Análise do Movimento em 2D: Bolas de Golfe e Teoria dos Vetores

MOVIMENTO EM 2D Movimento em 2D Análise do movimento de duas bolas de golfe Análise do movimento da catapulta quadro Análise do movimento parabólico casa Vetores e escalares Posição e Deslocamento Velocidade e Velocidade Média Aceleração e Aceleração Média Movimento Circular Uniforme Movimento Relativo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 1 Movimento em2D A figura ao lado mostra uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe A bola vermelha foi deixada cair largada A bola amarela foi lançada horizontalmente da mesma altura com o auxílio de uma mola Observe que a bola amarela tem velocidade no eixo x e y vetor que será visto na próxima aula Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 2 Figura extraída do Halliday disponível no link Movimento em2D Analisando o movimento o que mudou No eixo vertical ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo Porém no eixo horizontal a vermelha não muda a posição horizontal e a amarela muda O movimento horizontal da bola amarela não modificou o movimento vertical ou seja são independentes Eixo y MUV Acelerado gravidade Eixo x MU Velocidade constante Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 3 Movimento em2D Já foi feito a análise do movimento e a teoria envolvida O próximo passo é determinar a origem do eixo Definir as condições iniciais e finais x0 0 y 0 e y0 h para as duas bolas x 0 bola vermelha 1D x X bola amarela 2D v0y 0 para as duas bolas v0x 0 para a bola amarela ay g e ax 0 para as duas bolas Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 4 0 Eixo y h X Eixo x Movimento em2D Bola vermelha 1D retilíneo Bola amarela Uma variável relevante no lançamento horizontal é a variável alcance X Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 5 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 1 2 𝑔𝑡2 0 ℎ 0 1 2 𝑔𝑡2 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 0 ℎ 0 1 2 𝑔𝑡2 𝑡 2ℎ 𝑔 𝑋 𝑣0𝑥 2ℎ 𝑔 𝑥 𝑥0 𝑣0x𝑡 X 0 𝑣0x𝑡 0 Eixo y h X Eixo x Movimento em2D A velocidade final da bola vermelha é A velocidade anterior também é obtida pela equação de Torricelli Para a bola amarela a velocidade é um vetor com componente x e y Na próxima aula será estudado vetores e o cálculo o ângulo que v forma com a horizontal quando y0 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 6 𝑡 2ℎ 𝑔 𝑣 𝑔 2ℎ 𝑔 2𝑔ℎ 𝑣𝑥 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 2𝑔ℎ 𝑣 𝑣𝑥 2 𝑣𝑦 2 𝑣 𝑣𝑜𝑥 2 2𝑔ℎ Ԧ𝑣 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 0 Eixo y h X Eixo x Para o cálculo do ângulo de v com a horizontal usase a tangente Observe que vy é negativo logo o ângulo é negativo Movimento em2D Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 7 𝑣𝑥 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 2𝑔ℎ 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑣𝑦 𝑣𝑥 θ y x 𝑣 𝑣𝑥 2 𝑣𝑦 2 𝑣 𝑣𝑜𝑥 2 2𝑔ℎ v 0 Eixo y h X Eixo x Movimento de Projéteis 1 Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo plano A velocidade na saída do cano é 250 ms a Por quanto tempo o projétil permanece no ar b A que distância da arma na horizontal ele cai ao solo c Qual o módulo da componente vertical da velocidade no instante em que atinge o solo Resposta a t 303 s b d 7576 m c vy 297 ms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 8 Movimento de Projéteis 2 Uma pedra é lançada para o alto de um penhasco de altura h com uma velocidade inicial de 42 ms e uma ângulo de 60 acima da horizontal A pedra cai 55 s após o lançamento Calcule a Calcule a altura h do penhasco b A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto no solo c A altura máxima H acima do nível do solo Resposta a h 518m b v 21î 1753 ĵ ms c H 675 m Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 9 Movimento Projéteis Uma partícula pode ser uma bola de golfe bola de beisebol ou qualquer outra partícula Considere a situação ao lado num momento de solda elétrica Novamente o caso que será estudado é restrito a duas dimensões ou seja o movimento só ocorre no plano xy Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 10 Movimento de Projéteis Deduza as equações dos slides 12 à 15 O movimento é dividido em duas partes Na direção x o movimento é uniforme MU Na direção y o movimento é uniformemente variado ou seja com aceleração a g ou seja a aceleração de queda livre é g orientada para baixo MUV Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 11 Movimento de Projéteis Na direção x a velocidade é constante vx0 vx v0cosθ a 0 x0 0 x R O alcance R é a distância compreendida entre a origem até o ponto B Na direção y movimento acelerado ou seja a velocidade varia e a g 𝑥 𝑥0 𝑣0x𝑡 𝑅 𝑣0cos𝜃𝑡 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑣𝑦 𝑣0y 𝑔𝑡 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 12 Na figura ao lado y0 y 0 vy vy0 Observe que num sistema sem resistência do ar v0 v ou seja os módulos das velocidades em 0 e B são iguais 𝑣𝑦2 𝑣0y2 2𝑔𝑦 𝑦0 Movimento de Projéteis Para atingir o ponto B a partícula percorre a trajetória em forma de parábola 𝑡 2𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑡 0 𝑦0 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡 1 2 𝑔𝑡2 Raízes da equação 𝑅 𝑣0 22cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑔 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 13 Movimento de Projéteis Quando um objeto é lançado para cima ele atinge uma altura máxima e depois cai devido a ação da força da gravidade Na figura abaixo observe que no ponto A a velocidade é nula ou seja vy 0 A altura máxima alcançada é h Substituindo tA na equação anterior 0 𝑣0y 𝑔𝑡 𝑣𝑦0 𝑔𝑡 𝑡𝐴 𝑣0y 𝑔 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡 1 2 𝑔𝑡2 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 14 ℎ 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 2𝑔 Movimento de Projéteis Usando a equação de Torricelli na direção y Na altura máxima vy 0 ponto A considerando que y y0 h Equação da trajetória Confirmar que o movimento é uma parábola 𝑣𝑦2 𝑣0y 2 2𝑔 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦2 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 2 2𝑔 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 2𝑔 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 15 𝑡 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 1 2 𝑔 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 2 𝑥0 0 𝑒 𝑦0 0 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑦 tan𝜃𝑥 𝑔 2 𝑣0cos𝜃 2 𝑥2 Movimento de Projéteis Observando a figura ao lado notase que o alcance máximo é obtido quando θ45 Os valores complementares também obtém o mesmo alcance 𝑅 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑔 Movimento de projéteis para diferentes inclinações ângulo para uma velocidade inicial de 50 ms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 16 Movimento de Projéteis Situação sem resistência do ar Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 17 Movimento de Projéteis Situação com resistência do ar Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 18 Vetores e Escalares O que é um grandeza escalar São grandezas físicas especificadas por um número e uma unidade e que obedecem às regras da álgebra comum Temperatura 300 K 27C Pressão 1 atm 30 bar 80 PSI 80 kgfcm2 Energia Trabalho calor 1 J 300 cal Tempo150 minutos O que é um grandeza vetorial São grandezas que possuem módulo direção e sentido e obedecem a certas regras de adição vetorial que comentaremos nos próximos slides Um vetor é representado em negrito em alguns livros ou por uma seta sob a variável Velocidade v ou Ԧ𝑣 Aceleração a ou Ԧ𝑎 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 19 Vetor Uma partícula com movimento restrito a uma linha reta só pode se mover em uma direção e o sentido pode ser no sentido positivo e negativo No espaço tridimensional 3D a partícula precisa de uma representação para mostrar a direção e o sentido do movimento As setas da figuras acima representam o vetor deslocamento A linha tracejada em vermelho a distância percorrida Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 20 Posição O movimento retilíneo Pequena quantidade de fenômenos físicos Em 3D a localização de uma partícula é dada pelo vetor posição r Este vetor se inicia em um ponto de referência geralmente a origem do sistema de coordenadas até a partícula O vetor deslocamento Δr será dado por Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 21 𝑟𝑖 𝑡 𝑡𝑖 𝑥𝑖 Ƹ𝑖 𝑦𝑖 Ƹ𝑗 𝑧𝑖 𝑘 𝑟𝑓 𝑡 𝑡𝑓 𝑥𝑓 Ƹ𝑖 𝑦𝑓 Ƹ𝑗 𝑧𝑓 𝑘 ΔԦ𝑟 𝑟𝑓 𝑟𝑖 𝑥𝑓 𝑥𝑖 Ƹ𝑖 𝑦𝑓 𝑦𝑖 Ƹ𝑗 𝑧𝑓 𝑧𝑖 𝑘 Velocidade Média e instantânea Se uma partícula sofreu um deslocamento Δr durante um intervalo de tempo Δt sua velocidade média é Considere o movimento restrito ao plano xy e um intervalo de tempo muito pequeno A direção do deslocamento fica tangente ao caminho percorrido logo a velocidade instantânea v é ത𝐯 ΔԦ𝑟 Δ𝑡 Δ𝑥 Ƹ𝑖 Δ𝑦 Ƹ𝑗 Δ𝑧𝑘 Δ𝑡 ത𝐯 Δ𝑥 Ƹ𝑖 Δ𝑡 Δ𝑦 Ƹ𝑗 Δ𝑡 Δ𝑧𝑘 Δ𝑡 ത𝐯 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 ഥ𝑣𝑧 𝑘 Ԧ𝑣 lim Δ𝑡0 ΔԦ𝑟 Δ𝑡 𝑑Ԧ𝑟 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 Ƹ𝑖 𝑦 Ƹ𝑗 𝑧𝑘 Ԧ𝑣 𝑑𝑥 𝑑𝑡 Ƹ𝑖 𝑑𝑦 𝑑𝑡 Ƹ𝑗 𝑑𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 𝑣𝑧 𝑘 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 22 Aceleração Média e instantânea Quando a velocidade de uma partícula varia de vi para vf no intervalo de tempo Δt então sua aceleração média é A aceleração instantânea a ou simplesmente aceleração é o limite a quando Δt tende a zero ത𝐚 𝑣𝑓 𝑣𝑖 Δ𝑡 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 Δ𝑣𝑥 Ƹ𝑖 Δ𝑣𝑦 Ƹ𝑗 Δ𝑣𝑧 𝑘 Δ𝑡 Δ𝑣𝑥 Ƹ𝑖 Δ𝑡 Δ𝑣𝑦 Ƹ𝑗 Δ𝑡 Δ𝑣𝑧 𝑘 Δ𝑡 ത𝐚 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 𝑎𝑧 𝑘 Ԧ𝑎 lim Δ𝑡0 Δ Ԧ𝑣 Δ𝑡 𝑑 Ԧ𝑣 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 𝑣𝑧 𝑘 𝑎𝑥 Ƹ𝑖 𝑎𝑦 Ƹ𝑗 𝑎𝑧 𝑘 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 23 Representação Gráfica de Δv Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 24 Movimento em 2D e 3D 3 Um avião voa 480 km da cidade A para a cidade B na direção leste em 45 min e depois voa 960 km da B para C na direção sul em 15 h a Qual o módulo do vetor deslocamento que representa a viagem total b Qual o sentido do vetor deslocamento c Qual o módulo do vetor velocidade média d Qual o vetor velocidade média Resposta a d 10733 km b 634 sudeste b v 477 kmh d vmédia 21333î 42667ĵms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 25 Movimento em 2D e 3D 4 A posição r de uma partícula em movimento no plano xy é dada por r 5t 3î 2t25tĵ onde r é dado em metros e t em segundos Calcule ar b v e c a em t7s Resposta a r 38î 133ĵm b v 5î 33ĵ ms c a 0î 4ĵ ms2 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 26 Aceleração Qual o requisito para um corpo ser acelerado 1D Mudança no valor da velocidade Para 2 ou 3D Mudança no valor da velocidade Mudança na direção do vetor velocidade Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 27 Movimento Circular Uniforme Uma partícula está em movimento circular uniforme se percorre um círculo ou um arco de círculo com velocidade constante Embora o módulo da velocidade não varie a partícula está acelerada pois v é um vetor não um escalar Se v variar mesmo que seja somente em direção há uma aceleração e neste caso ocorre movimento circular uniforme Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 28 Movimento Circular Uniforme A figura abaixo representa a trajetória do movimento circular uniforme de uma partícula com velocidade de módulo v cujo vetor é sempre tangente a trajetória Os pontos p e q simétricos em relação ao eixo y serão usados para determinar o módulo e a direção da aceleração As velocidades nos pontos p e q têm mesmo módulo v mas direções diferentes As componentes de v nas direções x e y nestes pontos são Intervalo de tempo Δt entre p e q 𝑣𝑝𝑥 𝑣cos𝜃 𝑣𝑝𝑦 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣𝑞𝑥 𝑣cos𝜃 𝑣𝑞𝑦 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 ponto p ponto q Δ𝑡 𝑎𝑟𝑐 𝑝𝑞 𝑣 𝑟 2𝜃 𝑣 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 29 Movimento Circular Uniforme A aceleração média na direção x é A aceleração média na direção y é Substituindo 𝑎𝑦 em Δ𝑡 temos O sinal negativo significa que a componente da aceleração aponta verticalmente para baixo ou seja para o centro da trajetória circular 𝑎𝑥 𝑣𝑞𝑥 𝑣𝑝𝑥 Δ𝑡 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃 Δ𝑡 0 𝑎𝑦 𝑣𝑞𝑦 𝑣𝑝𝑦 Δ𝑡 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 Δ𝑡 2𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 Δ𝑡 𝑎𝑦 2𝑣𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟2𝜃 𝑣 𝑣2 𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜃 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 30 Movimento Circular Uniforme A medida que p e q se aproximam eles tendem ao ponto P Quando o ângulo θ tende a zero ou seja a aceleração média tende para a aceleração instantânea no ponto P Quando θ é pequeno a razão senθθ se aproxima de 1 𝑎 𝑣2 𝑟 𝑎𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎çã𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟í𝑝𝑒𝑡𝑎 Fonte Autor 2018 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 31 Movimento Circular Uniforme 5 a Qual é a aceleração de um ciclista ao fazer uma curva de 25 m de raio com a velocidade de 10 ms b Para onde aponta o vetor aceleração a Resposta a a 4 ms2 b O vetor aceleração centrípeta tem direção radial e aponta para o centro do círculo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 32 Movimento Circular Uniforme 6 Um velocista corre em volta de uma pista circular com a velocidade de 92 ms e com aceleração centrípeta de 38 ms2 a Qual o raio da pista b Quanto tempo ele leva para dar uma volta completa na pista com essa velocidade Respostas a r 223 m b T1521 s Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 33 Movimento Relativo As observadoras A e B veem o mesmo homem com velocidades diferentes Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 34 Movimento Relativo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 35 Movimento Relativo Suponha que um pato voe para o norte com uma velocidade de 32 kmh Para um outro pato que voe ao lado do primeiro ele está parado A velocidade de uma partícula depende do referencial O sistema de referência mais comum é o chão sob os nossos pés Quando uma passageiro está em um carro cujo velocímetro marca 100 kmh embora não seja dito o referencial é o solo Um observador no solo dirá que o carro e seus ocupantes estão a 100 kmh Já os ocupantes dirão que eles estão parados em relação ao carro Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 36 Movimento Relativo Supondo que uma pessoa esteja parado no referencial A e observe um objeto P O referencial B esteja em movimento com velocidade constante vBA Ambos determinam a posição do objeto P De acordo com a figura ao lado onde xPA é posição de P em relação ao referencial A xPB x de P em relação ao ref B e xBA posição de B em relação ao ref A 𝑥𝑃𝐴 𝑥𝑃𝐵 𝑥𝐵𝐴 Fonte Autor 2018 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 37 Movimento Relativo Derivando xPA em relação ao tempo onde vPA é a vel de P em relação ao referencial A vPB vel de P em relação ao ref B e vBA vel do ref B em relação ao ref A Derivando vPA em relação Onde aPA é a aceleração de P em relação ao referencial A aPB acel de P em relação ao ref B e aBA acel do ref B em relação ao ref A Como a velocidade vBA é constante então aBA 0 𝑑𝑥𝑃𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝑃𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑥𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝑣𝑃𝐴 𝑣𝑃𝐵 𝑣𝐵𝐴 𝑑𝑣𝑃𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝑃𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑣𝐵𝐴 𝑑𝑡 𝑎𝑃𝐴 𝑎𝑃𝐵 𝑎𝐵𝐴 𝑎𝑃𝐴 𝑎𝑃𝐵 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 38 Movimento Relativo Considerando apenas os referenciais que se movem um em relação ao outro com velocidade constante Estes referenciais são chamados de referenciais inerciais Os referenciais inerciais medem a mesma aceleração para o movimento de uma partícula Em 3D para um referencial inercial ou seja vBA constante Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 39 𝑟𝑃𝐴 𝑟𝑃𝐵 𝑟𝐵𝐴 𝑣𝑃𝐴 𝑣𝑃𝐵 𝑣𝐵𝐴 𝑎𝑃𝐴 𝑎𝑃𝐵 Movimento Relativo Disponível em Com ajuda do vento Norwegian bate o recorde de velocidade do Boeing 787 AEROFLAP O trajeto de aproximadamente 5584 km distância em linha reta foi cumprido em apenas 5 horas e 13 minutos o que dá uma média de 1088 kmh O voo Norwegian 7014 chegou 53 minutos antes do previsto nesse caso o avião precisaria voar com uma média de 92145 kmh para chegar no tempo informado Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 40 Movimento Relativo Por que isso aconteceu Isso só foi possível devido aos fortes ventos de cauda encontrados durante a rota vale lembrar que voando no sentido leste acima do Trópico de Câncer o avião é facilmente afetado por correntes de jato O vento de cauda é indesejável em pousos e decolagens pois aumenta a velocidade necessária e exige maior comprimento de pista Mas em altitude de cruzeiro o efeito é ao contrário possibilitando uma maior velocidade de voo para a aeronave muitos dizem que é como se o vento estivesse empurrando o avião Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 41 Movimento Relativo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 42 Disponível em Durante tempestade Boeing 747 quebra recorde de tempo de travessia transatlântica aeroinnet A tempestade Ciara no Norte da Europa trouxe fortes de ventos de até 150 kmh e deu uma mãozinha num voo transatlântico de um Boeing 747 que quebrou um recorde Movimento Relativo 7 Um barco está navegando rio acima a 14 kmh em relação à água do rio A velocidade da água em relação ao solo é 9 kmh a Qual a velocidade do barco em relação ao solo b Uma criança no barco caminha da proa a popa a 6 kmh em relação ao barco Qual a velocidade da criança em relação ao solo Resposta a vbarcosolo 5 kmh rio acima b vcriançasolo 1 kmh rio abaixo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 43 a RIO ACIMA X POSITIVO P BARCO A SOLO B RIO b PROA A POPA X NEGATIVO P CRIANÇA A SOLO B BARCO 𝑣𝑃𝐴 𝑣𝑃𝐵 𝑣𝐵𝐴