Aula 01: Noções sobre Funções - Domínio, Contradomínio e Conjunto Imagem

Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Cálculo Diferencial e Integral Aula 01 Noções sobre funções Prof André Almeida Universidade Federal Rural da Amazônia Bacharelado em Agronomia Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definição de Função Definição 11 Consideremos A e B dois conjuntos Uma função f de A em B é uma relação de A em B que associa a cada elemento x A um único elemento y B Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definição de Função Exemplo 11 Considere os seguintes conjuntos A 1 2 3 4 5 B 6 7 8 9 10 Determine quais conjuntos a seguir são funções de A em B a R1 1 8 2 7 3 8 4 9 5 10 b R2 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 c R3 1 9 2 7 2 8 3 9 4 9 5 10 d R4 1 6 2 7 3 8 4 5 5 10 e R5 1 7 3 8 4 9 5 10 Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Representação de função Tabelas A tabela mostra o valor final de alguns pedidos de um certo tipo de piso laminado solicitados a um fabricante de acordo com a área de piso colocado Área m2 Valor 25 1750 40 2800 60 4200 140 9800 1805 12635 A tabela acima é uma exemplo muito útil para representar a função preço em função da área do piso colocado Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Representação de função Diagrama de Flechas A função f do conjunto A 0 1 4 8 no conjunto B 0 5 10 20 40 dada por f 0 0 1 5 4 20 8 40 pode ser representada por Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Lei de Formação Em muitos casos será possível encontrar uma expressão matemática para determi nadas funções Essa expressão matemática é conhecida como Lei de Formação da função e lembremos que não haverá necessidade dela existir para afirmarmos que uma relação entre dois conjuntos é ou não é uma função entre os mesmos São exemplos de Lei de Formação de funções f x x2 3x 12 f x 2x f x log4x f x 4 x f x 5 Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Imagem Nesse sentido iremos focar nas funções cujas leis de formação podem ser ex pressadas em termos matemáticos E assim podemos representar uma função da seguinte forma f A B para denotar que f é uma função do conjunto A no conjunto B Assim sendo se f associa um número x A ao número y B então podemos escrever y f x e lêse y é a imagem de x pela função f SSLec ae CC ROC CORCOCOCODEOTOTCOCOCOCCCCOCODCCCOCOSCES Imagem Exemplo 12 Considere fx x 4x 13 Determine a 2 b F0 FQ 2 Con soce mportantes oe Contragominio imagem eee ee eae ee ee tue 0000000000000000 Imagem Exemplo 12 Considere fx x 4x 13 Determine 2 F2 b F0 c f1 d 5 Exemplo 13 Considere fx x x 6 Determine a 2 b FQ c F2 a 2 2 0 Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Contradomínio Considere a função f A B O conjunto A é chamado domínio da função f às vezes denotado também por Df e o conjunto B é chamado contradomínio da função f por vezes denotado por CDf Quando o domínio não é explicitado então devemos considerar o maior possível No caso do contradomínio não há problema em considerálo sempre igual ao conjunto dos números reais R Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Conjunto Imagem O conjunto de todas as imagens de uma função é chamado conjunto imagem da função denotado por Imf O seguinte diagrama pode ilustrar um pouco esses conceitos Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Exemplo 21 Dados os conjuntos A 1 2 3 4 e B 2 3 4 5 e as relações abaixo R1 1 2 2 5 3 3 4 3 R2 2 2 4 4 3 3 1 5 R3 1 2 2 2 3 2 4 2 Determine para cada relação O domínio o contradomínio e o conjunto imagem A imagem de cada elemento Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Exemplo Padrão Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Exemplo 31 Determine o domínio e a imagem da função dada pelo gráfico abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Exemplo 32 Determine o domínio e a imagem da função dada pelo gráfico abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Domínio e Conjunto Imagem Exemplo 33 Determine o domínio e a imagem da função dada pelo gráfico abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Interseções com os eixos coordenados Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Interseções com os eixos coordenados Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Interseções com os eixos coordenados Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Interseções com os eixos coordenados Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Interseções com os eixos coordenados Exemplo 34 Identifique quais são os pontos abaixo são a interseção do gráfico da função f com os eixos coordenados Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Sinal da função Determinar o sinal de uma função é descobrir em quais intervalos a função é positiva ou negativa Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Sinal da função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Sinal da função Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Sinal da função Exemplo 35 Determine o sinal da função de acordo com o gráfico abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Sinal da função Exemplo 36 Faça o estudo do sinal da função f cujo gráfico é dado abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Assíntotas Assíntota é uma reta que pode ser vertical paralela ao eixo Y horizontal paralela ao eixo X ou oblíqua nãoparalela aos eixos coordenados Seja qual for o tipo de assíntota uma propriedade que todas possuem é que o gráfico da função que possui uma assíntota tem o comportamento de se aproximar muito dela mas de nunca se igualar a ela Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Assíntotas Exemplo 37 Observe o gráfico da função f dado abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Assíntotas Exemplo 38 Observe o gráfico da função f dado abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Assíntotas Exemplo 39 Observe o gráfico da função f dado abaixo Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Assíntotas Observação 31 As assíntotas oblíquas fogem do escopo deste estudo e por isso nos concentraremos em determinar as assíntotas verticais e horizontais Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Funções crescente e decrescente Definição 31 Função Crescente Seja f uma função e a b um intervalo no domínio de f Definimos que a função f é crescente em a b se para todo x1 x2 a b temos que se x1 x2 então f x1 f x2 Definição 32 Função Decrescente Seja f uma função e a b um intervalo no domínio de f Definimos que a função f é decrescente em a b se para todo x1 x2 a b temos que se x1 x2 então f x1 f x2 Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Funções crescente e decrescente Definição 31 Função Crescente Seja f uma função e a b um intervalo no domínio de f Definimos que a função f é crescente em a b se para todo x1 x2 a b temos que se x1 x2 então f x1 f x2 Definição 32 Função Decrescente Seja f uma função e a b um intervalo no domínio de f Definimos que a função f é decrescente em a b se para todo x1 x2 a b temos que se x1 x2 então f x1 f x2 Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Intervalos de crescimento e decrescimento Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Os pontos no gráfico que separam esses intervalos de crescimentodecrescimento são chamados pontos extremos Um ponto extremo pode ser classificado como ponto de máximo ou ponto de mínimo Podemos localizar um ponto de máximo no gráfico notando que ele é um ponto alto e um ponto de mínimo como um ponto baixo no gráfico Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Os pontos no gráfico que separam esses intervalos de crescimentodecrescimento são chamados pontos extremos Um ponto extremo pode ser classificado como ponto de máximo ou ponto de mínimo Podemos localizar um ponto de máximo no gráfico notando que ele é um ponto alto e um ponto de mínimo como um ponto baixo no gráfico Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos x1 é um máximo ou maximizante para f y1 é um valor máximo para f x1 y1 é um ponto de máximo para f x2 é um mínimo ou minimizante para f y2 é um valor mínimo para f x2 y2 é um ponto de mínimo para f Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Além dessa classificação em ponto de máximo e ponto de mínimo os pontos extremos podem ser classificados em locais ou globais Um ponto extremo global é o ponto do gráfico mais acima ou mais abaixo no gráfico não havendo outros pontos acima ou abaixo deles respectivamente isto é são pontos extremos para o domínio inteiro Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Definição 33 Máximos e Mínimos Globais ou Absolutos Sejam f uma função e x1 e x2 são elementos do domínio de f Dizemos que x1 f x1 é um ponto de máximo global ou absoluto de f se f x f x1 para todo x Dizemos que x2 f x2 é um ponto de mínimo global ou absoluto de f se f x2 f x2 para todo x Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Um ponto extremo local ou relativo é um ponto extremo do gráfico isto é existe a mudança no sentido do crescimento da função ao passarmos por este ponto mas há outros pontos acima ou abaixo dele respectivamente isto é são pontos extremos em uma porção do domínio Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Definição 34 Máximos e Mínimos Locais ou Relativos Sejam f uma função e x1 e x2 são elementos do domínio de f Dizemos que x1 f x1 é um ponto de máximo local ou relativo de f se f x f x1 para todo x em um intervalo com x x1 no centro Dizemos que x2 f x2 é um ponto de mínimo local ou relativo de f se f x2 f x para todo x em um intervalo com x x2 no centro Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Exemplo 310 Considere o gráfico da função f abaixo Determine a Os intervalos de crescimento eou decrescimento de f b Os pontos extremos caso haja c A classificação dos pontos extre mos caso haja d Os máximos mínimos valor má ximo e mínimo globais ou locais caso haja Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Pontos Extremos Exemplo 311 Considere o gráfico da função f abaixo Determine a Os intervalos de crescimento eou decrescimento de f b Os pontos extremos caso haja c A classificação dos pontos extre mos caso haja d Os máximos mínimos valor má ximo e mínimoglobais ou locais caso haja Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Concavidade e pontos de inflexão Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Concavidade e pontos de inflexão Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Concavidade e pontos de inflexão Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Concavidade e pontos de inflexão Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função Concavidade e pontos de inflexão Exemplo 312 Determine a concavidade do gráfico da função f dada pelo gráfico abaixo e os pontos de inflexão caso haja Definições Importantes Domínio Contradomínio e Conjunto Imagem Análise do Gráfico de uma função