Formas Bilineares e Quadráticas - Definições e Exemplos

Formas Quadráticas FORMAS BILINEARES Definição Seja V um espaço vetorial real Uma forma bilinear é uma aplicação B V x V R definida por v w Bv w tal que i Para todo w fixado Bv w é uma forma linear em v isto é Bv1 v2 w Bv1 w Bv2 w e Bav w aBv w ii Para todo v fixado Bv w é uma forma linear em w isto é Bv w1 w2 Bv w1 Bv w2 e Bv aw aBv w Exemplos Exemplo 1 O produto usual de números reais p R x R R x y px y xy Verificando i e ii px y z xy z xy xz px y px z px ay ax y axy apx y Analogamente mostramse as outras propriedades Exemplo 2 B R² x R² R dada por Bx1 y1 x2 y2 x1 x2 2y1 y2 é bilinear De fato Bx1 y1 x2 y2 x3 y3 Bx1 y1 x2 x3 y2 y3 x1x2 x3 2y1y2 y3 x1 x2 2y1 y2 x1 x3 2y1 y3 Bx1 y1 x2 y2 Bx1 y1 x3 y3 As outras propriedades são verificadas de modo análogo Sejam V um espaço vetorial e B V x V R uma forma bilinear Dada uma base α v1 vn de V associamos a B uma matriz Bαα chamada matriz da forma bilinear B na base α do seguinte modo Se v x1 v1 xn vn e w y1 v1 yn vn Bv w Bx1 v1 xn vn y1 v1 yn vn ij xi yj Bvivj Bv1 v1 Bv1 vn Bvn v1 Bvn vn y1y2yn x1 xn Bαα wα Exemplos Exemplo 1 Seja B R² x R² R a forma bilinear dada por Bv w x1 y1 2x2 y1 5x2 y2 onde v x1 x2 e w y1 y2 Então se α e1 e2 é a base canônica de R² temos Bαα Be1e1 Be1e2 Be2e1 Be2e2 1 0 2 5 Com isto podemos escrever a forma bilinear dada na forma matricial Bv w x1 x2 1 0 2 5 y1y2 ou seja Bv w vᵀα Bαα wα Otimização Condicionada restrição de desigualdade FORMAS BILINEARES E QUADRÁTICAS Definição A forma bilinear B V x V R é simétrica se Bv w Bw v para todo v w V Exemplos Exemplo 1 Seja um produto interno em V Então a forma bilinear Bv w v w é simétrica pois v w w v Exemplo 2 B R² x R² R dada por Bv w x1 y1 3x2 y1 3x1 y2 2x2 y2 onde v x1 x2 e w y1 y2 Calculando Bw v temos Bw v y1 y2 x1 x2 y1 x1 3y2 x1 3 y1 x2 2 y2 x2 Como Bv w Bw v B é simétrica Observe que Bαα é uma matriz simétrica De fato Bv w x1 x2 1 3 3 2 y1y2 Este resultado vale em geral podendo ser enunciado no teorema abaixo Teorema Uma forma bilinear B V x V R é simétrica se e somente se Bαα é uma matriz simétrica Definição Seja V um espaço vetorial real e B V x V R uma forma bilinear simétrica A função Q V R definida por Qv Bv v é chamada forma quadrática associada a B Exemplos Exemplo 1 Q R² R Qv x² 10xy y² onde v x y Sabemos que Qv x y a b c d xy ax² 2bxy cy² Então ax² 2bxy cy² x² 10xy y² Logo a 1 2b 10 c 1 Substituindo Qv x y 1 5 5 1 xy Observe ainda que Q é a forma quadrática associada à forma bilinear Bv w x1 y1 1 5 5 1 x2y2 onde vα x1y1 wα x2y2 e Bαα 1 5 5 1 α é a base canônica de R² Situação I Restrição Ativa Lets begin again by looking at the simplest case two variables and one inequality constraint maximize fx y subject to gx y b Da mesma forma o Lagrangeano será Condições de Primeira Ordem DIAGONALIZAÇÃO Veremos a seguir que qualquer que seja a forma quadrática Q V R sempre existe uma base ortonormal de V em relação a qual a matriz de Q é diagonal Exemplo Qv x² 10xy y² onde v x y Procuraremos uma base β de modo que se vβ x1y1 Qv λ1 x1² λ2 y1² ou ainda Qv x yλ1 00 λ2 x1y1 Temos Qx y x y 1 5 5 1 xy ou Qx y vᵀα Bαα vα a base canônica do R² Como a matriz Bαα é simétrica ela é diagonalizável admitindo um conjunto de autovetores ortonormais Os autovalores de Bαα são λ1 6 e λ2 4 Procurando os autovetores encontramos para λ1 6 v1 x x e para λ2 4 v2 x x Verifique Assim uma base ortonormal β de autovetores será dada por v1 12 12 e v2 12 12 Seja vᵀβ a matriz de mudança de base Então Bαα Iβα Bββ Iᵀβα onde Iββ 6 0 0 4 Substituindo em Qv vᵀα Bαα vα temos Qv vᵀα Iβα Bββ Iᵀβα vα Como Iβα é ortogonal pois α e β são bases ortonormais veja 915 Iβα1 Iββᵀ Iβα1 onde Qv Iβα vαᵀ Bββ Iβα vα vᵀβ Bββ vβ Isto é Qv x1 y1 6 0 0 4 x1y1 6x1² 4y1² onde vβ x1y1 Teste Alternativo Menores Principais Definição Seja A uma matriz n n Uma submatriz principal de ordem k de A é uma submatriz de A de tamanho k k formada a partir de A suprimindo n k colunas digamos as colunas i₁ i₂ iₖ e as mesmas n k linhas ou seja as linhas i₁ i₂ iₖ O determinante de uma submatriz principal k k é denominado um menor principal de ordem k de A Definição Seja A uma matriz n n A submatriz principal de ordem k de A obtida suprimindo as últimas n k linhas e as últimas n k colunas de A é denominada a submatriz principal líder de ordem k de A Seu determinante é denominado o menor principal líder de ordem k de A Vamos denotar a submatriz principal líder de ordem k por Aₖ e o correspondente menor principal líder por Aₖ Uma matriz n n tem n submatrizes principais líderes a submatriz 1 1 mais à esquerda e acima a submatriz 2 2 mais à esquerda e acima etc Para a matriz 3 3 geral do Exemplo 162 os três menores principais líderes são Duas Variáveis e uma Restrição Começamos com o problema de maximização condicionada mais simples o de maximizar uma função fx1 x2 de duas variáveis sujeita a uma única restrição de igualdade hx1 x2 c Em Microeconomia intermediária o estudante de Economia encontra este problema para maximizar a função utilidade maximizar fx1 x2 sujeita a p1x1 p2x2 I Máximo livre Máximo restrito Restrição z y x 0 Então Qv Bv w vᵀα Bαα vα Logo a matriz Bαα é uma matriz simétrica e portanto corresponde a um operador autoadjunto T V V que tem como matriz Tαα Bαα Como um operador autoadjunto pode ser diagonalizado mediante uma base β de autovetores ortonormais então Bαα Tαα Iβα λ1 0 0 0 λn Iᵀβα Iᵀβα1 λ1 0 0 0 λn Iᵀβα Iβα1 λ1 0 0 0 λn Iβα Então Qv vᵀα Iᵀβα1 λ1 0 0 0 λn Iᵀβα vα Iβα vαᵀ λ1 0 0 0 λn Iβα vα vᵀβ λ1 0 0 λn vβ v1 vn λ1 0 0 λn v1 vn Exemplo 1 Seja a forma quadrática em R² dada por Se v x1 x2 Qv 4x1² 6x1 x2 6x2² 4x1² 3x1 x2 3x1 x2 6x2² x1 x2 4 3 3 6 x1 x2 pois α e β são bases ortonormais e portanto Iᵀβα é uma matriz ortogonal Teste Alternativo Menores Principais Teorema 161 Seja A uma matriz n n simétrica Então a A é positiva se e somente se todos os n menores principais líderes de A são estritamente positivos b A é negativa se e somente se os n menores principais líderes de A alternam de sinal como segue A₁ 0 A₂ 0 A₃ 0 etc O késimo menor principal líder deveria ter o mesmo sinal de 1ᵏ c Se algum menor principal líder de A de ordem k ou um par de menores é nãonulo mas não encaixa em nenhum dos dois padrões de sinal acima então A é indefinida Este caso ocorre quando A tem um menor principal líder de ordem k negativo com k um inteiro par ou quando A tem um menor principal líder negativo de ordem k e um menor principal líder positivo de ordem ℓ com k e ℓ dois inteiros ímpares distintos Teorema 162 Seja A uma matriz n n simétrica Então A é nãonegativa se e soment t se todos os menores principais de A são 0 A é nãopositiva se e somente se cada menor principal de A de ordem ímpar é 0 e cada menor principal de A de ordem par é 0 OBS Teorema da Função Implícita Teorema 152 Teorema da Função Implícita Seja Gx1 xi y uma função C¹ numa bola em torno do ponto x1 xi y Suponha também que x1 xi y satisfaz Gx1 xi y c Gyx1 xi y 0 Então existe uma função C¹ y yx1 xi definida numa bola aberta B em torno de x1 xi tal que a Gx1 yix1 xi xi c para qualquer x1 xi B b y yx1 xi c para cada índice i yx₁x1 xi Gx₁x1 xi y Gyx1 xi y 15 Exemplo 157 Considere a equação Gx y x² 3xy y² 7 0 12 em torno do ponto x0 y0 4 3 do Exemplo 156 Calculamos Gx 2x 3y 1 em 4 3 Gy 3x 3y² 15 em 4 3 Como Gy4 3 15 0 o Teorema 151 nos diz que 12 de fato define y como uma função C¹ de x em torno de x0 4 y0 3 Além disso yxx0 y0 Gxx0 y0 Gyx0 y0 115 exatamente como descobrimos no Exemplo 156 Podemos agora concluir que a solução correspondente a x1 4 é aproximadamente y1 y0 yx0Δx 3 11503 302 que comparase bem ao valor real y1 30175 verificado numa calculadora Matrizes Simétricas Definidas Uma matriz simétrica é dita positiva nãonegativa negativa etc se a forma quadrática Qx xᵀ A x é positiva nãonegativa negativa etc respectivamente Como em geral estaremos aplicando esta terminologia diretamente a matrizes simétricas daremos as definições formais de tais matrizes Definição Seja A uma matriz simétrica n x n Então A é a positiva se xᵀ A x 0 para qualquer x 0 em Rⁿ b nãonegativa se xᵀ A x 0 para qualquer x 0 em Rⁿ c negativa se xᵀ A x 0 para qualquer x 0 em Rⁿ d nãopositiva se xᵀ A x 0 para qualquer x 0 em Rⁿ e e indefinida se xᵀ A x 0 para alguns x em Rⁿ e xᵀ A x 0 para outros x em Rⁿ Observação Analogamente à terminologia de formas quadráticas as matrizes simétricas positivas ou negativas são chamadas definidas e matrizes simétricas nãonegativas ou nãopositivas são chamadas semidefinidas Uma matriz que é definida é automaticamente semidefinida A não ser por isso cada matriz simétrica cai em uma das cinco classificações acima TESTE seja q uᵀ D u uma forma quadrática com matriz D Então 1 q uᵀ D u é positiva negativa definida se e somente se cada raiz característica de D for positiva negativa 2 q uᵀ D u é positiva negativa semidefinida se e somente se todas as raízes características de D forem nãonegativas nãopositivas 3 q uᵀ D u é indefinida se e somente se algumas das raízes características de D forem positivas e algumas negativas EXERCICIOS 161 Determine a classificação das seguintes matrizes simétricas a 2 1 1 1 b 3 4 4 5 c 3 4 4 6 d 2 4 4 8 e 7 2 0 2 4 5 0 5 6 f 1 1 0 1 1 0 0 0 2 g 1 0 3 0 0 2 0 5 3 0 4 0 0 5 0 6 Condições de 2ª ordem Funções com mais de 2 Variáveis d²x ddz dzx₁ dx₁ dzx₂ dx₂ dzx₃ dx₃ x₁ f₁ dx₁ f₂ dx₂ f₃ dx₃ dx₁ x₂ f₁ dx₁ f₂ dx₂ f₃ dx₃ dx₂ x₃ f₁ dx₁ f₂ dx₂ f₃ dx₃ dx₃ f₁₁ dx₁² f₁₂ dx₁ dx₂ f₁₃ dx₁ dx₃ f₂₁ dx₂ dx₁ f₂₂ dx₂² f₂₃ dx₂ dx₃ f₃₁ dx₃ dx₁ f₃₂ dx₃ dx₂ f₃₃ dx₃² H f₁₁ f₁₂ f₁₃ f₂₁ f₂₂ f₂₃ f₃₁ f₃₂ f₃₃ cujos menores principais líderes podem ser denotados por H₁ f₁₁ H₂ f₁₁ f₁₂ f₂₁ f₂₂ H₃ H Assim com base no critério com determinantes para a condição de positiva definida ou negativa definida podemos enunciar a condição suficiente de segunda ordem para um extremo de z da seguinte maneira z é um máximo mínimo se H₁ 0 H₂ 0 H₃ 0 H₁ 0 H₂ 0 H₃ 0 d²z negativa definida d²z positiva definida 1119 Teorema 184 Suponha que f g1 gm são funções C de n variáveis Suponha que x Rⁿ é um máximo local de f no conjuntorestrição definido pelas k desigualdades g1xgkxbk gk1x gmx bk Para facilitar a notação suponha que as primeiras k restrições estão ativas em x e que as últimas km restrições são inativas Suponha que a seguinte qualificação de restrição nãodegenerada está satisfeita em x O posto em x da matriz jacobiana das restrições ativas é k0 ou seja é o maior possível Forme o lagrangiano Então existem multiplicadores λ1 λk tais que a Lxi x λ 0 Lxn x λ 0 b λ1g1x b1 0 λkgkx bk 0 c λi 0 λk 0 d g1x b1 gkx bk Observação A qualificação de restrição no enunciado do Teorema 184 é a generalização natural das qualificações de restrição dos Teoremas 182 e 183 Esta condição envolve somente as restrições ativas pois as restrições inativas não devem desempenhar um papel nas condições de primeira ordem Assim tratamos as restrições ativas exatamente como tratamos as restrições de igualdade no Teorema 182 supondo que sua matriz jacobiana tem posto máximo Continuaremos a abreviar essa versão das qualificações de restrição nãodegeneradas por QRND Condições de 2ª ordem minada matriz hessiana de F ou simplesmente a hessiana de F D²Fx ²Fx₁² x ²Fxᵢxⱼ x ²Fx₁xₙ x ²Fxₙ² x Condições Suficientes A condição de segunda ordem para um ponto crítico x de uma função f em R¹ ser um max é que a derivada segunda fx seja negativa A condição correspondente para uma função F de n variáveis é que a derivada segunda D²Fx no ponto crítico x seja negativa como uma matriz simétrica Analogamente a condição de segunda ordem suficiente para um ponto crítico x de uma função f de uma variável ser um min local é que fx seja positiva a condição de segunda ordem análoga para um ponto crítico x ndimensional ser um min local é que a hessiana de F em x seja positiva Teorema 176 Seja F UR¹ uma função C² cujo domínio U está em Rⁿ Suponha que x é um ponto interior de U e que x é um max local respectivamente min local de F Então DFx0 e D²Fx é nãopositiva respectivamente nãonegativa Definição Um ponto crítico x de F para o qual a hessiana D²Fx é indefinida é denominado ponto de sela de F Um ponto de sela x é um min de F em algumas direções e um max de F em outras direções Portanto o seu gráfico como o de Fx y x₁² x₂² da Figura 164 é em forma de sela Máximos e Mínimos Globais As condições suficientes de primeira e de segunda ordem da seção anterior encontram todos os máximos e mínimos locais de uma função diferenciável cujo domínio seja um conjunto aberto em R¹ Como ilustra o Exemplo 172 essas condições nada dizem sobre algum desses extremos locais ser um max ou min global Nesta seção discutiremos condições suficientes para máximos e mínimos globais de uma função real em Rⁿ O estudo dos problemas de otimização unidimensionais da Seção 35 colocou duas condições para um ponto crítico x de f ser um max ou min global quando f é uma função C² definida num intervalo conexo I de R¹ 1 x é um max ou min local e é o único crítico de f em I ou 2 f 0 em todo I ou f 0 em I para um min ou seja f é uma função côncava em I ou f é uma função convexa para um min Método de Lagrange Como devemos resolver para as três incógnitas x1 x2 μ vamos precisar de três equações uma a mais do que aparece em 5 No entanto temos uma terceira equação a equação de restrição hx1 x2 c Juntando esta equação de restrição com as duas equações de 5 obtemos um sistema de três equações a três incógnitas fx₁x μ hx₁x 0 fx₂x μ hx₂x 0 hx1 x2 c 0 6 Há uma maneira adequada de escrever esse sistema 6 Monte a função lagrangiana ou simplesmente o lagrangiano Lx1 x2 μ fx1 x2 μ hx1 x2 c Teorema 181 Sejam f e h funções C¹ de duas variáveis Suponha que x x1 x2 é uma solução do problema maximizar fx1 x2 sujeita a hx1 x2 c Suponha também que x1 x2 μ não é um ponto crítico de h Então existe um número real μ tal que x1 x2 μ é um ponto crítico da função lagrangiana Lx1 x2 μ fx1 x2 μhx1 x2 c Em outras palavras em x1 x2 μ temos Lx₁ 0 Lx₂ 0 Lμ 0 Método de Lagrange Figura 182 fx e hx estão alinhados no max ou min condicionado x Observação Se estivéssemos minimizando f em vez de maximizando f no conjuntorestrição Cc teríamos utilizado os mesmos argumentos que usamos na prova geométrica do Teorema 181 Em outras palavras a conclusão do Teorema 181 vale tanto para maximizar f quanto para minimizar f em C Na Seção 193 iremos descrever uma condição de segunda ordem que distingue máximos de mínimos Cabe introduzir aqui uma observação de cautela Esta redução não teria funcionado se hx₁ e hx₂ fossem zero no máximo x na equação 3 Por esta razão vamos precisar criar a hipótese de que a parcial hx₁ ou a parcial hx₂ é nãonula no máximo condicionado ou ambas são nulas Como esta é uma imposição fraca no conjuntorestrição é denominada qualificação de restrição Se a restrição é linear como ocorre nos problemas de maximização de funções utilidade dos Exemplos 181 e 182 esta qualificação de restrição é satisfeita automaticamente Máximos e Mínimos Globais Definição Uma função real f definida num subconjunto convexo U de Rn é côncava se para quaisquer x y em U e para todo t entre 0 e 1 fx1tytfx1tfy 1 Uma função real g definida num subconjunto convexo U de Rn é convexa se para quaisquer x y em U e para todo t entre 0 e 1 gx1tytgx1tgy 2 Teorema 215 Seja f uma função C2 num conjunto aberto convexo U de Rn Então f é uma função côncava em U se e somente se a matriz hessiana D2fx é nãopositiva para cada x em U A função f é uma função convexa em U se e somente se D2fx é nãonegativa para cada x em U Máximos e Mínimos Globais Teorema 178 Seja F URn uma função C2 cujo domínio é um subconjunto aberto convexo U de Rn a As três condições a seguir são equivalentes i F é uma função côncava em U ii Fy FxDFxy x para quaisquer x y U e iii D2Fx é nãopositiva para qualquer x U b As três condições a seguir são equivalentes i F é uma função convexa em U ii Fy FxDFxy x para quaisquer x y U e iii D2Fx é nãonegativa para qualquer x U c Se F é uma função côncava em U e DFx0 para algum x U então x é um max global de F em U d Se F é uma função convexa em U e DFx0 para algum x U então x é um min global de F em U EXERCÍCIOS 171 Para cada uma das seguintes funções definidas em R2 encontre os pontos críticos e classifiqueos como max local min local ponto de sela ou não sei a x4 x2 6xy 3y2 b x2 6xy 2y2 10x 2y 5 c xy2 x2y xy d 3x4 3x2y y3 172 Para cada uma das seguintes funções definidas em R3 encontre os pontos críticos e classifiqueos como max local min local ponto de sela ou não sei a x2 6xy y2 3yz 4z2 10x 5y 2lz b x2 2y2 3z2 ex2y2z2 173 Qual dos máximos e mínimos do Exercício 171 são máximos globais ou mínimos globais 174 Uma firma usa dois insumos para produzir um único produto Se sua função de produção é Q x1y24 e se vende cada unidade de seu produto por uma unidade monetária e compra cada unidade de insumo por 4 unidades monetárias encontre sua cesta de insumo maximizadora de lucro Confira as condições de segunda ordem 175 Mais geralmente suponha que uma firma tem uma função de produção CobbDouglas Q xayb e que trabalha com um preço de produto p e preços de insumos w e r respectivamente Resolva as condições de primeira ordem para uma cesta de insumos maximizadora de lucro Use as condições de segunda ordem para determinar os valores dos parâmetros a b p w e r para os quais esta solução é um max global 176 A companhia aérea Tijolinho que oferece vôos regulares entre São Paulo e Poços de Caldas pode tratar as viagens de negócios e de lazer como mercados separados exigindo compras antecipadas e pernoite aos sábados para viagens de lazer Suponha que a companhia observa uma função demanda Q 16p para viagens de negócios e uma função demanda Q 10p para viagens de lazer e que a função custo para todos os passageiros é CQ 10 Q2 Quanto deveria a companhia cobrar em cada segmento de mercado para maximizar seu lucro Método de Lagrange A curva de nível de f ser tangente ao conjuntorestrição C no máximo condicionado x significa que em x a inclinação do conjunto de nível de f é igual à inclinação da curva de restrição C Lembre que na Seção 152 vimos que a inclinação do conjunto de nível de f em x é fx₁x fx₂x e que a inclinação do conjuntorestrição hx₁ x₂ c em x é hx₁x hx₂x Como veremos em breve é conveniente escrever essa equação assim fx₁x fx₂x hx₁x hx₂x 3 Para evitar denominadores possivelmente nulos seja μ o valor comum dos dois quocientes em 3 fx₁x μ hx₁x fx₂x μ hx₂x 4 Reformulamos 4 como as duas equações fx₁x μ hx₁x 0 fx₂x μ hx₂x 0 5 OBS Curvas de Nível e suas Tangentes Seja x0 y0 um ponto no locus de pontos Gx y c no plano onde G é uma função C¹ de duas variáveis Se Gyx0 y0 0 então Gx y c define um curva suave em torno de x0 y0 que pode ser entendida com um gráfico de uma função C¹ da forma y fx Além disso a inclinação da curva é dada por Se Gyx0 y0 0 mas Gxx0 y0 0 então o Teorema da Função Implícita nos diz que o conjuntosolução de Gx y c é uma curva suave em torno de x0 y0 que podemos considerar como definindo x em função do y além disso a reta tangente à curva no ponto x0 y0 é paralela ao eixo y ou seja é vertical OBS Curvas de Nível e suas Tangentes Teorema 154 Seja G uma função C¹ numa vizinhança de x0 y0 Suponha que x0 y0 seja um ponto regular de G Então o vetor gradiente Gx0 y0 é perpendicular ao conjunto de nível de G por x0 y0 Exemplo 1510 O gradiente de Gx y x² y² no ponto 0 1 onde o círculo é horizontal é o vetor vertical 0 2 no ponto 1 0 onde o círculo é vertical é o vetor horizontal 2 0 Veja a Figura 154 Figura 154 Gradiente de Gx y x² y² A geometria por trás da afirmação do Teorema 154 apresenta uma justificativa geométrica das hipóteses do Teorema da Função Implícita Se Gx y c define uma curva regular em torno do ponto x0 y0 essa curva será o gráfico de uma função y fx se e somente se a curva não é vertical em x0 y0 ou seja se e somente se o gradiente não é horizontal em x0 y0 ou seja se e somente se o componente Gy da coordenada y de Gx0 y0 é nãonulo Precisamos generalizar para m funções a qualificação de restrição que utilizamos para uma função de duas variáveis hx1x hx2x 00 12 Se tivermos somente uma restrição hx1xn a então a generalização natural de 12 é exigir que alguma das derivadas parciais de primeira ordem de h seja nãonula no ponto ótimo x hx1x hx2x hxnx 000 13 Se estivermos tratando com m funções de restrição m 1 a generalização natural de 12 e 13 envolve a derivada jacobiana h1x1x h1xnx D hx h2x1x h2xnx hmx1x hmxnx das funções de restrição Em geral um ponto x é denominado um ponto crítico de h h1 hm se o posto da matriz D hx é m Portanto a generalização natural da qualificação de restrição 13 é que o posto de D hx seja m o maior possível Mais formalmente dizemos que h1 hm satisfaz a qualificação de restrição nãodegenerada QRND em x se o posto da matriz jacobiana D hx em x é m A QRND é uma condição de regularidade como a definição de uma curva regular na Seção 145 e implica que o conjuntorestrição tem um plano tangente n mdimensional bemdefinido em todos os pontos Exemplo 184 Vamos usar o Teorema 181 para resolver um problema simples de maximização da utilidade maximizar fx1 x2 x1 x2 sujeita a hx1 x2 x1 4x2 16 7 Como o gradiente de h é 1 4 h não tem pontos críticos e a qualificação de restrição está satisfeita Formamos o lagrangiano Lx1 x2 µ x1 x2 µx1 4x2 16 e igualamos suas derivadas parciais a zero Lx1 x2 µ 0 Lx2 x1 4µ 0 8 Lµ x1 4x2 16 0 Das primeiras duas equações de 8 decorre que µ x2 14 x1 9 x1 4x2 10 e portanto Substituindo 10 na terceira equação de 8 4x2 4x2 16 ou x2 2 De 9 e 10 concluímos que a solução do sistema 8 é x1 8 x2 2 µ 2 O Teorema 181 afirma que o único candidato à solução do problema 7 é x1 8 x2 2 Exemplo 185 Vamos elaborar um exemplo mais complexo maximizar fx1 x2 x12 x2 sujeita a x1 x2 cair no conjuntorestrição Ch x1 x2 2x12 x22 3 Exemplo 186 Considere o problema de maximizar fx y z xyz no conjuntorestrição definido por h1x y z x2 y2 1 e h2x y z x z 1 Interpretação do Multiplicador Teorema 191 Sejam f h funções C1 de duas variáveis Para qualquer valor fixo do parâmetro a seja xa ya a solução do problema 1 com multiplicador correspondente µa Suponha que x y e µ são funções C1 de a e que a QRND vale em xa ya µa Então µa dda fa ya Teorema 192 Sejam f h1 hm funções C1 de Rn Seja a a1 am uma mupla de parâmetros exógenos e considere o problema Pa de maximizar fx1 xn sujeita às restrições h1x1 xn a1 hmx1 xn am Seja xja1 am a solução do problema Pa com correspondentes multiplicadores de Lagrange µja1 am Suponha também que xi e µj são funções diferenciáveis de a1 am e que vale a QRND Então para cada j1 m temos µja1 am aj fx1a1 am xna1 am 6 Exemplo 191 No Exemplo 185 obtivemos um máximo x1 1 x2 1 com multiplicador µ 05 da função fx1 x2 x12 x2 no conjuntorestrição 2x12 x22 3 O valor máximo de f e f1 1 1 Refaça o problema desta vez usando a restrição 2x12 x22 33 O mesmo cálculo do Exemplo 185 fornece a solução x1 11 com valor máximo f 1132 11537 um aumento de 01537 sobre o valor original Por outro lado o Teorema 191 prevê que uma variação de 03 unidades do lado direito da restrição altera o valor máximo da função objetivo por aproximadamente 03 µ 03 05 015 unidades uma aproximação correta até duas casas decimais Condições de 2ª ordem Teorema 196 Sejam f h1 hk funções C2 em Rn Considere o problema de maximizar f no conjuntorestrição Ch x h1x c1 hkx ck Forme o lagrangiano 13 e suponha que a x está no conjuntorestrição Ch b existam µ1 µk tais que Lx1 0 Lxn 0 Lµ1 0 Lµk 0 em x1 xn µ1 µk c a hessiana Dx2 Lx µ de L em relação a x em x µ é negativa no conjuntorestrição linear ou seja v 0 e D hx v 0 vT Dx2 Lx µ v 0 14 Então x é um max condicionado local estrito de f em Ch Observação Em alguns textos a restrição é escrita como gx y b em vez de gx y b e o lagrangiano é então escrito como Lxyλ fxy λ gx y b Estas duas alterações se anulam de modo que a conclusão do Teorema 183 continua valendo num max condicionado Observe as semelhanças e diferenças entre o enunciado do Teorema 182 que trata de restrições de igualdade e o enunciado do Teorema 183 que cobre restrições de desigualdade 1 Ambos usam o mesmo lagrangiano L e ambos requerem que as derivadas de L em relação aos xi sejam nulas 2 A condição Lμ hxy c 0 para restrições de igualdade pode não valer mais para restrições de desigualdade pois a restrição não precisa ser ativa no máximo no caso de restrição de desigualdade A condição é substituída por duas condições λ gxy b 0 e Lλ gxy b 0 3 Ambas as situações requerem que verifiquemos uma qualificação de restrição Contudo só precisamos conferir a qualificação de restrição para uma restrição de desigualdade se a restrição é ativa no candidato a solução 4 Não havia restrições no sinal do multiplicador na situação de restrições desigualdade contudo o multiplicador para restrições de desigualdade deve ser nãonegativo 5 Para restrições de igualdade e para problemas sem restrições as mesmas condições de primeira ordem que valem para problemas de maximização também valem para problemas de minimização Contudo o argumento que fp e gp apontam no mesmo sentido para restrições de desigualdade resumido na Figura 184 vale somente para o problema de maximização O mesmo tipo de raciocínio leva a concluir que fp e gp devem apontar em sentidos opostos para problemas de minimização com restrições Veremos mais sobre a distinção de problemas de maximização e problemas de minimização na Seção 185 Exemplo 197 No Exemplo 185 consideramos o problema de maximizar fx1 x2 x12 x2 no conjuntorestrição hx1 x2 2x12 x22 3 e encontramos seis soluções das condições 1811 de primeira ordem x1 x2 µ 0 3 0 1 1 05 1 1 05 Vamos usar condições de segunda ordem para decidir quais desses pontos são máximos locais e quais são mínimos locais Derive mais uma vez as condições 1811 de primeira ordem para obter a hessiana orlada geral H h11 L1x2 L1x2 h21 L2x1 L2x2 0 4 2 4 0 2 2 2 1 Este problema tem n2 variáveis e k1 restrições de igualdade Como indica o Teorema 197 basta conferir o sinal de nk1 determinante o determinante da própria H Se det H tiver o mesmo sinal de 111 ou seja se det H 0 num ponto candidato então este ponto é um max local Se det H tiver o mesmo sinal de 111 1 ou seja se det H 0 num ponto candidato então este ponto é um min local Nos pontos 1 1 05 H 0 4 2 4 0 2 2 2 1 Em ambos os casos det H 16 de modo que esses dois pontos são mínimos locais Nos pontos 1 1 05 H 0 4 2 4 0 2 2 2 1 Em ambos os casos det H 48 de modo que esses dois pontos são máximos locais Esses cálculos conferem com as observações que fizemos no final do Exemplo 185 No entanto não fomos capazes de determinar o comportamento de x1 x2 0 3 simplesmente pela substituição desses pontos na função objetivo do Exemplo 185 Como µ 0 para esses pontos a hessiana orlada correspondente é H 0 0 3 0 23 0 23 0 0 Para x1 x2 0 3 temos det H 243 0 e este ponto é um min local Para x1 x2 0 3 temos det H 243 0 e este ponto é um max local Esses cálculos que deveriam conferir com as conclusões da abordagem geométrica do Exemplo 185 ilustram que os extremos calculados através das condições de primeira e segunda ordem do Teorema 196 não necessariamente são extremos globais Situação II Restrição Inativa Nesse caso o máximo da função f ocorre no ponto q no interior do conjuntorestrição Mas existe um ponto r na curva de nível gx y b onde essa curva de nível é tangente a uma curva de nível de f em que os gradients apontam em sentidos contrários Assim teríamos o mesmo caso da otimização não condicionada Exercícios 182 Encontre as distâncias máxima e mínima da origem à elipse x2 xy y2 3 Sugestão Como função objetivo use x2 y2 183 Encontre o ponto da parábola y x2 que está mais próximo do ponto 2 1 Aproxime a solução da equação cúbica que resulta 185 Encontre o ponto mais próximo da origem em R3 que está em ambos os planos 3x y z 5 e x y z 1 186 Encontre o max e o min de fx y z x y z sujeita a x2 y2 z2 1 e y 0 187 Maximize fx y z yz xy sujeita a y2 z2 1 e xz 3 1914 Confira as condições de segunda ordem para as soluções das condições de primeira ordem nos Exercícios 182 183 185 186 e 187 193 Uma determinada fábrica produz Qx y 50x12 y12 unidades de produto se gastar x milhares de unidades monetárias em trabalho e y milhares de unidades monetárias em equipamento a Como deveriam ser alocadas 80000 unidades monetárias entre trabalho e equipamento para render o maior nível de produção possível b Use o Teorema 191 para estimar a variação no nível de produção máximo se essa alocação decrescer por um milhar de unidades monetárias c Calcule a variação exata em b Teorema 183 Suponha que f e g são funções C em R² e que x y maximiza f no conjuntorestrição gx y b Se gx y b suponha que gx x y 0 ou gy x y 0 Em qualquer caso forme a função lagrangiana Então existe um multiplicador λ tal que a Lx x y λ 0 b Ly x y λ 0 c λ gx y b 0 d λ 0 e gx y b Teorema 185 Suponha que f g₁gₖ h₁hₘ são funções C¹ de n variáveis Suponha que x Rⁿ é um máximo local de f no conjuntorestrição definido pelas k desigualdades e m igualdades g₁xgₘx b₁ h₁xhₘx c₁ Sem perda de generalidade podemos supor que as primeiras k restrições de desiigualdade são ativas em x e que as outras k k restrições de desigualdade são inativas Supo nha que a seguinte qualificação de restrição nãodegenerada está satisfeita em x O posto em x da matriz jacobiana Lx₁xₙ λ₁λₖμ₁μₘ fx λ₁g₁x b₁ λ₂g₂x b₂ μ₁h₁x c₁ μₘhₘx cₘ Então existem multiplicadores λ₁λₖ μ₁ μₘ tais que a Lx₁xx 0 Lxₙxx 0 b λ₁g₁x b₁ 0 λₖgₖx bₖ 0 c h₁x c₁ hₘx cₘ d λ₁ 0 λₖ 0 e g₁x b₁ gₖx bₖ das restrições de igualdade e das restrições de desigualdade ativas é k m ou seja é o maior possível Forme o lagrangiano Exemplo 1810 Considere o problema de maximizar x² y² no conjuntorestrição x² y² 4 x 0 y 0 Verificando primeiro a QRND observe que o gradiente de x² y² é nulo somente na origem um ponto que não está no conjuntorestrição Se qualquer uma das restrições de nãonegatividade for ativa então o candidato a solução é 2 0 ou 0 2 Em ambos os casos a matriz jacobiana 2 x 2 correspondente às restrições tem posto dois e portanto a QRND está automaticamente satisfeita Forme o lagrangiano Teorema 198 Sejam f g₁ gₖ h₁ hₘ funções C² em Rⁿ Considere o problema de maximizar f no conjuntorestrição Cₖ ₘ x g₁x b₁ gₖx bₖ h₁x c₁ hₘx cₘ Forme o lagrangiano Lx₁ xₙ λ₁λₖμ₁μₘ fx λ₁g₁x b₁ λₖgₖx bₖ μ₁h₁x c₁ μₘhₘx cₘ a Suponha que existam λ₁ λₖ μ₁ μₘ tais que valem as condi ções de primeira ordem do Teorema 185 ou seja que Lx₁ 0 Lxₙ 0 em xxλ λ₁ 0 λₖ 0 λ₁g₁x b₁ 0 λₖgₖx bₖ 0 h₁x c₁ hₘx cₘ b Para simplificar a notação suponha que g₁ gₖ são ativas em x e que gₖ₁ gₖ são inativas Escreva g₁ gₖ como ge Suponha que a hessiana de L em relação a x em xx μ é negativa no conjuntorestrição linear v Dgexv 0 e Dhxv 0 ou seja v 0 Dgexv 0 Dhxv 0 vᵀD²x Lxx μv 0 Então x é um max local estrito condicionado de r em Cₖ ₘ Condições Necessárias de Segunda Ordem Os Teoremas 196 197 e 198 enunciam condições de segunda ordem suficientes para um ponto que é candidato a solução ser uma solução de um problema de maximização condicionada a saber que a hessiana D²x Lx x λ do lagrangiano em relação aos x seja negativa no espaçonulo da matriz jacobiana Dhx das funções restrição ou seja a condição 14 no Teorema 196 A condição necessária correspondente que um máximo condicionado deve satis fazer é claramente que D²x Lx x λ seja nãopositiva no espaçonulo de Dhx A caracterização completa da nãopositividade condicionada em termos de submatrizes principais da matriz hessiana orlada é complexa demais para ser enunciada aqui em toda a sua generalidade Ela certamente exige que cada um dos n k menores principais líderes de maior tamanho devem ser nulos ou ter o mesmo sinal que 1t Se βLx 0 mas pelo menos um dos últ imos n k menores principais líderes da matriz hessiana orlada for nãonulo e tiver o sinal er rado para a negatividade então o candidato não pode ser um max local condicionado Funções Homogêneas Definição Dado um escalar k dizemos que uma função real fx₁ xₙ é homogênea de grau k se ftx₁ txₙ tᵏfx₁ xₙ para quaisquer x₁ xₙ e t 0 1 Em geral estaremos trabalhando com funções homogêneas definidas no octante positivo Rⁿ Em todo caso o domínio de uma função homogênea deve ser um cone que é um conjunto com a seguinte propriedade se x está no conjunto então qualquer múltiplo escalar positi vo rx de x também está Teorema 204 Teorema de Euler Seja fx uma função C¹ homogênea de grau k em Rⁿ Então para qualquer x x₁ fx₁x x₂ fx₂x xₙ fxₙx kfx 7 ou em notação de gradiente x fx kfx Equações Diferencias de Primeira Ordem EXERCÍCIOS 201 Quais das seguintes funções são homogêneas Quais são os graus daquelas que são homogêneas a 3x⁵y 2x²y⁴ 3x³y³ b 3x⁵y 2x²y⁴ 3x³y⁴ c x¹² y¹² 3xy¹ 7 d x³⁴y¹⁴ 6x e x³⁴ y¹⁴ 6x 4 f x² y²x² y² 3 202 Verifique o Teorema de Euler para as funções nos Exemplos 201 e 203 203 Prove que o produto de funções homogêneas é uma função homogênea 204 Considere a função de produção de elasticidade constante de substituição CES dada por Fx₁ x₂ Aa₀ a₁x₁p a₂x₂p¹p Mostre que F tem retornos constantes de escala quando a₀ 0 205 Se y fx₁ x₂ C² e homogênea de grau r mostre que x₁² fx₁x₁ 2x₁x₂ fx₁x₂ x₂² fx₂x₂ rr 1 f A derivada primeira dydt é a única que pode aparecer em uma equação diferencial de primeira ordem mas ela pode aparecer em várias potências dydt dydt2 ou dydt3 A potência mais alta alcançada pela derivada na equação é denominada o grau da equação diferencial Caso a derivada dydt apareça somente no primeiro grau o mesmo acontecendo com a variável dependente y e além disso não ocorrer nenhum produto da forma ydydt então dizse que a equação é linear Assim uma equação diferencial linear de primeira ordem geralmente adotará a forma t dydt ut y wt 151 onde u e w são duas funções de t assim como y Contudo ao contrário de dydt e y não há absolutamente nenhuma restrição imposta à variável independente t Assim as funções u e w podem perfeitamente representar expressões como t2 e et ou algumas funções mais complicadas de t por outro lado u e w também podem ser constantes Se u e w forem funções constantes e se por acaso w for identicamente zero 151 se tornará dydt ay 0 152 onde a é alguma constante Dizse que essa equação diferencial é homogênea em razão do termo constante zero compare com sistemas homogêneos de equações A característica que define uma equação homogênea é que quando todas as variáveis aqui dydt e y são multiplicadas por uma dada constante a equação permanece válida Essa característica continua valendo se o termo constante for zero mas será perdida se o termo constante não for zero Funções Homotéticas Definição Uma função u Rⁿ R é denominada homotética se é uma transformação monó tona de uma função homogênea ou seja se existem uma transformação monótona z gz de R e uma função homogênea u Rⁿ R tais que vx gfx para cada x no domínio de v Teorema 208 Seja u Rⁿ R uma função estritamente monótona Então u é homoiótica se e somente se para quaisquer x e y em Rⁿ ux uy uax uay para qualquer α 0 12 2017 Quais das seguintes funções são homotéticas Justifique cada resposta a ex² ey² b 2 log x 3 log y c x³ y⁶ 3x² y⁴ 6x y² 9 d x² y xy e x² y²xy 1 yt Aeat solução geral 153 ou yt y0eat solução definida 153 Duas coisas devem ser observadas na solução de uma equação diferencial 1 a solução não é um valor numérico mas uma função yt uma trajetória temporal se t simbolizar tempo e 2 a solução yt é livre de quaisquer expressões de derivada ou diferencial de modo que tão logo um valor específico de t seja substituído nela um valor correspondente de y pode ser calculado diretamente Quando uma constante diferente de zero toma o lugar do zero em 152 temos uma equação diferencial linear nãohomogênea dydt ay b 154 A solução dessa equação consistirá na soma de dois termos um dos quais é denominado a função complementar que denotaremos por yc e o outro é conhecido como a solução particular a ser denotada por yp Como será demonstrado cada um deles tem uma interpretação econômica significativa Aqui apresentaremos somente o método de solução o método racional ficará claro mais adiante EXEMPLO 1 Resolva a equação diferencial exata 2yt dy y² dt 0 EXEMPLO 2 Resolva a equação t 2y dy y 3t² dt 0 equação diferencial exata Estabelecendo M t Fator de integrande Às vezes uma equação diferencial inexata pode ser transformada em exata multiplicandose cada um de seus termos por um determinado fator comum Tal fator é denominado fator integrante EXEMPLO 3 A equação diferencial 2t dy y dt 0 não é exata porque não satisfaz 1518 Mt t 2t 2 Ny y y 1 Contudo se multiplicarmos cada termo por y a equação dada se transformará em 1516 que já determinamos ser exata Assim y é um fator integrante para a equação diferencial no presente exemplo Em uma equação diferencial linear restringimos ao primeiro grau não somente a derivada dydt mas também a variável dependente y e não permitimos que o produto ydydt apareça Quando y aparece com uma potência maior que um a equação tornase nãolinear mesmo que contenha somente a derivada dydt no primeiro grau Em geral uma equação na forma f yt dy g y t dt 0 1522 ou dydt h yt 1522 onde não há nenhuma restrição às potências de y e t constitui uma equação diferencial nãolinear de primeira ordem de primeiro grau porque dydt é uma derivada de primeira ordem na primeira potência Certas variedades dessas equações podem ser resolvidas com relativa facilidade por procedimentos mais ou menos rotineiros Discutiremos brevemente três casos Equações diferenciais exatas O primeiro é o caso agora familiar das equações diferenciais exatas Como salientamos anteriormente a variável y pode aparecer em uma equação exata com uma potência alta como em 1516 2yt dy y² dt 0 que você deve comparar com 1522 É verdade que o cancelamento do fator comum y de ambos os termos da esquerda reduzirá a equação a uma forma linear mas a propriedade de exatidão será perdida nesse caso Logo por ser uma equação diferencial exata ela deve ser considerada nãolinear Uma vez que o método de solução para equações diferenciais exatas já foi discutido nenhum outro comentário adicional é necessário Variáveis separáveis Pode acontecer de a equação diferencial em 1522 f y t dy gy t dt 0 possuir a conveniente propriedade de a função f depender apenas da variável y enquanto a função g envolve somente a variável t de modo que a equação se reduz à forma especial f y dy g t dt 0 1523 Nesse caso dizse que as variáveis são separáveis porque os termos que envolvem y consolidados em f y podem ser matematicamente separados dos termos que envolvem t que são agrupados sob g t Para resolver esse tipo especial de equação são necessárias apenas técnicas simples de integração EXERCÍCIO 155 1 Determine para cada uma das seguintes 1 se as variáveis são separáveis e 2 se a equação é linear ou se pode ser linearizada a 2t dy 2y dt 0 c dydt t y b y y t dy 2t y t dt 0 d dydt 3y²t 2 Resolva a e b no Problema 1 por separação de variáveis considerando y e t como positivos Verifique suas respostas por diferenciação 3 Resolva c no Problema 1 como uma equação de variáveis separáveis e também como uma equação de Bernoulli 4 Resolva d no Problema 1 como uma equação de variáveis separáveis e também como uma equação de Bernoulli O diagrama de fase Dada uma equação diferencial de primeira ordem na forma geral dydt f y linear ou nãolinear na variável y podemos desenhar o gráfico dydt em função de y como na Figura 153 Essa representação geométrica viável sempre que dydt for uma função apenas de y é denominada um diagrama de fase e o gráfico que representa a função f uma linha de fase Uma equação diferencial dessa forma na qual a variável t não aparece como um argumento isolado da função f é denominada uma equação diferencial autônoma Uma vez conhecida uma linha de fase sua configuração comunicará informações qualitativas significativas a respeito da trajetória temporal y t A pista é dada pelas duas observações gerais a seguir 1 Em qualquer lugar acima do eixo horizontal onde dydt 0 y tem de estar crescendo ao longo do tempo t no que concerne ao eixo x e ao eixo y movimentando da esquerda para a direita Por um raciocínio análogo qualquer ponto abaixo do eixo horizontal tem de estar associado a um movimento para a esquerda na variável y porque a negatividade de dydt significa que y decresce com o tempo Essas tendências direcionais explicam por que as pontas das setas que ilustram as linhas de fase na Figura 153 estão desenhadas daquela maneira Acima do eixo horizontal as setas apontam uniformemente para a direita na direção nordeste ou sudeste ou leste conforme o caso O oposto vale abaixo do eixo x Além disso esses resultados são independentes do sinal algébrico de y mesmo que a linha de fase A ou qualquer outra seja transplantada para a esquerda do eixo vertical a direção das setas não será afetada 2 Um nível de equilíbrio de y no sentido intertemporal do termo se existir pode ocorrer apenas no eixo horizontal onde dydt 0 y estacionário ao longo do tempo Por conseguinte para encontrar um equilíbrio basta considerar a interseção da linha de fase com o eixo x Por outro lado para testar a estabilidade dinâmica de equilíbrio devemos também verificar se independentemente da posição inicial de y a linha de fase sempre o guiará em direção à posição de equilíbrio na interseção citada EXERCÍCIO 156 1 Construa o gráfico da linha de fase para cada uma das seguintes e discuta suas implicações qualitativas a dydt y 7 c dydt 4 y2 b dydt 1 5y d dydt 9y 11 2 Construa o gráfico da linha de fase para cada uma das seguintes e interpretea a dydt y 12 16 y 0 b dydt 12 y y2 y 0 3 Dada dydt y 3y 5 y2 8y 15 a Deduza que há dois níveis de equilíbrio possíveis de y um em y 3 e outro em y 5 b Encontre o sinal de ddy dydt em y 3 e y 5 respectivamente O que você pode inferir deles Tipos de trajetória temporal Com base nas observações gerais precedentes podemos observar três tipos diferentes de trajetória temporal pelas linhas de fase ilustrativas na Figura 153 dydt A B C y y y y y y A discussão precedente sugere que em geral a inclinação da linha de fase em sua interseção é a chave da estabilidade dinâmica de equilíbrio ou da convergência da trajetória temporal Uma inclinação positiva finita tal como no ponto ya quer dizer instabilidade dinâmica ao passo que uma inclinação negativa finita tal como em yb implica estabilidade dinâmica Essa generalização pode nos ajudar a extrair inferências qualitativas sobre equações diferenciais dadas sem nem mesmo fazer o gráfico de suas linhas de fase Considere a equação diferencial linear em 154 por exemplo dydt ay b ou dydt ay b Visto que a linha de fase terá obviamente a inclinação constante a que aqui supomos diferente de zero podemos inferir imediatamente sem desenhar a linha que a0 y0 converge para diverge do equilíbrio Como era de se esperar esse resultado coincide perfeitamente com o que a solução quantitativa dessa equação nos diz yt y0 ba eat b a de 155 Aprendemos que partindo de uma posição inicial de nãoequilíbrio a convergência de yt depende de eat 0 quando t Isso pode acontecer se e somente se a 0 se a 0 então eat quando t e yt não pode convergir Assim nossa conclusão é uma só e a mesma quer cheguemos a ela pela via quantitativa quer pela via qualitativa yt yt yt yb y0 yc t t t a b c