Aula 02: Funções Elementares I - Prof. André Almeida

Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Cálculo Diferencial e Integral Aula 02 Funções Elementares I Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Agronomia Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Definição 11 Seja c R Definimos uma função constante como sendo qualquer função f R R dada por f x c São exemplos de funções constante Exemplo 11 f x 4 f x 3 f x 0 que é chamada de função nula Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Definição 11 Seja c R Definimos uma função constante como sendo qualquer função f R R dada por f x c São exemplos de funções constante Exemplo 11 f x 4 f x 3 f x 0 que é chamada de função nula Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Definição 11 Seja c R Definimos uma função constante como sendo qualquer função f R R dada por f x c São exemplos de funções constante Exemplo 11 f x 4 f x 3 f x 0 que é chamada de função nula Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Para qualquer função constante o domínio é o conjunto Df R e a imagem é o conjunto Imf c Exemplo 12 A função f x 7 possui domínio Df R e conjunto imagem Imf 7 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Para qualquer função constante o domínio é o conjunto Df R e a imagem é o conjunto Imf c Exemplo 12 A função f x 7 possui domínio Df R e conjunto imagem Imf 7 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante O gráfico de uma função constante f x c é uma reta horizontal paralela ao eixo x que corta o eixo y em y c Exemplo 13 A função f R R dada por f x 4 possui gráfico Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante O gráfico de uma função constante f x c é uma reta horizontal paralela ao eixo x que corta o eixo y em y c Exemplo 13 A função f R R dada por f x 4 possui gráfico Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Definição 21 Definimos como função potência toda função da forma f x xr onde r R Suponhamos que r é um número natural e assim temos que f x xr Nesse caso Df R mas o conjunto imagem depende do valor de r e por isso deve ser analisado para cada caso Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Definição 21 Definimos como função potência toda função da forma f x xr onde r R Suponhamos que r é um número natural e assim temos que f x xr Nesse caso Df R mas o conjunto imagem depende do valor de r e por isso deve ser analisado para cada caso Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Exemplo 21 A função f x x2 é uma função potência cujo gráfico é uma parábola como mostrado abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Se r é um número inteiro negativo então a função potência é da forma f x 1 x f x 1 x2 f x 1 x3 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Exemplo 22 A função f x 1 x é uma função potência chamada por várias vezes de função recíproca cujo gráfico é da forma abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Exemplo 23 A função gx 1 x2 é uma função potência cujo gráfico é da forma abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Se r é uma fração isto é r m n n 0 então f x xr é uma função radical pois pelas propriedades da potência temos que f x xr x m n n xm Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Exemplo 24 A função px x é uma função potência chamada por várias vezes de função raiz quadrada cujo gráfico é da forma abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Exemplo 25 A função qx 3x é uma função potência chamada por várias vezes de função raiz cúbica cujo gráfico é da forma abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Potência Se r é um número irracional então não há como prever como é o gráfico da função e os conjuntos domínio e imagem deve ser analisado observando caso a caso Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Exemplo 26 A função zx xπ é uma função potência cujo gráfico é da forma abaixo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Polinomial Definição 31 Sejam a0 a1 a2 an números reais com an 0 Definimos a função polinomial de grau n como sendo a função f R R dada por f x anxn an1xn1 a2x2 a1x a0 Os números a0 a1 a2 an são chamados coeficientes da função polinomial Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Polinomial Exemplo 31 A função f x 3x 5 é uma função polinomial com coeficientes a1 3 e a0 5 Exemplo 32 A função f x 6x2 5x 10 é uma função polinomial com coeficientes a2 6 a1 5 e a0 10 Exemplo 33 A função f x 12x5 6x3 10x 2 é uma função polinomial com coeficientes a5 12 a4 0 a3 6 a2 0 a1 10 e a0 2 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Polinomial Exemplo 31 A função f x 3x 5 é uma função polinomial com coeficientes a1 3 e a0 5 Exemplo 32 A função f x 6x2 5x 10 é uma função polinomial com coeficientes a2 6 a1 5 e a0 10 Exemplo 33 A função f x 12x5 6x3 10x 2 é uma função polinomial com coeficientes a5 12 a4 0 a3 6 a2 0 a1 10 e a0 2 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Polinomial Exemplo 31 A função f x 3x 5 é uma função polinomial com coeficientes a1 3 e a0 5 Exemplo 32 A função f x 6x2 5x 10 é uma função polinomial com coeficientes a2 6 a1 5 e a0 10 Exemplo 33 A função f x 12x5 6x3 10x 2 é uma função polinomial com coeficientes a5 12 a4 0 a3 6 a2 0 a1 10 e a0 2 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Afim Definição 41 Função Afim é toda função f R R da forma f x ax b com a 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Afim Exemplo 41 f x 6x 5 é uma função afim com coeficientes a 6 e b 5 Exemplo 42 f x x 15 é uma função afim com coeficientes a 1 e b 15 Exemplo 43 f x x 4 1 é uma função afim com coeficientes a 1 4 e b 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Afim Exemplo 41 f x 6x 5 é uma função afim com coeficientes a 6 e b 5 Exemplo 42 f x x 15 é uma função afim com coeficientes a 1 e b 15 Exemplo 43 f x x 4 1 é uma função afim com coeficientes a 1 4 e b 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Afim Exemplo 41 f x 6x 5 é uma função afim com coeficientes a 6 e b 5 Exemplo 42 f x x 15 é uma função afim com coeficientes a 1 e b 15 Exemplo 43 f x x 4 1 é uma função afim com coeficientes a 1 4 e b 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Exemplo 44 Esboce o gráfico das seguintes funções a f x 6x 5 b f x 3x 2 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Equação da Reta A expressão y ax b é chamada equação da reta e no caso da função afim sabemos que determinar a equação da reta significa determinar a lei de formação da função Exemplo 45 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 3 2 e 4 9 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Equação da Reta A expressão y ax b é chamada equação da reta e no caso da função afim sabemos que determinar a equação da reta significa determinar a lei de formação da função Exemplo 45 Determine a equação da reta que passa pelos pontos 3 2 e 4 9 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Equação da Reta Exemplo 46 Determine a equação da reta que passa pelos pontos a 5 1 e 2 8 b 1 3 e 2 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Crescimento e Decrescimento Uma função afim f x ax b é crescente se a 0 positivo e decrescente se a 0 negativo e o aspecto dos gráficos da função caracterizam este crescimento ou decrescimento Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Crescimento e Decrescimento Exemplo 47 Classifique as funções abaixo em crescente e decrescente a f x 3x 4 b f x x 5 4 c f x 3x 1 d f x x Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Estudo do sinal Exemplo 48 Estude o sinal das seguintes funções a f x 5x 4 b f x 4x 6 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Exercício Proposto Se a dose de uma medicação recomendada para um adulto é D em mg então para determinar a dosagem apropriada c para uma criança com a anos de idade os farmacêuticos usam a equação c 0 0417Da 1 Suponha que a dosagem para um adulto seja 200 mg a Encontre a inclinação do gráfico de c O que ela representa b Qual é a dosagem para um recémnascido Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Exercício Proposto Exercício 41 Um administrador de uma fábrica de móveis descobre que custa R 220000 para fabricar 100 cadeiras em um dia e R 480000 para produzir 300 cadeiras em um dia a Expresse o custo como uma função do número de cadeiras produzidas su pondo que ela seja linear A seguir esboce o gráfico b Qual a inclinação do gráfico e o que ela representa c Qual é a interseção com o eixo y do gráfico e o que ela representa Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Quadrática Definição 51 Função Quadrática é toda função f R R da forma f x ax2 bx c com a 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Quadrática Exemplo 51 f x 6x2 5x 12 é uma função quadrática com coeficientes a 6 b 5 e c 12 Exemplo 52 f x x2 15 é uma função quadrática com coeficientes a 1 b 0 e c 15 Exemplo 53 f x 2x2 x é uma função quadrática com coeficientes a 2 e b 1 e c 0 Exemplo 54 f x x2 4 é uma função quadrática com coeficientes a 1 4 e b 0 e c 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Quadrática Exemplo 51 f x 6x2 5x 12 é uma função quadrática com coeficientes a 6 b 5 e c 12 Exemplo 52 f x x2 15 é uma função quadrática com coeficientes a 1 b 0 e c 15 Exemplo 53 f x 2x2 x é uma função quadrática com coeficientes a 2 e b 1 e c 0 Exemplo 54 f x x2 4 é uma função quadrática com coeficientes a 1 4 e b 0 e c 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Quadrática Exemplo 51 f x 6x2 5x 12 é uma função quadrática com coeficientes a 6 b 5 e c 12 Exemplo 52 f x x2 15 é uma função quadrática com coeficientes a 1 b 0 e c 15 Exemplo 53 f x 2x2 x é uma função quadrática com coeficientes a 2 e b 1 e c 0 Exemplo 54 f x x2 4 é uma função quadrática com coeficientes a 1 4 e b 0 e c 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Função Quadrática Exemplo 51 f x 6x2 5x 12 é uma função quadrática com coeficientes a 6 b 5 e c 12 Exemplo 52 f x x2 15 é uma função quadrática com coeficientes a 1 b 0 e c 15 Exemplo 53 f x 2x2 x é uma função quadrática com coeficientes a 2 e b 1 e c 0 Exemplo 54 f x x2 4 é uma função quadrática com coeficientes a 1 4 e b 0 e c 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Zeros Exemplo 55 Determine as raízes reais quando existirem das seguintes funções quadráticas a f x x2 3x 2 b gx x2 4x 4 c hx x2 2x 2 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Zeros Discriminante Quantidade de raízes reais 0 positivo 2 raízes reais e distintas 0 nulo 1 raiz real e dupla 0 negativo Não há raízes reais Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Concavidade Quando uma parábola que é gráfico de f x ax2 bx c possui o formato dizemos que ela possui concavidade para cima Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Concavidade E quando possui o formato Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Concavidade Proposição 51 Seja f x ax2bxc uma função quadrática O gráfico de f possui concavidade para cima se a 0 e para baixo se a 0 Exemplo 56 Determine a concavidade do gráfico das seguintes funções quadráticas a f x 3x2 5x b f x 2x2 90 c f x x2 4 x 2 3 d f x 3x2 4x 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Concavidade Proposição 51 Seja f x ax2bxc uma função quadrática O gráfico de f possui concavidade para cima se a 0 e para baixo se a 0 Exemplo 56 Determine a concavidade do gráfico das seguintes funções quadráticas a f x 3x2 5x b f x 2x2 90 c f x x2 4 x 2 3 d f x 3x2 4x 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Vértice da parábola Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Vértice da parábola Fundo Constante Fundo Poténcia Funo Polinomial Fundo Afim Funao Quadratica 0000 OOOC0000000 000 OOOCOO0N0000000 OOCOODOCONDNDOO0C0O0000000 Veértice da parabola As coordenadas do vértice da parabola sao V b A 2a 4a Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Vértice da parábola Exemplo 57 Determine o vértice da parábola f x x2 3x 2 Exemplo 58 Determine o ponto de máximo de f x x2 x 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Vértice da parábola Exemplo 57 Determine o vértice da parábola f x x2 3x 2 Exemplo 58 Determine o ponto de máximo de f x x2 x 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Conjunto Imagem No caso de uma parábola com concavidade para cima já entendemos que o vértice é o ponto de mínimo da função e por isso yv é o valor mínimo de f isto é yv é o menor valor que a função f assume Então podemos afirmar que o conjunto imagem desta função quadrática é Imf y Ry yv Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Conjunto Imagem No caso da parábola com concavidade para baixo o vértice representa o ponto de máximo da função e por isso yv é o valor máximo da mesma isto é yv é o maior valor que f pode assumir Então podemos afirmar que o conjunto imagem desta função quadrática é Imf y Ry yv Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Conjunto Imagem Exemplo 59 Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas a f x x2 5x 4b f x x2 6x 9 c f x x2 3x 3 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico O esboço do gráfico de uma função quadrática se dá em diante de alguns pontos notáveis e algumas informações pertinentes podermos traçar uma representação mais verossímil ao gráfico da função Esses pontos notáveis e informações são Interseção com o eixo y 0 c Interseção com o eixo x raízes quando houver Vértice da parábola Concavidade Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e 0 a 0 e 0 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Exemplo 510 Esboce o gráfico de f x x2 6x 5 Exemplo 511 Esboce o gráfico de f x 2x2 8x 8 Exemplo 512 Esboce o gráfico de f x x2 3x 3 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Exemplo 510 Esboce o gráfico de f x x2 6x 5 Exemplo 511 Esboce o gráfico de f x 2x2 8x 8 Exemplo 512 Esboce o gráfico de f x x2 3x 3 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Gráfico Exemplo 510 Esboce o gráfico de f x x2 6x 5 Exemplo 511 Esboce o gráfico de f x 2x2 8x 8 Exemplo 512 Esboce o gráfico de f x x2 3x 3 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Estudo do sinal Exemplo 513 Estude o sinal das funções a f x 4x2 1 b gx x2 2x 2c hx x2 2x 1 Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Exercício Proposto Exemplo 514 Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função Cx x280x 3000 Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática Exercício Proposto Exercício 51 Um certo reservatório contendo 72 m2 de água deve ser drenado para limpeza Decorridas t horas após o início da drenagem o volume de água que saiu do reservatório em m2 é dado por V t 24t 2t2 Sabendose que a drenagem teve início às 10 horas o reservatório estará completamente vazio às a 14 horas b 16 horas c 19 horas d 22 horas Função Constante Função Potência Função Polinomial Função Afim Função Quadrática