Lista 9 - Cálculo 4 - 2023-2

LISTA 9 Funcao degrau unitario. G M A Caleulo IV - 2023.2 Transtormada de Laplace da fun- DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA ¢ao degrau unit aro. Calcule a transformada de Laplace das fungoes cujo grafico aparece a seguir: 1 f(t) 1 f(t) 5 wv (a) 1 2 3 4 (b) = sent Calcule a transformada de Laplace das seguintes fungoes: 0, seO<t<l, 0, se0O<t<l, (b) f(t)= 4,5 2, sel<t<2, t—2t+2, set>1. (a) f() = 1, se2<t<3, 3, set>3. Calcule a transformada de Laplace das seguintes fungoes: (a) f(t) =e? “U(t — 2) (c) f(t) = (t-1)’e'UE - 1) (b) f(t) = cos(2t)U(t — 7) (d) f(t) = (t — 3)U(t — 2) — (€-— 2)U(t — 3) Determine a transformada de Laplace inversa da fungao dada: ets eos + e725 _ e388 _ e 4s e2e7 48 (a) F(s)= 5 (0) F(s) - () F(s) = (b) F(s) = 2 —— (a) F(s) = Ge = 29) ce ~ 25-1) ~ (si +1) () Fs) = 3-4 Considere as funcoes t f(t)=1-U(t-1), g(t) = | f(r)dr, h(t) = g(t) —U(t— 1)g(t — 1), 0 todas com dominio t > 0. Esboce os graficos de f(t), g(t) e h(t), e calcule as suas transformadas de Laplace. 1 (a) A fungao esta definida por 0, seQ<t<l, t-1, sel<t< 2, b) = 7 I) 3-—t, se2<t<3, 0, se t > 3. Se consideramos s6 os intervalos 0 <t<lel<t < 2, a fungao coincide com f)(t) = U(t — 1)(t — 1). Agora, para coincidir com f(t) no intervalo 2 < t < 3, temos que pegar f(t), e a partir de ¢t = 2, somar 3—t esubtrair t—1. Assim, temos a fungao fo(t) = U(t—1)(t-—1) + U(t—2)(3—t) —U(t—2)(t—1). Agora, f(t) nao coincide com f(t) no intervalo t > 3. Para isto, temos que, a partir de t = 3, subtrair 3—ta fo(t). A fungao fica entao definida por U(t—1)(t — 1) + U(t— 2)(3 —t) —U(E— 2)(t-1) —U(E—3)(3 —- 2). Fatorando os termos, a fungao se escreve como f(t) =U(t —1)(¢- 1) + U(t — 2)(4 — 2t) — U(t — 3)(3 -t). Calculando a transformada de Laplace, L{f(t)} = L{U(t — 1)(t — 1) + U(t — 2)(4 — 2t) — U(t — 3)(3 —-t)} = L{U(t — 1)(t- 1) — 2U(t — 2)(t — 2) + U(t — 3)(t — 3)} = L{U(t — 1)(t— 1)} — 2L{U(t — 2)(t — 2)} + L{U(t — 3)(t — 3)} _ e78 2e725 e738 e738 _ 2e725 ae e78 ee GT =e (b) A fungao esta definida por 0, se0<t<%, f(t) = - sen(t), set> 4. Assim, a fungao pode ser escrita como f(t) =U (t — ) sen(t). Gostariamos escrever, no lugar de sen(t), uma fungao calculada em ¢ — 3, de forma a usar a propriedade da transformada de Laplace da fungao degrau produto com uma outra funcao. Usando a formula do sen(a + b), temos (ys (t- $4) oa ('-9 sen(t) = sen 5 + 5) = 08 5): Portanto, Lif (t)} = L{U (t - =) cos (t - 5} =e 2°L{cos(t)} _ e288 st. (a) Analisaremos cada linha da definigéo de f(t), para determinar como podemos escrever essa fungéo usando as fungdes degrau. Comecgamos com o intervalo 0 < t < 1. Neste intervalo, a fungdéo é 0. A seguir, no intervalo 1 < ¢t < 2, a funcgao vale 2. Entao terfamos, até agora, f(t) = U(t — 1)2. Se pardssemos por aqui, a fungao U(t — 1)2 coincidiria com f(t) em 0 < t < 2. O problema, no entanto, é que no intervalo 2<t<3a funcdo U(t — 1)2 valeria 2, enquanto que a fungao f(t) valeria 1. Portanto, a partir de t = 2, temos que pegar a fungao U(t — 1)2 , subtrair 2 e somar 1. Isto seria U(t —1)2 —U(t — 2)2 + U(t —2)1. Se pardssemos aqui, a funcgéo U(t — 1)2 — U(t — 2)2 + U(t — 2)1 coincidiria com f(t) em 0 <t < 3. Mas nao para t > 3 pois, neste intervalo, U(t — 1)2 — U(t — 2)2 + U(t — 2)1 vale 1. Para que fiquem iguais, terfamos que pegar U(t — 1)2 — U(t — 2)2 + U(t — 2)1 e, a partir de t = 3, subtrair 1 e somar 3. Isto nos 2 daria U(t — 1)2 — U(t — 2)2 + U(t — 2)1 — U(t — 3)1 + U(t — 3)3. Esta tltima fungao coincide com f(t) para todo t > 0. Fatorando os termos, podemos entao escrever a igualdade f(t) = U(t —1)2 —-U(t— 2) + U(t — 3)2. Calculando a transformada de Laplace temos, L{f(t)} = L{U(t — 1)2 — U(t — 2) + U(t — 3)2} = L{U(t — 1)2} — L{U(t — 2)} + L{U(t — 3)2} MS gh Nets ) Cm ee) omar “ss ) ss (b) A fungao f(t) pode ser escrita como f(t) =U(t—1)(# — 2t+ 2) = U(t—1)[(¢-— 1)? +1]. Calculando a transformada de Laplace, temos Lif (t)} = L{U(E — I(t - 1)? + 1} = L{U(t-1(t- 17} + L{U(t- Y} =e *L{t}+e Li} 2e-* ee 8 2+ s*)es -3+o-Oe oS (a) —2s L{eU(t— 2)} = Le" Ut — 2)} =e Le} = (b) —ns L{cos(2t)U(t — 7)} = L{cos(2(t — 7))U(t — 7) } = e ** L{cos(2t)} = a (c) L{(t—-1)%e'U(t-1)} = L{(t-1)% ete "e'U(t—-1)} = Lf{e'(t—-1)%e" 'U(t—-1)} = ee *L{t e"} = — (d) L{(t — 3)U(t — 2) — (t — 2)U(t — 3)} = L{(t — 2 — 1)U(t — 2) — (t-—34+ 1)U(t - 3)} =L{(t — 2)U(t — 2)} — L{U(t — 2)} — L{(t — 8)U(t — 3)} — L{U(t — 3)} e728 e728 e738 e738 e725 7 e738 e728 _ e738 “ge se? tC<“—stSSSOC (a) _. lon {sn} = U(t — 1) sen(t — 7) 3 (b) Temos que 1 A,B s*(s—1) sg 8% s—-1° Entao 1 = As(s — 1) + B(s — 1) + Cs?. Substituindo s = 1, temos que 1 = C. Substituindo s = 0, temos que 1 = —B. Assim, C = 1 e B = —1. Podemos agora susbtituir qualquer outro ntimero diferente de 0 e 1. Por exemplo, para s = —1, temos que 1 = 2A —2B+4C. Concluimos que A = —1. Portanto, —2s —2s —2s —2s Lo} e me —e Lo} —e Lo} e {ay} S + 8? + s—l = —U(t — 2) —U(t —2)(t —2) + UG —2)e". (c) co evs + e728 _ e738 _ e748 _p-1 eo 1 co e728 _ co e738 _ co e 48 8 8 8 8 8 =U(t — 1) + U(t — 2) —U(t — 3) —U(t—4) (d) Escrevendo 387s +2 _ A in Bs+C (s—1)(s2+1) s-1 5241’ temos 3s? — s +2 = A(s? +1) + (Bs +C)(s—1). Fazendo s = 1, obtemos 4 = 2A, ou seja, A = 2. Por outro lado, 3s? — s+ 2 = (A+ B)s? + (C — B)s +(A—C). Portanto, A=2, A+B=3, C-B=-1e A-C=2. Concluimos que B = 1 e C = 0, de forma que 387 s+2 _ 2 i" s (s—1)(s?+1) s—-1 s241° Calculando a transformada de Laplace inversa, ~§(3s2 — s + 2) 2e7* e 8s Lo e€ ( —foi Lo Se g-if st+] =2U(t — 1)e’~' + U(t — 1) cos(t — 1). 2,—4s 2 ,—4s (e) Temos que F'(s) = — = T5ot Entao _ Ce ge e t-4 1 a 4 2 (f) Como £ >= Pf = senh(2t), s*—A4 = 2e—3s 4 A fungao f(t) esta definida por 1, seO<t<l a = % —_— % PO) ‘e set>1. Agora, para a fungao g(t) temos, se0 <t <1 t t g(t) =} f(t)dr =| ldr =t, 0 0 ese t > 1, temos que t 1 t g(t) = | f(r)dr = | ldr +/ Odr = 1. 0 0 1 Assim, t see0O<t<l a = 9 —_— % at) ‘* set>1. g(t) 1 F(t) s 1 2 3 4 1 2 3 4 Observe que t-1, seO<t-1<1, t-1, sel<t<2, g(t —-1) = = 1, set—1>1, 1, set > 2. A fungaéo U(t — 1)g(t — 1) é a translagao 1 unidade a direita de g(t), com valor 0 para os valores menores que 1. Assim, 0, seQ<t<l, U(t—l1jg(t-1)=4t-1, sel<t<2, 1, set > 2. Portanto, t —0, se0<t<l, t, se0<t<1, A(t) = g(t) —U(t-l1g(t-1)=41-(t-1), sel<t<2,= 42-t, sel<t<2, 1-1, set > 2, 0, set > 2. 1 h(t) 1 A 3 4 5 Calculando as transformadas de Laplace temos 1 e% l—e* =L{1-U(t—-1)} = —-—- — = —*_ L{s()} =£{1-U(b-} = =- =, 1 e * l-e* L{o()} =L{t-Ut-Nt-} = 4-S = —s —s l—e* : £{H(t)} =L{9{0) — U(t alt — Y} = Lto(O} —e-*Ltolw)} = Lol} — et) = PT Note que poderiamos ter calculado a transformada de g(t) usando a propriedade L{ fs f(ujdu} = Fis) 6