Lista 2 - Pesquisa Operacional 2 2022-1

1 Lista 2 Exercicios PO II Junho 22 Processos Markovianos Discretos no Tempo Discreto Exercicio 1 : Chuvendo? Suponha-se que em certa região, com base em observações históricas, a probabilidade de chover amanhã depende apenas de estar ou não chovendo hoje e independe das condições do tempo em dias passados. Suponha ainda que se chove hoje, choverá amanhã com probabilidade 0,65 e que se não chove hoje, choverá amanhã com probabilidade 0,30. - Caracterizar o processo de Markov correspondente, dar a matriz de transições e construir a cadeia de Markov. - Indicar a media, em regime permanente, da probabilidade de chover hoje. Exercicio 2 : Vacinação contra a gripe Admita que as pessoas vacinadas contra a gripe se podem classificar num dos três estados seguintes: A - Muito constipada; B - Pouco constipada; C - Não constipada. Note-se que o estado em que se encontram numa dada semana s ́o depende do estado na semana anterior. A matriz de transi ̧c ̃ao que descreve aquele processo ́e: (a) Defina a matriz representativa das probabilidades condicionadas de estar no estado j ao fim de 3 semanas dado que esta’ inicialmente no estado i. . (b) Considere na semana 1 um individuo vacinado contra a gripe que não esta’ constipado. Qual a probabilidade do individuo estar em cada um dos estados descritos, ao final de 3 semanas? Exercicio 3: Tem um rato em casa! O rato se move de tal forma que em cada sala, ele escolhe uma das salas adjacentes (cada uma com a mesma probabilidade) e corre para lá (os movimentos ocorrem nos momentos n = 1, 2, . . .). Este é o aspecto do apartamento: 2 Os cômodos são o hall (H), a cozinha (C), o banheiro (B), o quarto (Q) e a sala (S). Podemos colocar duas armadilhas - uma maliciosamente instalada no quarto e a outra na cozinha, uma vez que realmente não deveríamos ter um rato lá. Assim que o rato entra em uma sala com uma armadilha, ele é pego e nunca vai correr para outra sala. Denote por Xn a posição do rato no instante n. 1) Classifique os estados da cadeia de Markov X = (Xn, n ∈ N0)e calcule a matriz de probabilidades de absorção U. Suponha agora que abrimos a porta da sala (S) para o jardim (J). Uma vez que o rato sai do apartamento e entra no jardim, ele nunca mais entrará. 2)Se o rato começa no banheiro, qual é a probabilidade de que ele escapará do apartamento antes de ser pego em uma armadilha? Processos Markovianos Discretos no Tempo Continuo Exercicio 4 Seja taxas reais  > 0 e . Consideramos o processo Markoviano em tempo continuo sobre X = {0, 1, 2, ..., N} cuja cadeia de Markov é a seguinte: 1. Dê a matriz geradora G deste processo. 2. Determinar a distribuição estacionária do processo. 3. Este processo é reversível? 4. Consideramos o caso N = 1. Calcular Gn para todo n  N e deduzir o kernel da matriz de transição Pt para todo t ≥ 0. 5. Consideramos o caso N > 1, com  = . Para qualquer j  X definimos: 3 Usando as equações de Kolmogorov, expresse: em função de Pt(0; j) et Qt(j). Com o resultado de 4, deduzir Pt(0; j) e Qt(j) para todo j  X. Se distinguira os casos com j = 0 e com j > 0. 6. Seja i {1,2, …, N}, calcular: e deduzir a expressão de Pt(i; j) para todo j  X. SE pede distinguir os casos j = 0 e j > 0. 7. Cuanto vale Exercicio 5: Carros chegam a um posto de gasolina de acordo com um processo de Poisson com uma taxa de 20 carros por hora. A estação tem uma única bomba. Se um motorista encontrar a bomba livre,ele pára para reabastecer. A operação leva um tempo exponencial de média 6 minutos. Se a bomba estiver ocupada, mas nenhum carro estiver esperando, o motorista espera que a bomba é liberada. 1. Formule o problema como um processo Markoviano em tempo continuo e encontre sua distribuição estacionário. 2. Determinar o número médio de clientes atendidos por hora. 3. Que proporção de carros precisa esperar antes de poder reabastecer? o que proporção deve esperar mais de 2 minutos? Agora assumimos que qualquer motorista que encontre 2 carros na estação sai imediatamente. 4. Dê a distribuição estacionária do número de carros na estação. Qual é a probabilidade de um carro sair sem reabastecer? 5. Determine o tempo médio de espera e o tempo de permanência. Exercicio 6: O objetivo do exercicio é comparar dois tipos de tempo de espera com dois servidores. No primeiro caso, os clientes formam uma única fila e escolhem o primeiro servidor que é liberado (fila M/M/2). Assume-se que os clientes chegam através de um processo de Poisson de taxa , e que sejam servidos por um tempo exponencial de parâmetro = . 4 1. Determinar a distribuição estacionária da ilha. 2. Qual é a probabilidade de um cliente não precisar esperar para ser atendido? 3. Qual o tempo médio de espera antes de ser atendido? 4. Seja S o número de servidores ocupados. Determine E (S). No segundo caso, há uma fila propria a cada servidor. Os clientes escolhem um ou outro com probabilidade 1/2. 5. Explique por que, do ponto de vista do cliente, este caso é equivalente a um sistema M/M/1 com taxas /2 e . 6. Determinar a distribuição estacionária  do sistema. 7. Qual é a probabilidade de um cliente não precisar esperar para ser atendido? 8. Qual o tempo médio de espera antes de ser atendido? 9. Seja S o número de servidores ocupados. Determine E(S). 10. Compare os dois sistemas. __________________________________