lim h0 f a h f a h O limite pode existir ou nao Se existir dizse que f e derivavel no ponto a Patrıcia Rampazo Derivada 5 18 Quando existe a derivada fx em todos os pontos x X X dizse que a função f X ℝ é derivável no conjunto X e obtemse uma nova função f X X ℝ x fx chamada a função derivada Se f é contínua dizse que f é de classe C¹ Outras notações para a derivada de f no ponto a são Dfa dfdx a e dfdx xa Teorema 1 A fim de que f X R seja derivavel no ponto a X X e necessario e suficiente que exista c R tal que a h X f a h f a ch rh onde limh0 rhh 0 No caso afirmativo temse c f a Corolario Uma funcao e contınua nos pontos em que e derivavel Patrıcia Rampazo Derivada 7 18 Teorema 1 A fim de que f X R seja derivavel no ponto a X X e necessario e suficiente que exista c R tal que a h X f a h f a ch rh onde limh0 rhh 0 No caso afirmativo temse c f a Corolario Uma funcao e contınua nos pontos em que e derivavel Patrıcia Rampazo Derivada 7 18 Proposicao Regra de LHˆopital Considere um limite da forma lim xa f x gx no caso em que f e g sao derivaveis no ponto a e limxa f x f a 0 ga limxa gx ou limxa f x limxa gx A Regra de LHˆopital diz que lim xa f x gx f a g a Patrıcia Rampazo Derivada 8 18 Propriedades da derivada Teorema 2 Sejam f g X ℝ deriváveis no ponto a X X As funções f g fg e fg caso ga 0 são também deriváveis no ponto a com f ga fa ga f ga fa ga fa ga e fga fa ga fa ga ga² Teorema 3 Regra da Cadeia Sejam f X R g Y R a X X b Y Y f X Y e f a b Se f e derivavel no ponto a e g e derivavel no ponto b entao g f X R e derivavel no ponto a comg f a g f a f a Corolario Seja f X Y uma bijecao entre os conjuntos X Y R com inversa g f 1 Y X Se f e derivavel no ponto a X X e g e contınua no ponto b f a entao g e derivavel no ponto b se e somente se f a 0 No caso afirmativo temse g b 1f a Patrıcia Rampazo Derivada 10 18 Derivada e crescimento local As proposicoes seguintes que se referem a derivadas laterais e a desigualdades tˆem analogas com f trocada por f com substituıdo por etc Para evitar repeticoes monotonas trataremos apenas um caso embora utilizemos livremente seus analogos Teorema 4 Seja a um ponto interior de um intervalo I e f I R derivavel em a com f a 0 Entao existe δ 0 tal que i para todo x a δ a temse f x f a ii para todo x a a δ temse f x f a Patrıcia Rampazo Derivada 11 18 Corolario 1 Se f X R e monotona naodecrescente entao suas derivadas laterais onde existem sao 0 Corolario 2 Seja a X um ponto de acumulacao bilateral Se f X R e derivavel no ponto a com f a 0 entao existe δ 0 tal que x y X a δ x a y a δ implicam f x f a f y Patrıcia Rampazo Derivada 12 18 Definicao Seja f I R e a I um ponto interior Dizemos que a e um ponto de maximo local para f se existir δ 0 tal que f x f a para todo x a δ a δ Seja f I R e a I um ponto interior Dizemos que a e um ponto de mınimo local para f se existir δ 0 tal que f x f a para todo x a δ a δ Patrıcia Rampazo Derivada 13 18 Corolario 4 Se f I R for derivavel em um ponto interior a I e tal ponto for de maximo local ou de mınimo local entao f a 0 Patrıcia Rampazo Derivada 14 18 Teorema 5 Darboux Seja f I R uma funcao derivavel em todos os pontos do intervalo I Se a b I e f a d f b entao existe um ponto c entre a e b tal que d f c Teorema 6 Teorema de Rolle Seja f a b R tal que f e contınua no intervalo fechado a b e derivavel no aberto a b Se f a f b entao c a b tal que f c 0 Patrıcia Rampazo Derivada 15 18 Teorema 7 Teorema do Valor Medio TVM Seja f a b R contınua em a b e derivavel em a b Entao existe um ponto c em a b tal que f c f b f a b a Patrıcia Rampazo Derivada 16 18 Corolario 1 Seja f I R uma funcao derivavel no intervalo I Entao f e crescente em I se e somente se f x 0 para todo x I Corolario 2 Se f I R for uma funcao derivavel em I tal que f x 0 para todo x I entao f e estritamente crescente em I Corolario 3 Seja f I R uma funcao derivavel no intervalo I Entao f e decrescente em I se e somente se f x 0 para todo x I Patrıcia Rampazo Derivada 17 18 Corolario 4 Se f I R for uma funcao derivavel em I tal que f x 0 para todo x I entao f e estritamente decrescente em I Corolario 5 Se f I R for uma funcao derivavel em I tal que f x 0 para todo x I entao f e constante em I Corolario Sejam f g I R funcoes derivais em um intervalo I tais que f x g x para todo x I Entao f x gx c Patrıcia Rampazo Derivada 18 18