Atividade de Analise Real

LISTA 1 ANÁLISE MATEMÁTICA II Exercícios 1 Defina lim xa fx lim xa fx lim xa fx e lim xa fx Em seguida prove que lim xa 1x a e lim xa 1x a 2 Prove que lim x 3x 12x 5 32 3 Prove que se lim xa fx L e lim xa gx então lim xa fx gx 4 Calcular lim x2 x 2x 2 e lim x2 x 2x 2 5 Calcule os limites laterais a lim x8 1x 8 b lim x8 1x 8 6 Calcule os limites a lim x 4x³ 2x³ x b lim x x⁴2x³ 1 c lim x x² 3x x 7 Prove que a lim x lnx b lim x0 lnx LISTA 1 ANÁLISE MATEMÁTICA II 1 Usando a definição de limite prove que a lim x2 x² 4 b lim x1 5x 4 9 c lim x0 x² 0 d lim x3 x² 2x 15 e lim x1 x³ 1 f lim x2 x² 4 0 g lim x1 1x 2 13 h lim xa x a a 0 i lim x1 ³x 1 j lim x2 3x 1 7 k lim x1 x² 1x 1 2 l lim x0 xx 1 0 m lim x2 1x 12 n lim x0 x 4 2 2 Seja fx x² e gx x² 1 Mostre que para a 1 existem δ 0 e uma vizinhança de 1 em que vale fx gx 3 Se lim xa fx L mostre que lim xa fx L 4 Usando a definição de limite mostre que se lim xa fx L então lim xa fx L 5 Prove que lim x0 sinxx 1 LISTA 3 ANÁLISE MATEMÁTICA II 1 Prove que a função f 1 R definida por fx 1 1 x é contínua em todo o seu domínio 2 Verifique a continuidade da função fx x² x 1 2x 1 x 1 no ponto x 1 3 Mostre que toda função f Z R é contínua 4 Determine todos os pontos de continuidade da função fx senxx x 0 1 x 0 5 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a equação cosx x possui pelo menos uma solução em 0 1 6 Dada a função real de variável real fx 4 3x x² Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe um c 2 5 tal que fc 1 7 Mostre que o Teorema do Valor Intermediário garante que a equação x³ x 3 0 tenha uma raiz entre 2 e 1 8 Sejam f g a b R contínuas com ga fa e fb gb Mostre que existe c a b tal que fc gc 9 Mostre que a função f R R dada por fx 1 1 x² é uniformemente contínua 10 Se f g I R forem uniformemente contínuas mostre que f g também é uniformemente contínua QUESTÃO 1 Definições de limites infinitos laterais Para a R e f R R lim pa fp M 0 δ 0 0 p a δ fp M lim pa fp M 0 δ 0 0 a p δ fp M lim pa fp M 0 δ 0 0 a p δ fp M lim pa fp M 0 δ 0 0 p a δ fp M Em seguida provase os limites solicitados para fp 1 p a Prova de lim pa 1 p a Tomase M 0 arbitrário Escolhese δ 100 M Se 0 p a δ então 0 p a 1 M Como todos os termos são positivos tomase recíprocos preservando a ordem inversa 1 1 M M 1 p a Logo 1 p a M Como M 0 foi arbitrário pela definição temse lim pa 1 p a Prova de lim pa 1 p a Tomase M 0 arbitrário e definese δ 1 M Se 0 a p δ então 0 a p 1 M Novamente todos os termos são positivos e tomando recíprocos 6 Suponha que para todo x gx x⁴ Calcule lim x0 gx x 7 Dada a função f R R definida por fx x se x Q x se x Q mostre que lim x0 fx 0 mas lim xa fx se a 0 Explique por que o Teorema da ordem garante a desigualdade entre os limites 8 Considere fx 1 x Mostre que lim x0 fx usando a definição via sequências 1 Mc ap Escrevese 1 pa 1 ap Multiplicando os dois lados da desigualdade antrior por 1 o que inverte o sinal M 1 ap 1 pa M Portanto para 0 ap δ vale 1 pa M Como M 0 foi arbitrário segue da definição que lim pa 1 pa QUESTÃO 2 Pretendese provar que lim p 3p1 2p5 3 2 Usase a definição de limite quando p para todo ε 0 deve existir M 0 tal que se p M então 3p1 2p5 3 2 ε Calculase a diferença 3p1 2p5 3 2 23p1 32p5 22p5 6p 2 6p 15 4p 10 13 4p 10 Desejase 13 4p 10 ε isto é 4p 10 13 ε Escolhese trabalhar em p 3 para garantir 4p 10 0 De fato para p 3 temse 4p 10 43 10 12 10 2 0 e portanto 4p 10 4p 10 4p 10 A condição requerida tornase 4p 10 13 ε 4p 13 ε 10 4p 13 ε 10 p 13 4ε 10 4 Basta impor p 134ε 104 e p 3 Ambas são satisfeitas tornandose M 134ε 3 De fato se p M então p 3 e p 134ε 3 p 134ε 104 logo 4p10 4p10 13ε 134p10 ε Portanto para p M 3p12p5 32 134p10 ε o que pela definição prova o limite QUESTÃO 3 Admitamse funções fg definidas em um conjunto AR com a ponto de acumulação de A tal que lim xa fp L e lim xa gp Desejase provar que lim xa fp gp Pela definição do primeiro limite para ε 1 existe δ1 0 tal que se 0 pa δ1 então fp L 1 fp L 1 Pela definição do segundo limite dado qualquer τ 0 existe δ2τ 0 tal que se 0 pa δ2τ então gp τ Dado M 0 definese τ max1 ML1 Pelo parágrafo anterior há δ2 δ2τ 0 com gp τ sempre que 0 pa δ2 Tomando δ minδ1 δ2 então para 0 p a δ valem simultaneamente fp L1 e gp τ Logo fp gp L1 τ L1 ML1 M pois τ ML1 pela definição do máximo Como M 0 foi arbitrário pela definição de limite infinito concluise que lim pa fp gp QUESTÃO 4 Desejase calcular os limites laterais de p2 p2 quando p2 Limite pela direita p2 Se p 2 então p2 0 Para números positivos vale p2 p2 Logo para todos esses p p2p2 p2p2 1 Portanto em qualquer vizinhança à direita de 2 a função é identicamente 1 Assim lim p2 p2p2 1 Limite pela esquerda p2 Se p 2 então p2 0 Para números negativos vale p2 p2 Logo para todos esses p p2p2 p2p2 1 Portanto lim p2 p2p2 1 Concluise que os limites laterais existem e são distintos sendo 1 pela direita e 1 pela esquerda QUESTÃO 5 Pretendese calcular lim x 1p8 Pela definição de limite lateral igual a devese mostrar que para todo M0 existe δ0 tal que se 0 8p δ então 1p8 M Tomase M0 arbitrário e escolhese δ min1 1M Se 0 8p 1M então 0 8p 1M Como todos os termos são positivos tomandose recíprocos 18p M Como p 8 temse p 8 0 e 1p8 18p M Logo para 0 8p δ 1p8 M o que prova que lim p8 1p8 Pretendese calcular lim x 1p8 Pela definição de limite lateral igual a devese mostrar que para todo M0 existe δ 0 tal que se 0 p8 δ então 1p8 M Tomase M0 arbitrário e definese δ min 1 1M Se 0 p 8 δ 1M então 0 p 8 1M Tomando recíprocos preservase a ordem inversa por todos os termos serem positivos 1p8 M Portanto para 0 p 8 δ 1p8 M o que prova que lim p8 1p8 QUESTÃO 6 a Calculase lim x 4x³ 2x³ p Fatorase x³ no numerador e no denominador dividindo ambos por x³ o que é lícito para x 0 4x³ 2x³ p x³ 4 2x³ x³ 1 px³ 4 2x³ 1 px³ Quando x temse 2x³ 0 e 1x² 0 Pelo limite de quociente lim x 4x³ 2x³ p 4 0 1 0 4 b Calculase lim x x⁶ 2x³ 1 Fatorase x³ no denominador e simplificase um fator x³ com o numerador x⁶ 2x³ 1 x³ x³ x³ 2 1x³ x³ 2 1x³ Quando x 1x³ 0 Logo x³ 2 1x³ x³ 2 Como x concluise lim x x⁶ 2x³ 1 c Calculase lim x x² 3x p Racionalizase multiplicando e dividindo pela conjugada x² 3x p x²3xpx²3xp x²3xp x² 3x p² x² 3x p 3p x² 3x p Dividese numerador e denominador por x 0 válido pois o limite é para x 3p x² 3x p 3 1 3x 1x Quando x 3x 0 Assim lim x x² 3x p 3 1 0 1 32 QUESTÃO 7 a Pretendese mostrar pela definição de limite infinito que lim x lnx A definição diz para todo M 0 deve existir K 0 tal que se x K então lnx M Usase que ln é estritamente crescente no intervalo 0 e que ln é a inversa da exponencial Dado M 0 escolhese K eM Se x K eM pela monotonicidade lnx lneM M Como M 0 foi arbitrário concluise pela própria definição lim x lnx b Pretendese mostrar também pela definição que lim x0 lnx A definição para limite igual a à direita diz para todo M 0 deve existir δ 0 tal que se 0 x δ então lnx M Dado M 0 tomase δ eM Se 0 x δ eM pela monotonicidade de ln lnx lneM M Como M 0 é arbitrário segue da definição que lim x0 lnx As igualdades lneM M e lneM M decorrem do fato de ln ser a função inversa de ex No additional text present on this page QUESTÃO 1 Querse mostrar que f 1 R fx 11x é contínua em todo o seu domínio Pela definição εδ fixase um ponto a 1 e provase que lim xa fx fa Tomase ε 0 Definese η 1a2 0 Se 0 xa η então 1x 1a xa 1a2 1x 31a2 Assim 1x está positivo e afastado de 0 Considerase Φu 1u definida em 0 Ela é derivável e Φu 12 u32 12 u32 Aplicando o Teorema do Valor Médio a Φ nos pontos u1x e v1a existe ξ entre u e v tal que fxfa Φ1xΦ1a Φξ 1x1a 12 ξ32 xa Como ξ 1a2 obtémse a cota 12 ξ32 12 1a232 2 1a32 Logo fxfa 2 1a32 xa Escolhendo δ min η ε 1a32 2 min 1a2 ε 1a32 2 temse se 0 xa δ então fxfa 2 1a32 xa 2 1a32 ε 1a32 2 ε Portanto lim xa fx fa para todo a 1 isto é fx 11x é contínua em todo o seu domínio 1 QUESTÃO 2 Desejase verificar a continuidade em x1 da função fx x2 x 1 2x1 x 1 Calculase o valor da função no ponto f1 12 1 Mostrase que lim x1 fx 1 pela definição εδ Seja ε 0 Serão construídas estimativas válidas para x à esquerda e à direita de 1 e depois unificadas Para x 1 vale fx x2 Escrevese fx1 x21 x1 x1 Impõese x1 1 Dessa hipótese resulta 0 x 2 e somando 1 aos membros 1 x1 3 logo x1 3 Portanto fx1 3 x1 Para garantir 3 x1 ε basta exigir x1 ε3 Assim ao aproximar por valores 1 funciona δ1 min 1 ε3 Para x 1 vale fx 2x1 Calculase fx1 2x11 2x2 2 x1 Logo para assegurar 2 x1 ε tomase x1 ε2 isto é δ2 ε2 Unificando os dois lados escolhese δ min δ1 δ2 min 1 ε3 ε2 Então sempre que 0 x1 δ temse se x 1 fx1 3 x1 3 ε3 ε se x 1 fx1 2 x1 2 ε2 ε Portanto lim x1 fx 1 Como f1 1 concluise que f é contínua em x1 QUESTÃO 3 Querse mostrar que toda função f Z R é contínua Pela definição εδ fixase um ponto arbitrário a Z e provase que lim xa fx fa considerando apenas x Z Tomase ε 0 Escolhese δ 12 Se x Z satisfaz xa δ 12 então necessariamente x a De fato dois inteiros distintos têm distância pelo menos 1 isto é se x a e x a Z então xa 1 Como xa 12 concluise que x a Logo sempre que x Z e xa 12 fxfa fafa 0 ε Isto verifica exatamente a definição de continuidade de f em a Como a Z foi arbitrário f é contínua em todo ponto do seu domínio Z QUESTÃO 4 Para x 0 uma vez que sin p é contínua em R e p x é contínua em R Logo para cada x 0 o quociente sin pp é contínuo pois o denominador não é 0 Portanto f é contínua em todo x 0 Resta verificar x0Calculase o limite do ramo para x0 lim x0 sin pp1 Uma demonstração suficiente para este exercício vem do Teorema do Confronto para 0xπ2 cos p sin pp 1 e como lim x0 cos p1 concluise lim x0 sin pp1 Além disso f01 Logo lim x0 fx lim x0 sin pp 1 f0 o que mostra a continuidade em x0 Concluise que f é contínua em todos os x R QUESTÃO 5 Considere a função hp cos p p em 01 A função p cos p é contínua em R e p p também é contínua portanto h é contínua em 01 Calculamse os valores nos extremos do intervalo h0 cos 0 0 1 0 1 0 h1 cos 1 1 054 1 046 0 Logo h0h1 0 Pelo Teorema do Valor Intermediário como h é contínua em 01 e assume valores de sinais opostos nos extremos existe c 01 tal que hc 0 cos c c 0 cos c c Concluise que a equação cos p p possui pelo menos uma solução em 01 QUESTÃO 6 Considere fp 4 3p p² uma função polinomial portanto contínua em R e em particular em 25 Avaliamse os extremos f2 4 3 2 2² 4 6 4 6 f5 4 3 5 5² 4 15 25 19 25 6 Como 1 está entre 6 e 6 isto é 6 1 6 e f é contínua em 25 o Teorema do Valor Intermediário garante que existe c 25 tal que fc 1 Portanto há pelo menos um c no intervalo 25 satisfazendo 4 3c c² 1 QUESTÃO 7 Considere fp p³ p 3 função polinomial e portanto contínua em R Avaliamse os extremos do intervalo 21 f2 2³ 2 3 8 2 3 7 0 f1 1³ 1 3 1 1 3 1 0 Como f2f1 7 1 7 0 os valores de f nos extremos têm sinais opostos Pelo Teorema do Valor Intermediário existe c 21 tal que fc 0 isto é a equação p³ p 3 0 possui ao menos uma raiz no intervalo 21 QUESTÃO 8 Sejam fgab R contínuas com ga fa e fb gb Definese a função contínua diferença de contínuas hx fx gx x ab Avaliamse os sinais nos extremos ha fa ga 0 hb fb gb 0 Logo hahb 0 Pelo Teorema do Valor Intermediário como h é contínua em ab e assume valores de sinais opostos em a e b existe c ab tal que hc 0 Voltando à definição de h hc 0 fc gc 0 fc gc Assim existe c ab com fc gc como solicitado QUESTÃO 9 Desejase mostrar que fR R fp 11 p² é uniformemente contínua Calculase a derivada fp ddp 1 p²1 11 p²2 2p 2p1 p²² Pelo Teorema do Valor Médio para quaisquer xy R existe ξ entre x e y tal que fx fy fξ x y Portanto se fξ k para todo ξ R então fx fy k x y para todos xy isto é f é Lipschitz e portanto uniformemente contínua Resta majorar fξ Considerase gt 2t1 t²² em t 0 o módulo torna a função par Derivase gt ddt 2t1t22 21t22 8t21t23 213t21t23 Logo gt0 quando 13t20 isto é t1sqrt3 Avaliando g nesse ponto maxgt maxt0 gt g1sqrt3 1sqrt31132 21sqrt3432 98 sqrt3 3 sqrt38 Assim ft 3 sqrt38 para todo t em R e para quaisquer xy fxfy 3 sqrt38 xy Dado e0 tomando d 83 sqrt3 e então sempre que xy d fxfy 3 sqrt38 xy 3 sqrt38 83 sqrt3 e e Isto verifica a definição ed de continuidade uniforme Portanto fx 11x2 é uniformemente contínua em R QUESTÃO 10 Sejam fg I R uniformemente contínuas Por definição para todo e0 existem dfe0 e dge0 tais que para quaisquer xy em I se xy dfe então fxfy e se xy dge então gxgy e Desejase provar que fg é uniformemente contínua Seja e0 Pela uniformidade de f e g existem d1 0 e d2 0 tais que xy d1 fxfy e2 xy d2 gxgy e2 Definase d mind1 d2 Então para quaisquer xy em I com xy d valem simultaneamente as duas estimativas acima Usando a desigualdade triangular fgx fgy fxfy gxgy fxfy gxgy e2 e2 e Como e 0 é arbitrário e delta não depende do ponto do domínio apenas de e concluise pela própria definição que fg é uniformemente contínua em I QUESTÃO 1 a Seja e 0 Procurase d 0 tal que sempre que 0 x2 d então x2 4 e Observese a fatoração x2 4 x2 x2 O termo x2 será majorado impondo inicialmente x2 1 Deste modo x2 1 1 x 3 e somando 4 aos três membros 3 x 2 5 Com isso para qualquer x que satisfaça 0 x2 d 1 temse x24 x2 x2 x2 5 Para garantir x24 e basta forçar 5 x2 e Isso ocorre se x2 e5 Portanto tomando d min1 e5 sempre que 0 x2 d segue x24 5 x2 5 e5 e como desejado Logo lim x2 x2 4 b Seja e 0 Procurase d 0 tal que sempre que 0 x1 d então 5x4 9 e Calculase 5x49 5x49 5x5 5 x1 Assim para assegurar 5 x1 e escolhese d e5 De fato se 0x01δ então 5x0495x015ε5ε Logo lim x1 5x049 c Seja ε0 Desejase δ0 tal que se 0x00δ então x0²0ε Escrevese x0²0x0² Para garantir x0²ε basta impor x0ε Escolhese δmin1ε De fato se 0x0δε então x0²0x0²ε²ε como requerido Assim lim x00 x0²0 d Seja ε0 Procurase δ0 tal que se 0x03δ então x0²2x015ε Observase a fatoração x0²2x015x0²2x015x03x05x03x05 Para majorar x05 assumese inicialmente x031 Então 312x031 Somando 5 aos três membros obtémse 7x059 logo x059 Com essa limitação para todo x com 0x03δ1 x0²2x015x03x05x039 Para assegurar x0²2x015ε basta impor 9x03ε Isso ocorre se x03ε9 Tomando δmin1ε9 segue se 0x03δ que x0²2x0159x039ε9ε Portanto lim x03 x0²2x015 e Tomase ε0 arbitrário Buscase δ0 tal que se 0x01δ então x0³1ε Escrevese a fatoração algébrica x0³1x01x0²x01 Para controlar x0²x01 impõese inicialmente x011 Dessa hipótese decorre 0x02 Nesse intervalo vale x0²x01x0²x012²214217 Logo para todo x com 0x01δ1 x0³1x01x0²x01x017 Para garantir x0³1ε basta impor 7x01ε isto é x01ε7 Escolhendo δmin1ε7 então de 0x01δ segue x0³17x017ε7ε Concluise que lim x01 x0³1 f Tomase ε0 Procurase δ0 tal que se 0x02δ então x0²40ε Fatorase x0²4x02x02 Para majorar x02 assumese x021 Daí resulta 1x03 Somando 2 aos três membros obtémse 3x025 logo x025 Com essa limitação para qualquer x com 0x02δ1 x0²4x02x02x025 Para assegurar x0²4ε é suficiente exigir 5x02ε isto é x02ε5 Tomando δmin1ε5 então de 0x02δ resulta x0²45x025ε5ε Portanto lim x02 x0²40 g Tomase ε0 e buscase δ0 tal que sempre que 0x01δ então 1x02 13ε Calculase 1x02 13 3x023x02 1x03x02 x01x02 Para afastar o denominador de 0 impõese inicialmente x011 Daí 0x02 Somando 2 aos três membros obtémse 2x024 no extremo direito e 022 no esquerdo isto é 2x024 x022 Com essa majoração 1p2 13 p13p2 p132 p16 Para garantir p16 ε basta exigir p1 6ε Tomando δ min16ε então de 0 p1 δ segue 1p2 13 p16 6ε6 ε o que conclui a demonstração do limite proposto j lim pa p a Seja ε 0 Procurase δ0 tal que se 0 pa δ e p 0 então p a ε Utilizase a identidade p a pap a Para controlar o denominador e garantir que p esteja definido impõese δ a2 Dessa condição resulta pa a2 a a2 p a a2 isto é a2 p 3a2 logo p 0 e p a a Assim sempre que 0 pa δ a2 p a pap a paa δa Para forçar δa ε escolhese δ εa Portanto tomando δ mina2 εa temse de 0 pa δ p a paa εaa ε o que demonstra o limite requerido para a 0 i Seja ε 0 Procurase δ 0 tal que se 0 p1 δ então ³p 1 ε Utilizase a identidade da diferença de cubos com a ³p e b 1 a³ b³ aba² ab b² ³p 1 p1 ³p² ³p 1 Impõese inicialmente p1 1 Dessa hipótese decorre 0 p 2 logo 0 ³p ³2 Como ³p² ³p 1 1 Portanto para 0 p1 δ 1 ³p 1 p1 ³p² ³p 1 p11 p1 Para garantir ³p 1 ε basta exigir p1 ε Assim escolhendo δ min1 ε então de 0 p1 δ segue ³p 1 p1 ε o que demonstra o limite k Seja ε 0 Procurase δ0 tal que se 0 p2 δ então 3p17 ε Calculase diretamente 3p17 3p6 3p2 Para fazer 3p2 ε exigese p2 ε3 Logo tomando δ ε3 temse de 0 p2 δ 3p17 3p2 3ε3 ε concluindo a prova do limite k Tomase ε 0 Buscase δ 0 tal que se 0 p1 δ então p² 1p1 2 ε Para p 1 fatorarse p² 1 p1p1 de modo que p² 1p1 p1 Assim p² 1p1 2 p1 2 p1 Logo para garantir p1 ε escolhese δ ε De fato se 0 p1 δ ε então p2 4p 1 2 p 1 ε o que demonstra o limite e Tomase ε 0 e buscase δ 0 tal que se 0 p 0 δ então pp 1 0 ε Escrevese pp 1 pp 1 Para afastar o denominador de 0 impõese inicialmente p 12 Pela desigualdade triangular p 1 1 p 1 p 1 12 12 Portanto sempre que 0 p δ 12 pp 1 pp 1 p12 2p Para garantir 2p ε basta impor p ε2 Tomando δ min12 ε2 temse de 0 p δ pp 1 2p 2ε2 ε Concluise que lim p0 pp 1 0 m Tomase ε 0 e buscase δ 0 tal que se 0 p 2 δ então 1p 12 ε Calculase 1p 12 2 p2p p 22p Para afastar o denominador de 0 impõese inicialmente p 2 1 Dessa hipótese resulta 1 p 3 logo p 1 e p 22p p 22 Para garantir p 22 ε basta exigir p 2 2ε Tomando δ min1 2ε então de 0 p 2 δ segue 1p 12 p 22p p 22 2ε2 ε o que conclui o limite proposto n Seja ε 0 Procurase δ 0 tal que se 0 p 0 δ então sqrtp 4 2 ε Racionalizase a diferença sqrtp 4 2 psqrtp 4 2 Para controlar o denominador e garantir que sqrtp 4 esteja definido impõese δ 1 Dessa condição resulta 1 p 1 logo 3 p 4 5 e portanto sqrtp 4 sqrt3 2 Assim sempre que 0 p δ 1 sqrtp 4 2 psqrtp 4 2 psqrt3 2 Para assegurar psqrt3 2 ε basta impor p sqrt3 2ε Tomando δ min1 sqrt3 2ε temse de 0 p δ sqrtp 4 2 psqrt3 2 sqrt3 2sqrt3 2 ε ε o que demonstra o limite requerido QUESTÃO 2 Observase para todo p R gp fp p2 4 p2 4 Como 4 4 0 então gp fp 0 e portanto fp gp para todo p Logo em particular essa desigualdade vale em qualquer vizinhança de 4 Escolhese por exemplo δ 1 V 4 δ 4 δ 0 2 Para todo p V temse fp p2 p2 4 gp pois gp fp 4 0 Assim existem δ 0 e uma vizinhança de 4 onde vale fp gp QUESTÃO 3 Admitese que lim pa fp L Pela definição εδ isso significa Para todo ε 0 existe δ 0 tal que sempre que 0 p a δ então fx L ε Desejase mostrar que lim xa fx L Escolhese um ε 0 arbitrário Considerase o mesmo δ 0 que a hipótese fornece para f e L Para 0 x a δ calculase fx L fx L fx L ε A igualdade fx L fx L decorre da propriedade y y para todo real y Como o δ que funciona para f também funciona para f concluise pela própria definição εδ que lim xa fx L QUESTÃO 4 Admitase que lim xa fx L Pela definição εδ isso significa para todo ε 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então fx L ε Desejase mostrar que lim xa fx L Usase a desigualdade triangular reversa válida para quaisquer reais uv u v u v Aplicandoa com u fx e v L obtémse para todo x fx L fx L Agora dado ε 0 tomase o mesmo δ 0 fornecido pela hipótese de que fx L Para 0 x a δ fx L fx L ε Isto verifica exatamente a definição εδ do limite de fx igual a L Portanto lim xa fx L QUESTÃO 5 Desejase provar que lim x0 sin x x 1 Considerase x 0 e usase a desigualdade geométrica válida para 0 x π2 sin x x tan x sin x cos x Dividindo todos os termos por x 0 obtémse sin x x 1 e x sin x cos x p cos x sin x cos x sin x x Logo para 0 x π2 cos x sin x x 1 Tomando o limite quando x 0 sabese que lim x0 cos x 1 Pelo Teorema do Confronto lim x0 sin x x 1 Para x 0 usase a paridade das funções seno e identidade sinx x sin x x sin x x Assim o valor à esquerda coincide com o valor à direita e como já se mostrou que o limite à direita é 1 concluise que lim x0 sin x x 1 Como os limites laterais são iguais a 1 temse lim x0 sin x x 1 QUESTÃO 6 Admitase que para todo x R vale gx x 4 Desejase calcular lim x0 gx x Para x 0 usase a propriedade do valor absoluto com divisão gx x gx x x4 x x 3 Observase que lim x0 x 3 0 Aplicase diretamente a definição εδ Seja ε0 Escolhese δ min 1ε Se 0x0δ então xδ 1 Dessa forma x1 x3 xxx 4 x x x2 x Com a estimativa anterior gx x x 3 x ε pois xδ ε Logo pela própria definição do limite lim x0 gx x 0 QUESTÃO 7 Seja f R R dada por fx x x Q x x Q Primeiro mostrase que lim x0 fx 0 Para qualquer x fx x x Q x x x Q logo fx 0 fx x Dado ε0 escolhese δ ε Se 0x0δ então fx 0 x ε o que é exatamente a definição εδ do limite igual a 0 Alternativamente observase a dupla desigualdade válida para todo p p fp p e como lim p0 p0 e lim p0 p0 o Teorema da Ordem também conhecido como Teorema do Confronto dá lim p0 fp0 Em seguida provase que lim pa fp não existe se a 0 Usamse a densidade de Q e de R Q existem sequências qn Q e rn R Q com qna e rna Calculase fqnqna e frnrna Se lim pa fp existisse seria único e coincidiria com todos os limites por sequência que se aproximam de a Assim deverseia ter aa isto é 2 a0 e portanto a0 o que contradi a 0 Logo o limite em a 0 não existe Observase que em qualquer vizinhança de a p fp p quando p0 e p fp p quando p 0 ou de forma unificada p fp p Aplicando o Teorema da Ordem às funções p e p cujos limites valem a e a quando p a obtémse a lim inf pa fp lim sup pa fp a Quando a 0 temse aa isto é os dois candidatos naturais vindos das aproximações racionais e irracionais são diferentes a e a o que impede a existência de um único limite Quando a0 ambos coincidem e pelo mesmo teorema concluise o valor 0 para o limite QUESTÃO 8 Desejase mostrar pela definição via sequências que para fp 1p vale lim p0 fp Pela definição sequencial de limite à direita devese provar que para toda sequência pn com pn 0 para todo n e pn0 temse fpn Isso significa para todo M0 existe NN tal que se n N então fpn M Tomase uma sequência arbitrária pn com pn0 e pn0 Seja M0 dado Como pn0 pela definição de limite de sequência existe NN tal que se n N então pn 0 1M Como pn0 a desigualdade acima equivale a 0 pn 1M Tomando recíprocos o que preserva a desigualdade porque todos os termos são positivos obtémse 1pn M Portanto para n N fpn 1pn M Como M0 foi arbitrário concluise que fpn para toda sequência pn com pn0 e pn0 Pela definição via sequências isso demonstra que lim p0 1p