Variável Aleatória Discreta

1 Variável aleatória discreta Com o objetivo de mostrar a relação entre a variável aleatória X e a probabilidade P(X) , iniciaremos o estudo de distribuições de probabilidade analisando alguns casos empíricos. A propósito, variável aleatória é uma fun- ção que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real. Para ser discreta, essa variável deve assumir valores em um conjunto enumerável. Exemplo: Consideremos o lançamento simultâneo de duas moedas, cujo Tabela: Relações entre evento, variável aleatória e probabilidade A figura abaixo ilustra a distribuição de probabilidade da tabela anterior: 2 O exemplo que será apresentado a seguir, mostra a estreita relação existente entre distribuição de frequência e distribuição de probabilidade. Exemplo : Após 30 dias de observações, o número de acidentes diários em um grande estacionamento de veículos foi catalogado. A tabela abaixo mostra os dados obtidos. Tabela: Distribuição de frequência de acidentes em um estacionamento As probabilidades são obtidas dividindo-se as frequências pelo total de observações. A tabela a seguir mostra a distribuição de probabilidade para este problema. Tabela: Distribuição de probabilidade de acidentes em um estacionamento Devemos ressaltar que a associação entre frequência relativa e probabi- lidade só é possível se o número de observações for suficientemente grande. Exemplo: No lançamento de dois dados são observados os números de pontos das faces que saem voltadas para cima. Definimos uma variável alea- tória X que é igual à soma dos pontos das faces de cima de ambos os dados. Os resultados possíveis são catalogados e estão apresentados na tabela a seguir. Tabela : Distribuição de probabilidade de X 3 A figura seguinte representa graficamente X × P(X), sob a forma de histo- grama. Figura: Distribuição de probabilidade do evento “soma dos pontos das faces de dois dados” A seguir, são apresentadas duas def inições fundamentais no estudo de processos estocásticos. Esperança matemática e variância de uma variável aleatória discreta Definimos esperança matemática de uma variável aleatória discreta X como a soma de todos os produtos possíveis dos valores da variável aleatória pelas respectivas probabilidades. Através da expressão (1) definimos a espe- rança matemática E(X). (1) 4 (2) Usando-se algumas propriedades da esperança matemática, pode-se ex- pressar a definição de variância conforme se vê em (3): (3) Distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas Nesta seção, serão estudadas as principais distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas, que são: distribuição hipergeométrica, dis- tribuição binomial, distribuição uniforme discreta e distribuição de Poisson. Iniciaremos o estudo de distribuições de probabilidade de variáveis aleatórias discretas com a distribuição hipergeométrica. Distribuição hipergeométrica A distribuição hipergeométrica é a distribuição de probabilidade dis- creta mais elementar. Ela é aplicável aos casos de amostragens sem reposição. Consideremos uma coleção de N itens, sendo que D desses itens tenham cer- ta propriedade, e o restante, N-D , não tenha essa propriedade. Se a amostra de n itens for retirada sem reposição, então a probabilidade de exatamente x eventos na amostra é obtida pela relação (4): (4) O valor esperado de uma variável hipergeométrica é dado pela expres- são : A variância de uma variável hipergeométrica é dada pela expressão : 5 Apresentamos a seguir um exemplo para ilustrar a aplicação da distri- buição de probabilidade hipergeométrica. Exemplo: Em um lote de doze peças do mesmo modelo, quatro são de- feituosas. Ao se retirar aleatoriamente duas peças, qual é a probabilidade de ambas serem defeituosas? A primeira pergunta que surge é se o experimento é feito sem reposição ou com reposição. Vamos resolver o problema considerando a primeira hipó- tese, que é o caso da distribuição hipergeométrica. Primeiramente, analisemos a retirada de duas peças por meio de um processo empírico. Para utilizarmos o método empírico direto, estabelecemos as seguintes definições: Agora, resolveremos o mesmo problema aplicando a definição de distribuição hipergeométrica. Supondo que não haja reposição no experimento, teremos a distribuição hipergeométrica. O experimento aleatório em que são retiradas peças defeituosas de um lote de peças é um exemplo típico de aplicação da distribuição hipergeométrica. 6 Dai: Esta é a probabilidade de retirar, sem reposição – retirar uma peça, não repô-la no lote e depois retirar uma segunda peça – exatamente duas peças defeituosas. Distribuição binomial Antes de introduzir a distribuição binomial, primeiramente vamos relembrar o desenvolvimento do binômio (p+q) elevado ao expoente inteiro n. Segundo o torema binomial, temos o somatório: 7 : Ao aplicarmos as expressões (1) e (2), concluímos que o valor esperado da distribuição binomial é np, e sua variância é npq. As condições para a aplicação da distribuição binomial são as seguintes: os eventos devem ser independentes e complementares, a probabilidade de sucesso de uma tentativa, p, e a probabilidade do insucesso, q, devem ser conhecidas e devem manter-se constantes no decorrer do experimento – isto é, deve haver reposição. A distribuição binomial de probabilidade é adequada aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: sucesso ou fracasso. A exigência que as probabilidades p e q sejam constantes é satisfeita tirando-se amostras e as repondo no universo amostral. Para ilustrar a distribuição binomial, consideremos o exemplo abaixo, que é o mesmo exemplo que o anterior com a diferença de que a primeira peça é reposta no lote antes de se retirar a segunda. Exemplo: Em um lote de doze peças do mesmo modelo, quatro são defei- tuosas. São retiradas aleatoriamente duas peças, uma após a outra, com reposição. Qual é a probabilidade de ambas as peças serem defeituosas? Consideremos que o sucesso consiste em retirar uma peça defeituosa do lote de doze, em que existem quatro defeituosas. Então, a probabilidade do 8 sucesso é p=4/12=1/3 para uma tentativa. Não retirar uma peça defeituosa corresponde à probabilidade complementar: Eis mais um exemplo de aplicação do modelo binomial: Exemplo: Considere um processo de fabricação em que a probabilidade de ocorrência de um item defeituoso é de 0,2. Se tirarmos uma amostra de vinte itens, qual é a probabilidade de ocorrerem menos de três itens defeituosos na amostra? A probabilidade de ocorrência de menos de três itens significa o seguin- te: nenhum item defeituoso, um item ou dois itens defeituosos. Portanto, apli- caremos a distribuição binomial conforme a seguir: A soma de termos de probabilidades exibida anteriormente é denomina- da probabilidade conjunta. Distribuição uniforme discreta Para um conjunto com n+1 elementos, a distribuição uniforme de pro- babilidade é dada pela relação : Esta relação é válida para os seguintes valores de X: 9 A média e a variância são, respectivamente: O exemplo seguinte mostra como são feitos os cálculos de probabilidades com a distribuição uniforme discreta. Exemplo: Considere uma variável aleatória discreta que pode assumir os valores 3, 4, 5, 6 e 7. Supondo-se que a distribuição de probabilidade dessa variável seja uniforme, qual é a probabilidade de que a variável aleatória te- nha o valor 4? Qual é a probabilidade de que a variável tenha valores menores ou iguais a 6? Determine também a média e a variância. Para este exemplo, determinamos o valor de n: Dado que a distribuição é uniforme, a probabilidade de que uma variá- vel aleatória tenha um valor particular dentre os valores possíveis para X é a mesma para qualquer outro valor. Neste exemplo, a probabilidade de que a variável tenha valor 4 é: A probabilidade de que a variável aleatória X tenha valores menores ou iguais a 6 é a probabilidade de termos os números 3, 4, 5 ou 6: A média e variância são respectivamente: 10 Distribuição de Poisson Em muitos casos, conhecemos o número de sucessos; porém, torna-se difícil e, às vezes, sem sentido determinar o número de fracassos ou o número total de tentativas. Por exemplo, considere automóveis que passam num cruzamento. Podemos, em um dado intervalo de tempo, anotar quantos carros com uma determinada característica passaram pelo cruzamento específco. Porém, o número de carros que deixaram de passar pela esquina não poderá ser determinado. A distribuição de Poisson é usada nas situações probabilísticas em que a área de oportunidade de ocorrência de um evento é grande, mas a oportunidade de ocorrência em um intervalo particular – ou em um ponto particular – é muito pequena. Os experimentos de Poisson fornecem valores numéricos de uma variável aleatória X que representam o número de sucessos que ocorrem durante um dado intervalo de tempo ou em uma região especificada. Se for tempo, o intervalo de tempo pode ser de qualquer ordem de grandeza, como um minuto, um dia, uma semana, um mês ou mesmo um ano. Se for uma medida geométrica, a região especificada pode ser um segmento de reta, o volume de um sólido, um pedaço de material etc. Assim, um experimento de Poisson pode gerar observações para a variável aleatória X que representa o número de chamadas telefônicas por hora recebidas em um escritório, ou o número de vezes que uma escola fica sem luz elétrica durante um ano. Em outras palavras, a distribuição de Poisson descreve o número de vezes que ocorre um evento que, embora certamente possa ocorrer muitas vezes, é pouco provável que ocorra em um particular instante de observação. Essa característica é típica de chegadas em uma fila de espera. A probabilidade de x ocorrências em um processo de Poisson com pa- râmetro α é definida pela relação: Os histogramas mostrados nas figuras abaixo ilustram distribuições de probabilidade de Poisson para quatro diferentes valores de . A abscissa é a variável x. 11 Histogramas da distribuição de Poisson para quatro valores do parâmetro  Na distribuição de Poisson, a média e a variância são, respectivamente: Iremos, a seguir, interpretar f isicamente os parâmetros da distribuição de Poisson através de exemplos. Exemplo: Uma fila de atendimento de um pronto-socorro recebe em média quatro acidentados por hora. Qual é a probabilidade de chegar em uma hora até dois acidentados? 12 Exemplo : Em um processo de fabricação de componentes eletrônicos em que o número médio de defeitos por componente é dois, qual é a probabilidade de um componente ter exatamente seis defeitos? .Exemplo: Uma companhia de seguros estima que 0,005% de uma popu- lação sofra a cada ano de certo tipo de acidente. Qual é a probabilidade de a companhia ter de pagar a mais do que três pessoas, dentre as dez mil segura- dos contra este tipo de acidente, em um dado ano? Fonte: INTRODUÇÃO À PESQUISA OPERACIONAL Antonio C. Baleeiro Alves, Universidade Federal de Goiás, 2010