Lista 8 - Cálculo 4 - 2023-2

LISTA 8 Cuansiormadas de Laplace Inversa GMA Calculo IV - 2023.2 cae Determine a transformada inversa das seguintes fungoes 2s —6 1 Loi. —_ Lot. —___ (a) {azo} (°) {asa} +1 2s +4 b) 2-12 27 f) gor J (b) {au} (f) (s — 2)(s? + 4s + 3) 4 8 col 2s—1 () £ zeus} (8) {seri 1 (s+1)? d) £-1 < ——______ h) £71 4 —__ (d) \e@epexo} (h) ie Encontre a transformada inversa da funcgao dada, usando o teorema da convolugao (a) F(s)= > (b) F(s) , 3) = —>— $3) = ————.—_ s*(s? +1) (s + 1)(s? + 4) Calcule 2 4 so +1 4 s+1 3 b) £71 tg | —— 6° (wots (S55) Ache dois jeitos diferentes de calcular: 1 Lot {| ——_. }. (5x05 - 5) Durante todo este problema, utilize 1l,seO<t<l ft) = { 0, caso contrario. e tome g(t) = t + cos(27t) apenas para t > 0 (suponha g(t) = 0 para t < 0). (a) Calcule h(t) = (f * g)(t) usando diretamente a definigéo de convolugao. [Dica: cuidado com o caso 0<t<l] 1 (b) Determine H(s) = L{h(t)}. A figura abaixo apresenta os graficos de g(t) (azul) e h(t) = (f * g)(t) (vermelho). 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 (c) Explique em palavras (usando a ideia de média mével) porque (f * g)(t) tem comportamentos distintos para0 <t<1leparat>1l. (d) Para t > 1, a convolugdo com f eliminou a oscilagéo do termo com o cosseno, mas reduziu o termo em t para t — 5 Explique em palavras porque esta redugao acontece. (e) Em particular, se q(t) fosse uma fungao decrescente, quem seria maior quando t > 1: (f * q)(t) ou q(t)? Explique. (a) Usando a linearidade da trasformada de Laplace inversa temos: 25—6 8 3 =H _ 9-1 = _ a € rs 5) oe (= rn 5) —2£ € nm 5) = 2cos(3s) — 2sen(3s). (b) Vamos usar frag6es parciais e escrever stl _A i" B stds 5g —4’ para constantes reais A e B. Isso implica que s+ 1 = (A+ B)s — 4A, logo A= -1/4e B=5/4. Assim stl 1 1\ 5 1 1 5e** Lo} iS es es > =e _ — — (345) 4 (5) +3 s—4 4° 4 (c) Temos i a s?+4s+5 (s+2)?+1 (s+2)?4+1 “(s+2)24+1 e portanto Lo (asics) = e~**cos(t) _ 2e~*'sen(t). (d) Os polindmios s? + 1 e s? + 4 sao irredutiveis. Portanto, usando fragdes parciais, devemos escrever: 1 _ As+B 4 Cs+D (s?+1)(s?+4) 5241 s?+4? para constrantes reais A, B,C, D. Fazendo a conta obtemos (A+C)s? + (B+ D)s? + (4A+C)s+ (4B + D)=1, 2 que implica A+ C= B+D=4A+C=0c4B+D=1,e portanto A= C=0, B=1/3,e D= —-1/3. Alternativamente podemos chamar u = s? e procurar constantes reais A, B tais que ot AB (utl)(ut+4) util = ut4’ logo A(u+ 4) + B(u+ 1) = 1. Dando u = —1 encontramos B = —1/3 e dando u = —1 encontramos A = 1/3. Entao obtemos 1 -1 1 11 (s?+1)(s?+4) 35241 35244 e portanto co 1 _ 1-1 1 _ 1 pi 2 _ sen(t) _ sen(2t) (s? + 1)(s? + 4) 3 s?+1 3-2 s2?+4 3 6 (e) Usando a formula L(e f(t)) = L(f)(s — a) com f(t) = t?, e sabendo que L(t?) = 2/s? obtemos: Loi oe = Lp ae = et (s + 2)8 2 (s + 2)3 2 (f) Temos s? + 4s + 3 = (s + 1)(s +3). Vamos usar fracgdes parciais e escrever eed AB (s—2)(st+1)(s+3) s—-2 s+1 543’ para constantes reais A, B e C. Isso implica 2s +4 = A(s+1)(s +3) + B(s— 2)(s+3)+O(s—2)(s+1). Para s = —1 temos 2 = —6B, ou seja B = —1/3. Para s = —3 temos —2 = 10C, ou seja C = —1/5. Para s = 2 temos 8 = 15A, ou seja A = 8/15. Assim Lo} a ~ 8,1 = Ep — _ Let — _ bet et eo (s — 2)(s? + 4s + 3) 15 s—2 3 s+1 5 s+3 15 3 5 (g) Vamos usar fragdes parciais e escrever ’-1 A,B,C. D , &£ st(s+1)3 8 52 s+1 (s+1)2 (s+1)3” Usando os valores especiais s = 0 e s = —1 obtemos B = —1e EF = —3. Além disso, Obtemos A+ C = 3A+4+2C+ D—-1=3A+C+D-6=0e A—3=2. Logo A=5,C=—5,D=~—4, e entao 2s—1 5 1 5 4 3 Lt (| =, } =£1(-)-271 (4) -277 (| —) -£71 (| — ) - 271 (| — a) = (acy) (2) 8? s+l1 (s +1) (s+ 1)3 3 =5—-t—5e*—4e*t — 5° (h) Escrevemos (s+1)? _(s+2-1)? _ (s+2)?-2%s+2)+1 1 2 1 1 (s+2)3 — (s+2)8 (s+ 2)8 ~ (s+2) (s+2)? © (s+2)3° Logo +1) fl _ 1 _ 1 _ op, ent? cot (s a ae _9r-} cot — eo 2t _ 9¢-2t4 ; (sh s+ (s4+2)2) 7 (s4ae) © ceTR SS 3 (a) Temos c-r(s)) = £2 (4.2) =c2(c(©) - cena) = © «sen(t) st s%+1 6 6 Portanto 3 Sus L-'(F(s)) = — *sen(t) = | —sen(t — u)du 6 > 6 Estamos com a integral do produto de um polinomio e de uma fungao trigonometrica. A estratégia padrao é de fazer integracoes por partes para fazer baixar o grau do polinomio até que este fique uma constante. Pus ue ’ ‘uP | —sen(t — u)du = cost — w) — | —cos(t — u)du o 6 6 0 Jo 2 3 —u? ' ‘ =—- [sent — | +f —usen(t — u)du 6 | 2 > Jo ‘3 ‘ ‘ = G7 [ucos(t — u)]y + | cos(t — u)du 0 £3 = a7 t + sen(t) (b) Temos _ _ 1 1 _ _ sen(2t) _,. sen(2t) sen(2t) _ lip —~p-lf_+_,_+ _)_p-i t). ea ee a oe t L'(F(s))=L sal Pad L L(e*)-£ 5 ew*— 5 *e Portanto 1 t et t L-'(F(s)) = sf e **sen(2u)du = | e“sen(2u)du 2 Jo 2 Jo Vamos calcular fe e“sen(2u)du. Temos t t t t | e“sen(2u)du = | sen(2u)de" = [e“sen(2u)]§ — 2 | e“cos(2u)du = e'sen(2t) — 2 | cos(2u)de™ 0 0 0 0 t t = e'sen(2t) — 2[e“cos(2u)|§ — if e“sen(2u)du = e’sen(2t) — 2e'cos(2t) + 2 — af e“sen(2u)du 0 0 e portanto ‘ 1 2 2 | e“sen(2u)du = —e’sen(2t) — =e’cos(2t) + =. 0 5 5 5 Deduzimos que 1 1 1 —1 _ + _ 2 i o-t L~°(F(s)) 19 en (24) 5 C08( t)+ ze Antes de passar a resolver o exercicio 3, vamos lembrar a formula: n n d LU FU) = (“1)" FLV). Em particular, para n = 1 e chamando F(s) = £L(f)(s) temos d L(ef(t)) = - TFs). S 4 Notando que f(t) = £~1(F(s)) e aplicando a transformada de Laplace inversa nos dois membros, obtemos L-'(F(s)) = £7? (“2 r(s)) > c>(F(s)) = te ( 2 PVs) ds t ds (a) Temos 2+1 1 d +1 1 d d (nf 2 = )) 2-07 (2 m( 2 *~-)) =--c71 ( Sin(s? 41) — S n(s? 4.4 f (m(S45 i” ds \s2+4 i” ds n(s' +1) ds n(s' +4) 14-4 2s 2s 1 (b) Temos 3 1 d 3 =il ee ee oO L (axety (35)) iF (Zarets (5)) a = Lp a = tet (Hs ) = 1 6 2tsen(3t). t 1+ Gra? t (s ale 2) +9 t (c) Temos Loin cae — lp ain cae —~ fp _s_s—~(s+1) _ lp a 8 t ds 8 t s+l s? t s(s +1) 1.,f/1 1 1 4 == ~—~—_) = -(1-e"). i” € s+ :) p(t—e™) Com as fragoes parciais temos: _ 1 _1(-1/5 2/15 1,,/1\).21,_ 1 1 e2 1 5 1f_ * ype (RP Ale) tpi ft), 4 2p-1(_* \) 2 ee 8 FS t_y £ (sas) £ ( 3s + J. ip” (+)+z 3% (45) 1st 15 5 (° ) Outro jeito é usar convolugao: 1 1 1 1 5 1 5 5, L Lot { ——— ) = 271 ff — ..— —_ J = 2 e[ —)- 2 e2*) ) = — *e2?* = 3 eK. (sa=5) (5 <a) 6 (« ) 6 SG Mas ' Pr ei ae te e2" x an ail e2"du = a5 b= 15” —1). (a) Como f(t) = 0 quando t < 0 out > 1, temos f(t — u) = 0 quando t < u out > u+1. Assim podemos escrever: : : (feat) =f fe-wglujdu= [glu 0 j=il Agora precisamos separar em dois casos: se t > 1, temos ambos os limites de integragaéo positivos e podemos usar g(u) = u+cos(27u). Assim: t 2 sin(2ru) |“ 2_(f-1)? sin(2rt) — sin(2a(t — 1 1 (rege) = f u+cos(2mu)du = ul, sin( Tu) _t (¢—1) Bin( mt) — sin(27r(t )_,_1 t-1 2 20 me=iil a 27 a 5 Agora, se 0 < ¢t < 1 a integral inicia de t— 1 < 0, e g(u) = 0 para u < 0. Assim ficamos com: t 2 : ust 2 o sin(2 t sin(2rt (f+ 9)(t) = fu + cos(2mu)du = uw, sin@nu) — 1, sin@nt) 0 a 27 |p) 2 20 Em suma, juntando tudo: t—Z,sel<t (fea) ={ ie Pinter FZ +, seO<t<t. (b) Basta multiplicar F'(s) por G(s). O primeiro pode ser calculado assim: °° ' e *-1 F(s)= | f(je "dt = | edt = ——— 0 0 = enquanto o segundo pode ser obtido diretamente da tabela 1 8 G(s) = = + =—} (s) 8? + s? +41? Assim Cie 1 8 H(s) = Fs) Gs) = =". (54+ 55,5) (c) Lembremos que (f * g)(t) pode ser interpretado como a média de g(u) entre u=t—1leu=t. Quando t —1 <0, isto inclui um trecho (em (t — 1,0)) onde g = 0, 0 que altera o comportamento de (f * g)(t). (d) Ao calcular (f * g)(t), como o cosseno é eliminado, estamos de fato calculando a média mével da fungao p(u) = u. Como a janela definida por f faz a média mével 1 dia para o passado, onde p(u) tinha valores menores do que p(t), é de se esperar que px f < p. Em suma, a média de u entreu =t—-leu=téu=t— 3; explicando a aparente “queda” de p(u) = u apos a convolugao. (e) Analogamente, se q(t) for decrescente, a média de gq no intervalo (t — 1,t) deve ser maior que o valor de q no extremo direito do intervalo. Assim, esperamos que, para esta escolha de f, (f * q)(t) > q(t). 6