Continuidade-Funcoes-Analise-Real-II-Uff

Continuidade Patrıcia Rampazo Analise Real II UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Patrıcia Rampazo Continuidade 1 16 Cotinuidade Definicao Uma funcao f X R definida no conjunto X R dizse contınua no ponto a X quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que x X e x a δ impliquem f x f a ε Em sımbolos f contınua no ponto a significa ε 0δ 0 x X x a δ f x f a ε Dizse que f X R e uma funcao contınua quando f e contınua em todos os pontos a X Patrıcia Rampazo Continuidade 2 16 Proposicao Uma funcao f X R e contınua em um ponto a X X se e somente se lim xa f x f a Graficamente podemos falar que as funcoes contınuas nao possuem saltos Patrıcia Rampazo Continuidade 3 16 Descontinuidade Chamase descontınua no ponto a X uma funcao f X R que nao e contınua nesse ponto Isto quer dizer que existe ε 0 com a seguinte propriedade para todo δ 0 podese achar xδ X tal que xδ a δe f xδ f a ε Patrıcia Rampazo Continuidade 4 16 Teorema 1 Sejam f g X R contınuas no ponto a X com f a ga Existe δ 0 tal que f x gx para todo x X a δ a δ Corolario 1 Seja f X R contınua no ponto a X Se f a 0 existe δ 0 tal que para todo x X a δ a δ f x tem o mesmo sinal de f a Corolario 2 Dadas f g X R contınuas sejam Y x X f x gx e Z x X f x gx Existem A R aberto e F R fechado tais que Y X A e Z X F Patrıcia Rampazo Continuidade 5 16 Teorema 1 Sejam f g X R contınuas no ponto a X com f a ga Existe δ 0 tal que f x gx para todo x X a δ a δ Corolario 1 Seja f X R contınua no ponto a X Se f a 0 existe δ 0 tal que para todo x X a δ a δ f x tem o mesmo sinal de f a Corolario 2 Dadas f g X R contınuas sejam Y x X f x gx e Z x X f x gx Existem A R aberto e F R fechado tais que Y X A e Z X F Patrıcia Rampazo Continuidade 5 16 Teorema 1 Sejam f g X R contınuas no ponto a X com f a ga Existe δ 0 tal que f x gx para todo x X a δ a δ Corolario 1 Seja f X R contınua no ponto a X Se f a 0 existe δ 0 tal que para todo x X a δ a δ f x tem o mesmo sinal de f a Corolario 2 Dadas f g X R contınuas sejam Y x X f x gx e Z x X f x gx Existem A R aberto e F R fechado tais que Y X A e Z X F Patrıcia Rampazo Continuidade 5 16 Teorema 2 A fim de que a funcao f X R seja contınua no ponto a e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a se tenha lim f xn f a Corolario 1 Se f g X R sao contınuas no ponto a X entao sao contınuas nesse mesmo ponto as funcoes f g f g X R bem como a funcao f g caso scja ga 0 Patrıcia Rampazo Continuidade 6 16 Teorema 2 A fim de que a funcao f X R seja contınua no ponto a e necessario e suficiente que para toda sequˆencia de pontos xn X com lim xn a se tenha lim f xn f a Corolario 1 Se f g X R sao contınuas no ponto a X entao sao contınuas nesse mesmo ponto as funcoes f g f g X R bem como a funcao f g caso scja ga 0 Patrıcia Rampazo Continuidade 6 16 Teorema 3 Sejam f X R contınua no ponto a X g Y R contınua no ponto b f a Y e f X Y de modo que a composta g f X R esta bem definida Entao g f e contınua no ponto a A composta de duas funcoes contınuas e contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 7 16 Funcoes contınuas em intervalos Teorema 4 Teorema do valor intermediario TVI Sejam I um intervalo e f I R uma funcao contınua e a b I tais que f a d f b Entao existe c R entre a e b tal que f c d Teorema 5 Seja I um intervalo Toa funcao contınua injetiva f I R e monotona e sua inversa f 1 J f I I e contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 8 16 Funcoes contınuas em intervalos Teorema 4 Teorema do valor intermediario TVI Sejam I um intervalo e f I R uma funcao contınua e a b I tais que f a d f b Entao existe c R entre a e b tal que f c d Teorema 5 Seja I um intervalo Toa funcao contınua injetiva f I R e monotona e sua inversa f 1 J f I I e contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 8 16 Teorema 6 Teorema de Weierstrass ou do Valor extremo Seja f a b R contınua no intervalo fechado a b Entao f e limitada e assume um valor maximo e um valor m ınimo em a b Teorema 7 A imagem f X de um conjunto compacto X por uma funcao contınua f X R e um conjunto compacto Corolario Se X e um conjunto compacto entao f X R e limitada Patrıcia Rampazo Continuidade 9 16 Teorema 6 Teorema de Weierstrass ou do Valor extremo Seja f a b R contınua no intervalo fechado a b Entao f e limitada e assume um valor maximo e um valor m ınimo em a b Teorema 7 A imagem f X de um conjunto compacto X por uma funcao contınua f X R e um conjunto compacto Corolario Se X e um conjunto compacto entao f X R e limitada Patrıcia Rampazo Continuidade 9 16 Teorema 8 Se X R e compacto entao toda bijecao contınua f X Y R tem inversa contınua g Y X Patrıcia Rampazo Continuidade 10 16 Continuidade uniforme Seja f X R contınua Dado ε 0 para cada x X podese achar δ 0 tal que y X y x δ implicam f y f x ε O numero positivo δ depende nao apenas do ε 0 dado mas tambem do ponto x no qual a continuidade de f e examinada Nem sempre dado ε 0 podese encontrar um δ 0 que sirva em todos os pontos x X mesmo sendo f contınua em todos esses pontos Patrıcia Rampazo Continuidade 11 16 Definicao Uma funcao f X R dizse uniformemente contınua no conjunto X quando para todo ε 0 dado arbitrariamente podese obter δ 0 tal que x y X y x δ implicam f y f x ε Uma funcao uniformemente contınua f X R e contınua em todos os pontos do conjunto X A recıproca e falsa Patrıcia Rampazo Continuidade 12 16 Exemplo Seja f R 0 R definida por f x xx logo f x 1 se x 0 e f x 1 para x 0 Esta funcao e contınua em R 0 pois e constante numa vizinhanca de cada ponto x 0 Entretanto se tomarmos ε 2 para todo δ 0 que escolhermos existirao sempre pontos x y R 0 tais que y x δef y f x ε Basta tomar x δ3e y δ3 Exemplo A funcao f R R definida por f x 1x e contınua Mas dado ε com 0 ε 1 seja qual for δ 0 escolhido tomamos um numero natural n 1δ e pomos x 1n y 12n Entao 0 y x δ donde y x δ porem f y f x 2n n n 1 ε Patrıcia Rampazo Continuidade 13 16 Exemplo Uma funcao f X R chamase lipschitziana quando existe uma constante k 0 chamada constante de Lipschitz da funcao f tal que f x f y kx y sejam quais forem x y X A fim de que f X R seja lipschitziana e necessario e suficiente que o quociente f y f xy x seja limitado isto e que exista uma constante k 0 tal que x y X x y f y f xy x k Toda funcao lipschitziana f X R e uniformemente contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 14 16 Teorema 9 A fim de que f X R seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que para todo par de sequˆencias xn yn em X com lim yn xn 0 tenhase lim f yn f xn 0 Teorema 10 Seja X R compacto Toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 15 16 Teorema 9 A fim de que f X R seja uniformemente contınua e necessario e suficiente que para todo par de sequˆencias xn yn em X com lim yn xn 0 tenhase lim f yn f xn 0 Teorema 10 Seja X R compacto Toda funcao contınua f X R e uniformemente contınua Patrıcia Rampazo Continuidade 15 16 Teorema 11 Toda funcao f X R uniformemente contınua num cos junto limitado X e uma funcao limitada Demonstracao Se f nao fosse limitada digamos superiormente entao existiria uma sequˆencia de pontos xn X tais que f xn1 f xn 1 Teorema 12 Se f X R e uniformemente contınua entao para cada a X mesmo que a nao pertenca a X existe limxa f x Patrıcia Rampazo Continuidade 16 16 Teorema 11 Toda funcao f X R uniformemente contınua num cos junto limitado X e uma funcao limitada Demonstracao Se f nao fosse limitada digamos superiormente entao existiria uma sequˆencia de pontos xn X tais que f xn1 f xn 1 Teorema 12 Se f X R e uniformemente contınua entao para cada a X mesmo que a nao pertenca a X existe limxa f x Patrıcia Rampazo Continuidade 16 16