Autovalores e Autovetores - Notas de Aula Detalhadas

1 Introdução O objetivo das notas de aula é orientar o aluno sobre os temas cobertos em sala de aula De forma alguma substitui a leitura das referências indicadas no plano de ensino Como está em constante evolução quaisquer comentários críticas ou sugestões serão muito bem vindos 2 Autovalores e Autovetores Das aulas sobre transformações lineares vimos que existem inúmeras matrizes que podem representar uma transformação T V W dependendo das bases de origem e chegada consideradas Em particular vamos analisar as transformações T V V considerando sempre a base da origem sendo igual à base da chegada Note o seguinte exemplo Exemplo 21 Seja T R³ R³ cuja matriz na base canônica é 2 4 4 1 2 1 3 6 5 A matriz dessa transformação na base β 011 101 111 é 1 0 0 0 2 2 0 0 0 Portanto dentre essas matrizes seria interessante determinar em qual base encontramos a matriz mais simples que representa essa transformação Nesse capítulo iremos aprofundar o estudo das transformações lineares que levam um espaço vetorial V nele mesmo T V V Nesse caso denominamos essas transformações de operadores lineares 3 Em particular é interessante conhecer quais vetores de V são levados neles mesmos ou em múltiplos deles mesmos ou seja os vetores v V tais que Tv λv λ R Ou seja determinar os vetores v 0 tais que Tv λv O escalar λ é conhecido como autovalor de T e o vetor v relacionado ao autovalor é conhecido como autovetor de T¹ Exemplo 22 Seja T R² R² tal que Txy x y 2x y Temos que x y 2x y λxy x y λx e 2x y λy Resolvendo o sistema temos que y λ 1x 2x λ 1²x Daí 2 λ 1² 0 pois x 0 Assim 2 λ² 2λ 1 0 λ² 2λ 1 0 λ₁ 1 2 e λ₂ 1 2 São os autovalores Os autovetores associados a cada autovalor são 1 λ₁ 1 2 v₁ x 2x 2 λ₂ 1 2 v₂ x 2x Repare que para todo α R quaisquer vetores w₁ αv₁ e w₂ αv₂ são também autovetores associados aos autovalores respectivos Ou seja o conjunto formado pelos autovetores associados a uma autovalor λ e o vetor nulo definem um subespaço Vλ 0 v V Tv λv denominado subespaço associado ao autovalor λ Dada uma matriz quadrada A de ordem n mencionamos que os autovalores e autovetores de A como sendo os autovalores e autovetores da transformação linear T Rⁿ Rⁿ onde A é a matriz associada a T em relação à base canônica Os autovalores de A são os n números escalares que caracterizam as propriedades essenciais da matriz Por isso os autovalores são também denominados de valores característicos de uma matriz ¹Repare que apesar de não ser interessante os autovalores podem ser iguais a zero Mas os autovetores não 4 21 Polinômio Característico Considere que A seja a matriz quadrada em relação à base canônica associada à transformação T V V Assim Tv Av e os autovalores e autovetores associados são dados pela solução do seguinte sistema Av λv Isto é podemos escrever da seguinte forma Av λIv 0 onde I é a matriz identidade Ou seja a₁₁ a₁₂ a₁ₙ aₙ₁ a₁₂ aₙₙ x₁ xₙ λ 0 0 0 0 λ x₁ xₙ 0 0 Assim a₁₁ λ a₁₂ a₁ₙ aₙ₁ a₁₂ aₙₙ λ x₁ xₙ 0 0 Repare que tratase de um sistema homogêneo em que a matriz de coeficientes é igual a B a₁₁ λ a₁₂ a₁ₙ aₙ₁ a₁₂ aₙₙ λ Como vimos na revisão se o detB 0 o sistema tem somente uma solução que é a trivial Mas como pela definição de autovetor não queremos a solução trivial a única forma desse sistema nos fornecer os autovalores e autovetores é se e somente se detB 0 Dessa forma para encontrarmos os autovalores e autovetores temos que buscar a solução do seguinte polinômio detA λI 0 Pλ det a₁₁ λ a₁₂ a₁ₙ aₙ₁ a₁₂ aₙₙ λ 0 Exemplo 23 Encontre os autovalores e autovetores da seguinte matriz A 1 0 2 1 0 1 1 1 2 5 Pλ det 1 λ 0 2 1 λ 1 1 1 2 λ 0 temos que 1λλ2λ 2 2λ 1λ 0 λ23λ λ2 3 3λ 0 λ3 3λ2 λ 30 λ2λ 3 λ 3 0 λ 3λ2 1 0 Ou seja λ1 1 λ2 1 e λ3 3 Os autovetores associados a cada autovalor são 1 λ1 1 1 0 2 1 0 1 1 1 2x1 x2 x3 1x1 x2 x3 0 0 2 1 1 1 1 1 1x1 x2 x3 0 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 x1 x2 e x3 0 Então os autovetores são da forma x1 x1 0 2 λ2 1 1 0 2 1 0 1 1 1 2x1 x2 x3 1x1 x2 x3 2 0 2 1 1 1 1 1 3x1 x2 x3 0 0 0 2 0 2 0 1 1 1 0 1 1 3 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 1 2 0 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 x1 x3 e x2 2x3 Então os autovetores são da forma x1 2x1 x1 3 λ3 3 1 0 2 1 0 1 1 1 2x1 x2 x3 3x1 x2 x3 2 0 2 1 3 1 1 1 1x1 x2 x3 0 0 0 2 0 2 0 1 3 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 x1 x3 e x2 0 Então os autovetores são da forma x1 0 x1 Observações 1 O vetor v pertence ao núcleo de A λI enquanto que o escalar λ é escolhido de forma que A λI possua um núcleo 2 Repare que utilizamos a matriz associada à transformação linear determinada em relação à base canônica Entretanto o cálculo dos autovalores e autovetores pode ser feito em qualquer matriz associada à transformação relativa a qualquer base Antes de demonstramos essa propriedade vamos tratar das transformações lineares compostas Teorema 24 Definição de Transformação Linear Composta Sejam T1 V W e T2 W U transformações lineares e α β γ bases de V W e U respectivamente Então a composta de T1 com T2 T2 o T1 V U é linear e T2 o T1γα T2γβ T1βα Corolário 1 T V W α e α bases de V β e β bases de W Então Tβα I o T o Iβα Iββ Tβα Iαα Corolário 2 T V V α e β bases de V Então Tαα I o T o Iαα Iαβ Tββ Iβα Lembrese de que Iβα Iαβ1 Exemplo 25 Lembrese do exemplo 21 do capítulo de autovalores e autovetores Vimos a transformação linear T R3 R3 cuja matriz em relação à base canônica β é Tββ 2 4 4 1 2 1 3 6 5 A matriz desta transformação em relação à base β 011 101 111 é 1 0 0 0 2 2 0 0 0 Para verificar esse resultado podemos usar o corolário acima sabendo que Iββ 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Voltando para a demonstração da propriedade 2 seja β a base canônica e α uma outra base qualquer Seja B Iαβ Então de acordo com o corolário 2 detTαα λI detB Tββ B1 λBIB1 detBTββ λIB1 detB detTββ λI detB1 detTββ λI detA λI 3 Com base na propriedade 2 matrizes distintas associadas ao mesmo operador linear T V V possuem o mesmo determinante 4 Seja A uma matriz k k com autovalores λ1 λk Então a λ1 λ2 λk traço A b λ1 λ2 λk detA 5 Se a matriz A é diagonalizável o determinante de A é o produto de seus autovalores Veremos essa propriedade na próxima seção 3 Diagonalização de Operadores Como destacamos no início uma transformação linear possui infinitas matrizes associadas a ela dependendo da base considerada Mas seria interessante saber se dentre essas matrizes existe alguma que seja a mais simples possível E a matriz mais simples é a matriz diagonal Assim nosso objetivo é encontrar uma base β de V tal que a matriz associada a T V V seja diagonal Teorema 31 Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes Corolário 3 Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T V V é um operador linear que possui n autovalores distintos então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de T Frequentemente o que nos é questionado é se uma matriz é diagonalizável Isto quer dizer que teremos que verificar se a transformação linear que tem a matriz em questão associada a ela tem uma outra matriz diagonal associada Exemplo 32 Vamos verificar se a matriz A 1 0 2 1 0 1 1 1 2 do exemplo anterior é diagonalizável Vimos no exemplo anterior que a matriz A era a matriz associada a T em relação à base canônica Podemos encontrar a transformação linear na forma algébrica que é Tx y z x 2z x z x y 2z Seus autovalores são λ1 1 λ2 1 e λ3 3 e o subespaço formado pelos autovetores associados tem uma base β 1 1 0 1 2 1 1 0 1 Por quê Pela aplicação direta do teorema acima e de seu corolário Vamos agora determinar a matriz associada a essa transformação em relação à base β T1 1 0 1 1 0 T1 2 1 1 2 1 e T1 0 1 3 0 3 Agora representamos os vetores transformados na base β isto é T1 1 0 1 1 0 11 1 0 01 2 1 01 0 1 T1 2 1 1 2 1 01 1 0 11 2 1 01 0 1 T1 0 1 3 0 3 01 1 0 01 2 1 31 0 1 Daí a matriz associada à transformação na base β é 1 0 0 0 1 0 0 0 3 Repare que é uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal são os autovalores O resultado do exemplo acima gera o seguinte teorema Teorema 33 Seja T V V um operador linear Dizemos que T é um operador diagonalizável se existe uma base de V cujos elementos são autovetores de T Nem toda matriz é diagonalizável Por exemplo verifique se a matriz 3 3 4 0 3 5 0 0 1 é diagonalizável Teorema 34 Seja A uma matriz k k λ1 λ2 λk autovalores de A e v1 v2 vk autovetores associados Forme a matriz v1 v2 vk onde as colunas são os autovetores Se P é inversível então P1 AP λ1 0 0 0 λ2 0 𝖣𝖽𝖽𝖽 0 0 λk Por outro lado se P1 AP é uma matriz diagonal as colunas de P devem ser autovetores de A e a diagonal traz os autovalores de A Nem toda matriz é diagonalizável Por exemplo verifique se a matriz 3 3 4 0 3 5 0 0 1 é diagonalizável 4 Exercícios 1 Ache os autovalores e autovetores correspondentes da transformação linear T R3 R3 Tx y z x y x y 2z 2x y z 2 Encontre a transformação linear T R2 R2 tal que T tenha autovalores 2 e 3 associados respectivamente aos autovetores 3y y e 2y y 3 Ache os autovalores e autovetores correspondentes das matrizes a 3 3 4 0 3 5 0 0 1 b 1 3 3 0 4 0 3 3 1 4 ANPEC2000 Seja T o operador linear cuja matriz na base canônica é dada por 4 6 0 6 3 0 0 0 1 Assinale V verdadeiro ou F falso 0 T possui dois autovalores distintos 1 T é um operador diagonalizável 2 Existe um autespaço de dimensão associado ao operador T 3 Os vetores t2 6 6 t R pertencem ao autoespaço de T associado a um dos seus autovalores 5 ANPEC2002 Assinale V verdadeiro ou F falso 0 Seja A uma matriz nãosingular com autovalores r1 r2 e r3 com r1 r2 r3 Se r1 1 e traçoAdetA6 então r2 r1 r3 2 1 Uma matriz é singular se e somente se possui um autovalor igual a 0 2 Seja uma matriz identidade n n e X uma matriz n k com posto igual a k Então se A I XXX1X então A é simétrica e detAA detA 6 Dada a matriz 2 1 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 a A é diagonalizável 7 Seja T R3 R3 um operador linear Sejam α 100 010 001 e α 011 011 101 bases de V e Tαα 2 0 1 0 3 1 0 0 3 a Encontre o polinômio característico de T seus autovalores e autovetores correspondentes b Ache Tββ e o polinômio característico c Encontre uma base γ de R3 se for possível tal que Tγγ seja diagonal