Teorema da Probabilidade Total

1 Fonte: Bertolo, Estatistica Aplicada, IMES, SP, 2012 2 Exemplo 1: 3 Exemplo 2: Exemplo 3: 4 Exemplo 4: 5 Generalização de: 𝑷(𝑨|𝑩) = 𝑷(𝑩 ∩ 𝑨) 𝑷(𝑩) 6 Exemplo 1: Tabela de calculo: Exemplo 2: Um técnico em aparelhos elétricos faz consertos em domicílio e deve consertar um ferro elétrico na casa de um cliente. Ele avalia que o defeito deve estar na tomada de força da área de serviço, no cabo de força de alimentação ou na resistência do ferro. Por experiência, ele sabe que as probabilidades do defeito estar na tomada, no cabo ou na resistência são de 20%, 50% e 30%, respectivamente. Pensando em termos de ferramentas e peças de reposição do estoque que ele carrega, ele imagina que se o defeito for na tomada a probabilidade de conserto é de 95%. Se for no cabo de força é de 70% e se for na resistência é de 20%. a. Qual a probabilidade de o técnico consertar o ferro no local com os seus recursos? b. Qual a probabilidade do defeito ter sido no cabo de força, se o técnico conseguiu realizar o conserto? c. O técnico chama o cliente e apresenta o ferro consertado. Perguntado do defeito, ele diz que teve que trocar a resistência (conserto mais caro). Qual a probabilidade de ele estar sendo sincero? Solução Definindo os eventos CS: consertar o ferro T: defeito na tomada C: defeito no cabo R: defeito na resistência a. Queremos a probabilidade de consertar, qualquer que seja o defeito. Pelo teorema da probabilidade total, temos: P(CS) = P(CS|T).P(T) + P(CS|C).P(C) + P(CS|R).P(R) = 0,95 * 0,20 + 0,70 * 0,50 + 0,30 * 0,30 = 0,60 b. Neste caso, a condição dada é que o ferro foi consertado. Devemos, então, calcular a probabilidade condicional do defeito ser no cabo. P(C|CS) = P(CS|C).P(C) ---------------- P(CS|T).P(T) + P(CS|C).P(C) + P(CS|R).P(R) 0,70 * 0,50 = ------------------------- 0,95*0,20 + 0,70*0,50 + 0,30*0,30 0,35 = ----------------------- 0,60 = 0,58 Resolvendo por meio de uma tabela: Ai | P(Ai) | P(CS|Ai) | P(CS|Ai).P(Ai) | P(Ai|CS) ----------------------------------------------------------- cabo | 50% | 70% | 0,50x0,70=0,350=35% | 0,350/0,600=0,5833=58,33% ----------------------------------------------------------- tomada | 20% | 95% | 0,20x0,95=0,190=19% | 0,190/0,600=0,3167=31,67% ----------------------------------------------------------- resistência | 30% | 20% | 0,30x0,20=0,060=6% | 0,060/0,600=0,1000=10,00% ----------------------------------------------------------- Σ | 100% | 185% | SOMA=P(CS) = 0,600=60% | Prob. de uma defeito escolhido ao acaso ser no: Prob. de ser consertado dado que o defeito é no dispositivo Prob. de ser consertado e o defeito ser no dispositivo Prob. de ser no dispositivo dado que foi consertado c. A probabilidade que queremos é a do defeito estar na resistência, dado o fato que o ferro está consertado, o que é calculado pela probabilidade condicional: P(R|CS) = P(CS|R).P(R) ---------------- P(CS|T).P(T) + P(CS|C).P(C) + P(CS|R).P(R) 0,30 * 0,30 = ------------------------- 0,95*0,20 + 0,70*0,50 + 0,30*0,30 0,09 = ----------------------- 0,60 = 0,10 A probabilidade da informação estar correta é de 10% 8 Exemplo 3: 9 Exemplo 4: 210 preferem o veiculo A, 230 o veiculo B, 160 o veiculo C. 90 preferem os veiculos A e B, 90 preferem os veiculos A e C, 70 prefirem os veiculos B e C. 120 não prefirem nenhum deles. 10 ______________________________