Espaços Vetoriais - Notas de Aula e Definições

1 Introdução O objetivo das notas de aula é orientar o aluno sobre os temas cobertos em sala de aula De forma alguma substitui a leitura das referências indicadas no plano de ensino Como está em constante evolução quaisquer comentários críticas ou sugestões serão muito bem vindos 2 Espaços Vetoriais Definição 21 Um espaço vetorial real é um conjunto V não vazio onde estão definidas duas operações SOMA e MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR tais que para quaisquer vetores u v e w V e escalares α β R as seguintes propriedades são satisfeitas 1 u v w u v w 2 u v v u 3 Existe um vetor nulo 0 V tal que u 0 u 4 Existe um vetor u V tal que u u 0 5 αu v αu αv 6 α βu αu βu 7 αβu αβu 8 1u u Exemplo 22 Verifique se o conjunto V R3 x1 x2 x3 xi R é um espaço vetorial real Precisamos testar se todas as 8 propriedades acima são atendidas Irei fazer as 3 primeiras e deixo o resto para vocês treinarem Note que o conjunto V é formado por vetores contendo 3 coordenadas reais Por exemplo os vetores 1 2 3 e 4 1 0 pertencem a V Para provar que V é um espaço vetorial real devemos verificar para qualquer vetor genérico de V Como ilustração farei o teste com os vetores 1 2 3 4 1 0 2 5 6 1 u v w u v w Sim 1 2 3 4 1 0 2 5 6 3 6 9 1 2 3 4 1 0 2 5 6 2 u v v u Sim 1 2 3 4 1 0 5 1 3 4 1 0 1 2 3 3 Existe um vetor nulo 0 V tal que u 0 u Sim 0 0 0 1 2 3 1 2 3 Continue Exemplo 23 Verifique que o conjunto V de matrizes quadradas 2 2 é um espaço vetorial Então para verificar que um conjunto qualquer é um espaço vetorial basta testar as propriedades Puro algebrismo 21 Subespaços Vetoriais Definição 24 Seja V um espaço vetorial e um subconjunto W V W é um subespaço vetorial de V se Para quaisquer vetores u e v W u v W Para quaisquer eacalar α e vetor u W αu W Dizemos que W é um subespaço de V se é fechado para soma e multiplicação de escalar Note o seguinte 1 Pela definição W também é espaço vetorial 2 Para W ser subepaço vetorial necessariamente o vetor 0 W Isto é W é espaço vetorial 0 W Atenção a esta última afirmação Para determinar se um conjunto W é um subespaço vetorial não basta provar que 0 W O que podemos afirmar é que se 0 não pertence a W então W não é subespaço Mas a recíproca não é verdadeira Veremos isso em um exemplo 3 Existem outros subconjuntos de V que não são subespaços vetoriais Eles são denominados variedades afins Exemplo 25 W x y z t R4 x y 0 e z t 0 é subespaço vetorial Vamos verificar os critérios Para quaisquer vetores u e v W u v W u x1 y1 z1 t1 v x2 y2 z2 t2 u v W x1 y1 0 x2 y2 0 z1 t1 0 z2 t2 0 u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 t1 t2 x1 x2 y1 y2 0 z1 z2 t1 t2 0 u v W Para qualquer escalar α e vetor u W αu W u x1 y1 z1 t1 W x1 y1 0 z1 t1 0 αu αx1 αy1 αz1 αt1 αx1 y1 0 αz1 t1 0 αu W Exemplo 26 V R2 e W x x2 x R é subespaço vetorial Caso você desconfie que uma sentença é falsa basta que você encontre um exemplo em que esta sentença não se verifique Ou seja tentamos encontrar um contraexemplo Sejam os vetores u 2 4 W e v 3 9 W O vetor u v 5 13 claramente não pertence a W pois 13 5² Assim W não é um subespaço vetorial Repare que aqui o vetor 0 0 W Mas como vimos na observação 2 isso por si só não garante que W seja um subespaço 22 Combinação Linear Definição 27 Sejam V um espaço vetorial n vetores v1 v2 vn V e α1 α2 αn R Então o vetor v α1v1 α2v2 αnvn V é denominado uma combinação linear de v1 v2 vn A partir desse definiçõ e das propriedades de um espaço vetorial podemos encontrar um subespaço vetorial de V formado por quaisquer vetores v₁ v₂ vₙ Ou seja para um dado conjunto de vetores fixos v₁ v₂ vₙ todos os vetores v que são combinações lineares de v₁ v₂ vₙ formam um subespaço W denominado subespaço gerado por v₁ v₂ vₙ que denotamos por W v₁ v₂ vₙ Exemplo 28 Sejam V R² v₁ 1 0 v₂ 0 1 Assim é fácil ver que V v₁ v₂ ou seja o espaço vetorial V é gerado por todas as combinações lineares de v₁ e v₂ Isto é qualquer v x y V pode ser escrito como v x1 0 y0 1 v xv₁ yv₂ Por exemplo o vetor 3 5 31 0 50 1 Exemplo 29 Seja W o subespaço das matrizes 3 por 2 gerado por 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 e 0 1 0 0 0 0 O vetor 0 2 3 4 5 0 pertence a W Qualquer vetor pertencente a W pode ser escrito como α₁ 0 0 1 1 0 0 α₂ 0 1 0 1 1 0 α₃ 0 1 0 0 0 0 Isso é igual a 0 α₂ α₃ α₁ α₁ α₂ α₂ 0 Precisamos então encontrar para que valores de α₁ α₂ e α₃ vale a seguinte igualdade 0 α₂ α₃ α₁ α₁ α₂ α₂ 0 0 2 3 4 5 0 Assim α₂ α₃ 2 α₁ 3 α₁ α₂ 4 e α₂ 5 É fácil ver que não existem valores de α₁ α₂ e α₃ que tornem todas as igualdades verdadeiras Ou seja o vetor 0 2 3 4 5 0 NÃO pertence a W 23 Dependência e Independência Linear Frequentemente necessitamos avaliar se um vetor de um espaço vetorial pode ser escrito como combinação linear de outros vetores do mesmo espaço Por isso definimos o seguinte Definição 210 Sejam V um espaço vetorial e n vetores v₁ v₂ vₙ V O conjunto de vetores v₁ v₂ vₙ é linearmente independente LI se α₁v₁ α₂v₂ αₙvₙ 0 α₁ α₂ αₙ 0 Ou seja nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros Caso contrário eles são denominados linearmente dependente LD Exemplo 211 Sejam V R³ e₁ 1 0 0 e₂ 0 1 0 e e₃ 0 0 1 Esses vetores são LI pois α₁1 0 0 α₂0 1 0 α₃0 0 1 0 0 0 α₁ α₂ α₃ 0 0 0 Daí se e somente se α₁ 0 α₂ 0 α₃ 0 Exemplo 212 Sejam V R² 1 1 1 0 1 1 é LD pois α₁1 1 α₂1 0 α₃1 1 0 0 α₁ α₂ α₃ α₁ α₃ 0 0 Daí se e somente se α₁ α₃ e α₂ 2α₁ Portanto existem valores de α₁ α₂ e α₃ diferentes de zero que respeitam as condições acima Por exemplo α₁ 1 α₂ 2 e α₃ 1 Observe que para afirmarmos que um conjunto de vetores é LD basta que encontremos um desses vetores como combinação linear dos outros 24 Base de um Espaço Vetorial Vimos que um espaço vetorial é um conjunto que atende às propriedades elencadas na definição acima Também vimos que podemos encontrar um ou mais conjuntos de vetores que geram um subespaço do espaço vetorial Exemplo 213 Seja o espaço vetorial V R² e os seguintes conjuntos de vetores 1 0 0 1 e 2 1 0 1 1 1 É fácil verificar que ambos os conjuntos geram o espaço vetorial V pois qualquer v x y V pode ser escrito como v x1 0 y0 1 como por exemplo o vetor 3 5 31 0 50 1 e também v x y V pode ser escrito como v x2 1 y0 1 z1 1 como por exemplo 3 5 12 1 70 1 11 1 O que podemos concluir com o exemplo acima Podemos especificar o espaço vetorial apenas sabendo um conjunto de vetores do espaço em questão e ambos os conjuntos de vetores podem gerar todo o espaço vetorial V Entretanto note que o conjunto 1 0 0 1 é LI e o conjunto 2 1 0 1 1 1 é LD ou seja o primeiro conjunto com apenas dois vetores já seria necessário para gerar todo o espaço V não precisaríamos de um conjunto com 3 vetores Este fato motivou a definição de base de um espaço vetorial Definição 214 Um conjunto de vetores v₁ v₂ vₙ será uma base de V se i v₁ v₂ vₙ é LI ii v₁ v₂ vₙ V Note que o conjunto 1 0 0 1 é uma base de R² conhecida como base canônica mas o conjunto 2 1 0 1 1 1 não é uma base de R² Existem infinitas bases de um espaço vetorial Por exemplo o conjunto 1 1 0 1 também é uma base de R² 241 Propriedades das Bases Teorema 215 Seja o conjunto de vetores v₁ v₂ vₙ não nulos que geram um espaço vetorial V Então dentre esses vetores podemos encontrar uma base de V A demonstração é simples mas iremos apenas ilustrar esse teorema por intermédio de um exemplo Exemplo 216 Considere novamente o espaço vetorial V R2 e o conjunto de vetores 210111 Já sabemos que esses vetores são LD e portanto não formam um base de R2 Mas podemos encontrar dentre esses vetores uma base Tome por exemplo o conjunto 2101 Esse novo conjunto é LI e gera o espaço R2 Portanto formam uma base de R2 Teorema 217 Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1v2vn Então qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD Ou seja qualquer conjunto LI de vetores desse espaço tem no máximo n vetores Corolário 1 Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos Esse número é denominado dimensão de V e denotado por dimV Exemplo 218 Vimos que qualquer base para o espaço V R2 possui dois vetores Daí dimV 2 Teorema 219 Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V Se dimV n qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V Teorema 220 Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita então dimUW dimU dimW dimU W Teorema 221 Dada uma base β v1v2vn de V cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1v2vn Definição 222 Sejam β v1v2vn base de V e v V onde v α1v1α2v2αnvn Denominamos os escalares α1α2αn de coordenadas de v em relação à base β e denotamos por vβ α1 α2 αnT Exemplo 223 Retomemos o vetor 35 V R2 Se a base for a base canônica β 1001 as coordenadas serão 35β 3 5T Repare que as colunas dessa matriz são as coordenadas de cada vetor da base β na base β Exemplo 227 Sejam β 1001 e β₁ 1111 bases de V ℝ² Ache a matriz Iᵦ₁ᵦ Precisamos encontrar as coordenadas dos vetores 1111 na base β 1001 Assim 11 110 101 11 110 101 Daí Iᵦᵦ 1 1 1 1 Há uma propriedade interessante que nos facilita o cálculo da matriz de mudança de base de β para a base β quando já temos a matriz Iᵦᵦ Repare que vᵦ Iᵦᵦ vᵦ Iᵦᵦ ¹ vᵦ Iᵦᵦ ¹ Iᵦᵦ vᵦ Iᵦᵦ ¹ vᵦ vᵦ Ou seja para encontrarmos a matriz de mudança de base de β para a base β basta que calculemos a inversa da matriz Iᵦᵦ No exemplo acima Iᵦᵦ Iᵦᵦ ¹ 12 12 12 12 Caso utilizássemos a base β 1011 teríamos o seguinte 35β 2 5T Exemplo 224 Exemplo importante Antes de adentrar no exemplo propriamente dito vamos enunciar dois importantes teoremas Teorema 225 Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V A intersecção W1 W2 ainda é um subespaço de V Teorema 226 Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V O conjunto W1 W2 v V v w1 w2 w1 W1 w2 W2 é subespaço de V Quando W1 W2 0 chamamos esta soma de soma direta de W1 e W2 e denotamos como W1 W2 A definição de soma de dois espaços vetoriais surge do fato de que a união de dois espaços pode não ser um subespaço Vamos ao exemplo agora Considere V xyz x y z 0 e W xyz x y Determine V W Lembrese de que para descrevermos qualquer espaço vetorial em especial V W precisamos encontrar os vetores que geram o espaço Daí o candidato inicial seria o conjunto formado pelos vetores geradores de V e W Qualquer vetor de V pode ser escrito como xyxy Note que xyxy x101y011 Daí V 101011 Da mesma forma qualquer vetor de W pode ser escrito como xxz Note que xxz x110z001 Daí W 110001 Então VW 101011110001 Podemos então escrever um vetor qualquer xyz V W como xyz α1101 α2011 α3110 α4001 Assim x α1 α3 y α2 α3 z α1 α2 α4 3 Transformações Lineares 31 Definição Assim como as funções lineares representam a relação linear entre variáveis por exemplo f ℝ ℝ yfxaxb podemos pensar também neste tipo de relação entre espaços vetoriais Definição 31 Sejam V e W dois espaços vetoriais Uma transformação linear T aplicação linear é uma função de V em W T V W tal que i Quaisquer que sejam u e v V Tuv Tu Tv ii Quaisquer que sejam k ℝ e v V Tkv kTv Exemplo 32 Considere os dois casos abaixo 1 T ℝ² ℝ² Txy xy xy Sejam quaisquer u x₁y₁ e v x₂y₂ ℝ² uv x₁ x₂ y₁ y₂ i Tuv x₁x₂y₁y₂ x₁x₂ y₁y₂ x₁y₁ x₁ y₁ x₂ y₂ x₂ y₂ Tu Tv ii Para qualquer k ℝ Tkv kx₂ ky₂ kx₂ y₂ kTv Então T é uma transformação linear 2 T ℝ² ℝ Txy xy Sejam quaisquer u x₁y₁ e v x₂y₂ ℝ² u v x₁ x₂ y₁ y₂ i Tuv x₁x₂y₁y₂ x₁y₁ x₁y₂ x₂y₁ x₂y₂ x₁y₁ x₂y₂ Tu Tv ii Para qualquer k ℝ Tkv k²x₂y₂ k²x₂y₂ k²Tv kTv para qualquer k Logo T não é uma transformação linear Como queremos determinar os valores dos αs em função de xyz vemos que o sistema acima tem infinitas soluções 4 incógnitas e 3 equações Em particular podemos fazer α3 0 e obtermos o seguinte α1 x α2 y α3 0 e α4 z x y Daí o espaço V W é gerado por 101011001 Esses vetores são LI e portanto V W ℝ3 Esse espaço é uma soma direta Vejamos dimV W dimV dimW dimV W dimV W 1 portanto V W não é uma soma direta Vamos determinar o espaço V W V W xyz x y z 0 e x y xyz x y z2 1112 242 Mudança de Base Vimos que cada vetor de um espaço vetorial tem uma representação única em função de uma base do espaço escolhida Também vimos que um espaço possui infinitas bases Nesta seção aprenderemos como encontrar as coordenadas de um vetor em uma base β dadas as suas coordenadas na base β Sejam as bases β u1u2un e β w1w2wn de um mesmo espaço vetorial V Dado um vetor v V podemos representálo da seguinte forma v x1u1 x2u2 xnun v y1w1 y2w2 ynwn Daí as coordenadas em cada base serão vβ x1 x2 xnT Como os vetores da base pertencem obviamente ao espaço vetorial V podemos fazer o seguinte w₁ α₁₁u₁ α₂₁u₂ αₙ₁uₙ w₂ α₁₂u₁ α₂₂u₂ αₙ₂uₙ wₙ α₁ₙu₁ α₂ₙu₂ αₙₙuₙ Daí v y₁w₁ y₂w₂ yₙwₙ v y₁α₁₁u₁ α₂₁u₂ αₙ₁uₙ yₙα₁ₙu₁ α₂ₙu₂ αₙₙuₙ v y₁α₁₁ yₙα₁ₙu₁ y₁αₙ₁ yₙαₙₙuₙ Mas como cada vetor tem uma representação única em cada base temos necessariamente que x₁ y₁α₁₁ yₙα₁ₙ x₂ y₁α₂₁ yₙα₂ₙ xₙ y₁αₙ₁ yₙαₙₙ Em forma matricial x₁ xₙ α₁₁ α₁ₙ αₙ₁ αₙₙ y₁ yₙ Denominamos de Iᵦᵦ α₁₁ α₁ₙ αₙ₁ αₙₙ a matriz de mudança de base de β para a base β 32 Propriedades Teorema 33 Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base β v1v2vn de V sejam w1w2wn vetores arbitrários de W Então existe uma única transformação linear T V W tal que Tv1 w1Tv2 w2Tvn wn Se v α1v1 α2v2 αnvn então Tv Tα1v1 α2v2 αnvn α1w1 α2w2 αnwn Exemplo 34 Qual a transformação linear T R3 R2 tal que T100 20T010 11T001 01 100010001 é a base canônica de R3 e w1 20w2 11wn 01 Considere um vetor v R3 qualquer Temos que v x100y010z001 Tv xT100yT010zT001 x20y11z01 Assim Txyz 2x yy z Definição 35 Imagem e Núcleo 1 Seja T V W uma transformação linear A imagem de T é o conjunto dos vetores w W tais que existe um vetor v V que satisfaz Tv w Isto é ImT w WTv w para algum v V 2 Seja T V W uma transformação linear O conjunto dos vetores v V tais que Tv 0 é chamado de núcleo de T é denominado KerT v VTv 0 3 Seja T V W uma transformação linear i T é injetora se dados uv V tal que Tu Tv então em u v Ou do mesmo modo se dados uv V com u v então Tu Tv ii T é sobrejetora se ImT W Em outras palavras se TV W Teorema 36 Seja T V W uma transformação linear Então KerT 0 se e somente se T é injetora Teorema 37 Seja T V W uma transformação linear Então dim KerT dim ImT dim V Se dim V dim W T é injetora se e somente se T é sobrejetora Corolário 2 Seja T V W uma transformação linear injetora Se dim V dim W então T leva base em base Isto é a imagem de uma base de V é uma base de W Exemplo 38 Considere a transformação linear T R3 R3 dada por Txyz zx yz Determine a uma base de T e Dim ImT b KerT c se T é sobrejetora a Tome uma base qualquer de R3 A mais fácil é a base canônica Então T100 010 T010 010 e T001 101 Daí sabemos que quaisquer vetores de T são gerados por estes três vetores 010 010 e 101 Precisamos verificar se eles formam uma base Vamos utilizar o método da matriz reduzida Isto é 0 1 00 1 0 1 0 1 1 0 10 1 00 1 0 1 0 10 1 00 0 0 Ou seja a base de T é dada pelos vetores 101010 A dimensão da imgaem de T é dim ImT 2 b Tv 0 vetores zxyz 000 z 0 e xy 0 Ou seja KerT 110 A dimensão do núcleo é 1 c Não pois a dimensão da imagem é menor do que a dimensão de W R3 Definição 39 Uma transformação T é denominada isomorfismo se é injetora e sobrejetora 33 Transformações Lineares e Matrizes Podemos associar o estudo das trasnformações lineares a matrizes Por exemplo considere o espaço vetorial R2 e as bases β 1001 e β 1111 Seja a matriz A 2 00 1 Como podemos associar esta matriz a uma transformação linear nos moldes que vimos até agora Seja v xy X vβ xy Caso façamos a seguinte operação AX obtemos o seguinte AX 2 00 1xy 2xy TAvβ Assim como TAvβ representam coordenadas na base β temos que TAvβ 2x11 y11 2x y2x y Ou seja a matriz A representa a transformação linear Txy 2x y2x y Generalizando dadas as bases β v1v2vn e β w1w2wn a matriz A a11 a1n am1 amn é associada à transformação linear TA Rn Rm da seguinte forma seja um vetor v Rn com coordenadas X vβ x1xn TAv AX tal que AX a11 a1n am1 amnx1xn y1ym Então TAv y1 w1 ym wm e yi é a iésima linha da matriz AX Por exemplo y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn Exemplo 310 A 1 3 5 2 4 1 β 1 0 0 1 e β 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Qual é a TA ℝ3 ℝ2 Considere X x y z Então AX 1 3 5 2 4 1 x y z x 3y 5z 2x 4y z IMPORTANTE o que encontramos acima são as coordenadas da transformação linear na base sugerida Precisamos agora encontrar a forma algébrica da transformação com relação à essa base Ou seja TAx y z x 3y 5z1 0 2x 4y z0 1 x 3y 5z 2x 4y z Vimos até agora que dada uma matriz podemos associar a uma transformação linear com relação às bases dadas E o contrário Dada uma transformação linear e as bases como encontrar a matriz associada Seja T V W linear β v1 v2 vn base de V e β w1 w2 wm base de W Como Tv1 Tv2 Tvn são vetores de W temos que Tv1 a11 w1 am1 wm Tvn a1n w1 amn wm Denotamos como Tββ a transposta da matriz acima como sendo a matriz A de transformação em relação às bases β e β Repare que o processo é semelhante ao que fizemos na mudança de base da aula anterior Exemplo 311 Seja T ℝ3 ℝ2 tal que Tx y z 2x y z 3x 2y 4z β 1 1 1 1 1 0 1 0 0 base de V e β 1 3 1 4 base de W Encontre A Calculando as imagens do vetor da base de β e em seguida encontrando as coordenadas dessas imagens na base de β temos que T1 1 1 2 5 31 3 11 4 T1 1 0 3 1 111 3 81 4 T1 0 0 2 3 51 3 31 4 Então A 3 11 5 1 8 3 4 Exercícios 1 Considere dois vetores a b e c d definidos no espaço vetorial V ℝ2 Se ad bc 0 mostre que eles são LD Se ad bc 0 mostre que eles são LI 2 Considere o subespaço de ℝ4 S 1 1 2 4 1 1 1 2 1 4 4 8 a O vetor 23 1 1 2 pertence a S b O vetor 0 0 1 1 pertence a S 3 Mostre que 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 é base de M2 2 4 Quais são as coordenadas de v 1 0 0 em relação à base β 1 1 1 1 1 0 1 0 1 5 Considere o subespaço de ℝ4 gerado pelos vetores v1 1 1 0 0 v2 0 0 1 1 v3 2 2 1 1 v4 1 0 0 0 a O vetor 2 3 2 2 v1 v2 v3 v4 b Exiba uma base para v1 v2 v3 v4 Qual a dimensão c v1 v2 v3 v4 ℝ4 6 Sejam β 1 0 0 1 β1 1 1 1 1 e β2 2 0 0 2 bases de V ℝ2 a Ache a matriz Iββ2 b As coordenadas de um vetor v em relação à base β1 são dadas por vβ 4 0 Quais são as coordenadas de v em relação a β e a β2 7 Qual é a transformação linear T ℝ2 ℝ3 tal que T1 1 3 2 1 é T0 2 0 1 0 8 Responda as questões abaixo justificando sua resposta a S x y x y ℝ3 é um subespaço vetorial de ℝ3 Se sim qual sua dimensão b 1 2 3 4 5 12 0 8 0 é uma base de ℝ3 c Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 2 1 e 3 0 1 e T o espaço vetorial gerado por 1 2 2 e 2 1 3 então o vetor 1 1 1 é gerador de S T Por quê 9 Seja T R3 R3 dada por Tx y z x 2y z x y Mostre que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T1 10 Ache a transformação linear T R3 R2 tal que T100 20 T010 11 e T001 01 11 Responda a Qual a transformação linear T R2 R3 tal que T11 321 e T02 010 b Qual a transformação linear S R3 R2 tal que S321 11 S010 02 e S001 00 c Ache a transformação linear P R2 R2 tal que P SoT 12 Seja T R3 R3 dada por Tx y z x 2y z x y Mostre que T é um isomorfismo e calcule sua inversa T1