Área entre Curvas: Técnicas de Primitivação - Aula 08

Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Cálculo Diferencial e Integral Aula 08 Cálculo de ÁreasTécnicas de Primitivação Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Agronomia Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Area entre Curvas Técnicas de Primitivacao OO0000000000000000 OOOO0OCNO00000000000 Definicao 11 A area A entre a regido limitada pelas curvas y fx e y gx e pelas retas x aexb onde f e g so continuas e fx gx para todo x a b é b A fx gx dx a Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 11 Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x 0 x 1 y 0 e pelo gráfico de f x x2 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 12 Encontre a área da região limitada pelas curvas y senx y x x π 2 e x π Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 13 Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f x x3 pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 1 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 14 Encontre a área da região limitada pelas curvas y x2 e y x2 4x Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Area entre Curvas Técnicas de Primitivacao OOODD000000000000 OOOO0OCNO00000000000 Exemplo 15 Encontre a area da regido limitada pelas curvas y senx e y cosx no 1 intervalo 0 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 16 Encontre a área da região limitada pelas curvas y ex y x2 1 x 1 e x 1 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Observação 11 Muitas vezes os problemas ficam mais simples de resolver se integramos em relação a y e não em relação a x Seja R a região plana limitada pela direita pela função x My pela esquerda por x Ny e pelas retas y c e y d Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Exemplo 17 Calcule a área da região limitada pelas curvas y 2 2x e y x 4 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Area entre Curvas Técnicas de Primitivacao OCOODOOO0O0CC0C0C00e OOCOONDOCO000C000000 Integracdo por Partes Exemplo 18 3 Calcule x3 In x dx 1 Ao a eS cooe Técnicas de Primitivagao Integracdo por Partes Exemplo 18 3 Caleule x3 In x dx 1 Exemplo 19 Tv Caleule f eS sen 2t dt 0 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Integração por Substituição Como determinar uma primitiva Fx para f x 2x 1 x2 Entendendo dx como um diferencial podemos fazer a seguinte substituição u 1 x2 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Integração por Substituição Como determinar uma primitiva Fx para f x 2x 1 x2 Entendendo dx como um diferencial podemos fazer a seguinte substituição u 1 x2 Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Integração por Substituição du uxdx Logo du 2x dx Área entre Curvas Técnicas de Primitivação Integração por Substituição du uxdx Logo du 2x dx Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo 2 2 ext dx 1 x KS Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo 2 2 ext dx 1 x KS a JuduC 2 Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo 2 2 ext dx 1 x KS a yeu 3zC 2 2 2 suet C ZVIFRP C BeeCOODSTOCSSESES SeouecoooojNGGGee Integracdo por Substituicdo Teorema 21 Suponha que u gx uma fun4o derivavel cuja imagem 0 intervalo f é continua em e F uma primitiva de f entdo Fex2x dx Fu du Area entre Curvas Mecnicaslcetfarimnitivaras Integracdo por Substituicdo Exemplo 21 Calcule ic 1 dx SESOSEOCECOTOOCESE SoonGe0oDoGEOOOD Integracdo por Substituicdo Exemplo 21 Calcule ic 1 dx Exemplo 22 Calcule 2xser x dx 00000000000000000 Becta ee Integracdo por Substituicdo Exemplo 21 Calcule ic 1 dx Exemplo 22 Calcule 2xser x dx Exemplo 23 Calcule J cosx 2 dx 00000000000000000 SeousoecoojbNIIS Integracdo por Substituicdo Exemplo 24 Sabendo que a 0 determine a Js ax dx b a x dx c eve Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivaras Integracdo por Substituicdo Exemplo 24 Sabendo que a 0 determine a 50 dx b a x dx c eve Exemplo 25 Determine oa rd Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo Exemplo 26 Determine sen xcosx dx Ore oe eS SoOoStesOCCCceSo Integracdo por Substituicdo Exemplo 26 Determine sen xcosx dx Exemplo 27 Determine so x cos x dx Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo Exemplo 28 Verifique que re xdeh cosx C Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo Exemplo 28 Verifique que re xdeh cosx C Exemplo 29 Verifique que sx dx Insecx tg x C Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Substituicdo Exemplo 28 Verifique que re xdeh cosxC Exemplo 29 Verifique que sx dx Insecx tg x C Exemplo 210 J Calcule Jey 1 x dx Ufra BeeCOODSTOCSSESES SeoussoooejNoOGee Integracdo por Substituicdo Teorema 22 Sejam f g funcdes definidas em um intervalo a b Se g for derivavel e g for continua em a b e f for continua na imagem de u gx entdo b gb J flewea Fu au 1 a ga SESOSEOCECOTOOCESE SoOnCOOODESEOOOOD Integracdo por Substituicdo Exemplo 211 4 Calcule V2x 1 dx 0 BeeCOODSTOCSSESES SeosssooooeNOOGee Integracdo por Substituicdo Exemplo 211 4 Calcule V2x 1 dx 0 Observacao 21 Note que podemos resolver a integral do exemplo acima calculando a integral indefinida e depois substituindo os limites de integracdo OE I ooo SeCoS DoD ueeecaceo Integracdo por Substituicdo Exemplo 212 In x Calcule dx 1 x Ore oe eS SoOeCSeCsOCeC cose Integracdo por Substituicdo Exemplo 212 In x Calcule dx 1 xX Exemplo 213 2 1 Caleule dx 1 xX 00000000000000000 ectcoa eee Integracdo por Substituicdo Exemplo 212 In x Calcule dx 1 x Exemplo 213 9 1 Caleule dx 1 x Exemplo 214 2 Caleule f cos x sen sen x dx 0 00000000000000000 ectcoa eee Integracdo por Substituicdo Exemplo 212 In x Calcule dx 1 x Exemplo 213 2 1 Caleule dx 1 x Exemplo 214 2 Caleule f cos x sen sen x dx 0 Exemplo 215 1 caele f Of alcule Ax 0 1 x4 Uifd Area entre Curvas Mechicaslcetfarinmitivara Integracdo por Partes Fle d Fal Foe 2 Area entre Curvas Mechicaslcetfarinmitivara Integracdo por Partes Fle d Fal Foe 2 uw w fvdu Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 216 Determine J cos x dx Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 216 Determine xcosx de Exemplo 217 Calcule J sen x dx Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 218 Calcule en p dp Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 218 Calcule en p dp Exemplo 219 Calcule Je x dx Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 218 Calcule en p dp Exemplo 219 Calcule Je x dx Exemplo 220 Calcule cosx de Area entre Curvas Mechicaslcetfarimnitivara Integracdo por Partes Exemplo 218 Calcule en p dp Exemplo 219 Calcule Je x dx Exemplo 220 Calcule cosx de Exemplo 221 g Calcule In x dx Ura CSERUEEGNocce Sa FO oud woo ova Área entre Curvas Técnicas de Primitivação