Produto Interno e Norma em Espaços Vetoriais: Definições e Teoremas

1 0 v para todo v V 2 v w w v 3 Se v w para todo w V então v 0 4 Se v₁ w e v₂ w então v₁ v₂ w 5 Se v w e λ é um escalar λv w Teorema 25 O conjunto v₁ v₂ vₙ de vetores não nulos dois a dois ortogonais vivj 0 para i j é linearmente independente De fato seja o conjunto v₁ v₂ vₙ de vetores não nulos dois a dois ortogonais Suponha que α₁v₁ αₙvₙ 0 Daí v₁α₁v₁ αₙvₙ α₁v₁v₁ 0 Como os vetores são não nulos α₁ necessariamente deve ser igual a 0 Isso é válido para todos os αs o que nos leva a concluir que o conjunto v₁ v₂ vₙ é linearmente independente Definição 26 Uma base β v₁ v₂ vₙ de V é dita base ortogonal se vi vj 0 para i j Um exemplo simples de base ortogonal é a base canônica em qualquer dimensão Considere por exemplo V ℝ³ e a base canônica β 100 010 001 Verifique que os vetores dessa base possuem produto interno nulo Definição 27 Coeficientes de Fourier Vejamos agora por intermédio de um exemplo um método prático de obtenção das coordenadas de um vetor qualquer em relação a uma base ortogonal Exemplo 28 Sejam V ℝ² com produto interno usual e uma base β 11 11 Considere o vetor v 23 x₁ e x₂ são as coordenadas do vetor v na base β 23 x₁11 x₂11 Mas note que 2311 x₁11 x₂1111 Pelas propriedades do produto interno temos que 23 11x₁1111 x₂1111 Como a base β é ortogonal 2311 x₁1111 x₁1111 x₁ 23111111 52 Da mesma forma x₂ 23111111 12 O exemplo acima nos permite definir os coeficientes de Fourier Seja β v₁ v₂ vₙ uma base de V e w x₁v₁ x₂v₂ xₙvₙ V Então xᵢ wvᵢvivi i 21 Norma A norma de um vetor operacionaliza a noção de medida em espaços vetoriais Tanto em relação ao comprimento de um vetor quanto em relação ao ângulo entre vetores Definição 29 Seja V um espaço vetorial com produto interno A norma de um vetor v em relação ao produto interno é definido por v vv Quando v v 1 chamamos v de vetor unitário ou que v está normalizado Observação Qualquer vetor v pode ser normalizado Basta dividilo por sua norma Por exemplo seja o vetor v 35 Esse vetor não é unitário pois v 3535 34 Mas o vetor u vv 3534 está normalizado e é unitário 211 Propriedades da Norma Seja V um espaço vetorial com produto interno Para quaisquer vetores v w V e α ℝ 1 v 0 e v 0 se e somente se v 0 2 αv αv 3 vw vw Desigualdade de Schwarz 4 v w v w Desigualdade triangular Definição 210 Ângulo entre dois vetores Pela desigualdade de Schwarz temos que vwvw 1 Lembrese do círculo trigonométrico Nele o valor do cosseno de qualquer ângulo está entre 1 e 1 Assim podemos afirmar que existe um ângulo θ 0 π tal que cosθ vwvw Ou seja vw vwcosθ Definição 211 Seja V um espaço vetorial com produto interno Um base β de V é denominada ortonormal se for ortogonal e cada vetor da base for unitário Novamente um exemplo trivial de base ortonormal é a base canônica Verifique 1 Introdução O objetivo das notas de aula é orientar o aluno sobre os temas cobertos em sala de aula De forma alguma substitui a leitura das referências indicadas no plano de ensino Como está em constante evolução quaisquer comentários críticas ou sugestões serão muito bem vindos 2 Produto Interno Trataremos aqui nesta seção a medição de um espaço vetorial introduzindo as noções de comprimento e ângulo entre vetores Definição 21 Seja V um espaço vetorial real Definimos produto interno sobre V como sendo uma função que a cada par de vetores v₁ e v₂ V associa um número real denotado por v₁ v₂ satisfazendo as seguintes propriedades i vv 0 para todo vetor v e vv0 se e somente se v0 ii αv₁ v₂ αv₁ v₂ para todo real α iii v₁ v₂v₃ v₁ v₂ v₂ v₃ iv v₁ v₂ v₂ v₁ Repare que a definição não limita o produto interno a uma forma funcional específica Qualquer função que satisfaça as propriedades acima é um produto interno Ou seja existem vários produtos internos distintos para um mesmo espaço vetorial Exemplo 22 Produto escalar de vetores no espaço ℝ³ Para v x₁ x₂ x₃ e w y₁ y₂ y₃ O produto escalar definido como v w x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃ é um produto interno Verifique Exemplo 23 V ℝ² v x₁ x₂ e w y₁ y₂ A função definida como v w 2x₁x₂ x₁y₂ x₂y₁ y₁y₂ também é um produto interno Verifique Definição 24 Ortogonalidade Seja V um espaço vetorial com produto interno Dois vetores v e w são ditos ortogonais se v w 0 e representamos da seguinte forma v w As seguintes propriedades são satisfeitas pela ortogonalidade Definição 212 Processo de Ortogonalização Inicialmente considere um espaço vetorial V de dimensão 2 e seja β v1 v2 uma base de V O seguinte procedimento nos permite encontrar uma base ortogonal de V a partir da base β Considere que essa base ortogonal seja v1 v2 Daí faça v1 v1 e a partir dessa definição encontre o vetor v2 que seja ortogonal a v1 Ou seja considere v2 v2 cv1 e encontre o valor de c tal que v1 v2 0 O valor de c será igual a v1 v2v12 Podemos generalizar esse resultado para um espaço de dimensão n 3 Tipos Especiais de Operadores Lineares Exemplo 31 Iremos desenvolver os conceitos de operadores autoadjuntos e ortogonais Teorema 32 Sejam V um espaço vetorial real com produto interno e uma base α u1 u2 un ortonormal de V Então se v e w são vetores de V com vα x1 x2 xnT e wα y1 y2 ynT temos que v w x1y1 x2y2 xnyn Definição 33 Seja A uma matriz n n real e A sua transposta a Se A A então A é chamada de matriz simétrica b Se A A A A I então A é chamada de matriz ortogonal Repare que nesse caso A A1 Teorema 34 Seja A uma matriz ortogonal 1 Então det A 1 2 As colunas ou linhas de A são vetores ortonormais Observação Seja uma espaço vetorial V com produto interno e α e β bases ortonormais de V Então a matriz mudança de base Iβα é uma matriz ortogonal Definição 35 Seja V um espaço vetorial com produto interno α uma base ortonormal e T V V um operador linear Então 1 T é chamado de operador autoadjunto se Tαα é uma matriz simétrica 2 T é chamado de operador ortogonal se Tαα é uma matriz ortogonal Exemplo 36 Considere T ℝ2 ℝ2 onde Tx y 2x 2y 2x 5y e α é a base canônica De fato a matriz Tαα 2 2 2 5 é uma matriz simétrica Portanto T é um operador autoadjunto Teorema 37 Seja T V V um operador linear Então se T é um operador autoadjunto então Tv w v Tw para todos os vetores v w V Vamos demonstrar em sala para o caso de uma espaço vetorial de dimensão igual a 2 Teorema 38 Seja T V V um operador autoadjunto λ1 e λ2 autovalores distintos de T e v1 e v2 autovetores associados respectivamente a λ1 e λ2 Então v1 e v2 são vetores ortogonais A prova é bem simples Sabemos que λ1v1 v2 λ1v1 v2 Tv1 v2 v1 Tv2 v1 λ2v2 λ2v1 v2 Daí λ1 λ2v1 v2 0 Como os autovalores são distintos v1 v2 0 Teorema 39 Seja T V V um operador autoadjunto Então existe uma base ortonormal de autovetores de T Exemplo 310 Considere T ℝ3 ℝ3 um operador linear cuja matriz em relação à base canônica é 2 0 0 0 6 1 0 1 6 Se possível exiba uma base de V formada por autovetores de T Teorema 311 Seja T V V um operador linear em um espaço vetorial V com produto interno Então as condições abaixo são equivalentes 1 T é ortogonal 2 T transforma bases ortonormais em bases ortonormais 3 T preserva o produto interno 4 T preserva a norma 4 Exercícios 1 Seja α w₁ w₂ w₃ uma base de um espaço vetorial real V com produto interno Considere que uα 2 1 3 e vα 5 2 3 Se u v 2 a base α é ortonormal 2 Seja β 110 101 020 Ache uma base ortonormal de ℝ³ em relação ao produto escalar usual 3 Seja V ℝ³ e S 101 110 211 a Encontre S b Encontre uma base para S c Se S fosse 101 110 211 qual seria S Neste caso encontre uma base ortogonal para S e S 4 Seja V ℝ² α base canônica e β cosθ senθ senθ cosθ Calcule a matriz mudança de base Iβα 5 Seja Txyz 2x y x y z y 3z de ℝ³ em ℝ³ com produto escalar a Mostre que T é um operador autoadjunto mas não ortogonal b Se v 2 1 5 e w 3 0 1 verifique que Tv w v Tw