Análise do Movimento em 2D: Estudo de Bolas de Golfe e Catapultas

MOVIMENTO EM 2D Movimento em 2D Análise do movimento de duas bolas de golfe Análise do movimento da catapulta quadro Análise do movimento parabólico casa Vetores e escalares Posição e Deslocamento Velocidade e Velocidade Média Aceleração e Aceleração Média Movimento Circular Uniforme Movimento Relativo Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 1 Movimento em2D A figura ao lado mostra uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe A bola vermelha foi deixada cair largada A bola amarela foi lançada horizontalmente da mesma altura com o auxílio de uma mola Observe que a bola amarela tem velocidade no eixo x e y vetor que será visto na próxima aula Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 2 Figura extraída do Halliday disponível no link Movimento em2D Analisando o movimento o que mudou No eixo vertical ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo Porém no eixo horizontal a vermelha não muda a posição horizontal e a amarela muda O movimento horizontal da bola amarela não modificou o movimento vertical ou seja são independentes Eixo y MUV Acelerado gravidade Eixo x MU Velocidade constante Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 3 Movimento em2D Já foi feito a análise do movimento e a teoria envolvida O próximo passo é determinar a origem do eixo Definir as condições iniciais e finais x0 0 y 0 e y0 h para as duas bolas x 0 bola vermelha 1D x X bola amarela 2D v0y 0 para as duas bolas v0x 0 para a bola amarela ay g e ax 0 para as duas bolas Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 4 0 Eixo y h X Eixo x Movimento em2D Bola vermelha 1D retilíneo Bola amarela Uma variável relevante no lançamento horizontal é a variável alcance X Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 5 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 1 2 𝑔𝑡2 0 ℎ 0 1 2 𝑔𝑡2 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 0 ℎ 0 1 2 𝑔𝑡2 𝑡 2ℎ 𝑔 𝑋 𝑣0𝑥 2ℎ 𝑔 𝑥 𝑥0 𝑣0x𝑡 X 0 𝑣0x𝑡 0 Eixo y h X Eixo x Movimento em2D A velocidade final da bola vermelha é A velocidade anterior também é obtida pela equação de Torricelli Para a bola amarela a velocidade é um vetor com componente x e y Na próxima aula será estudado vetores e o cálculo o ângulo que v forma com a horizontal quando y0 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 6 𝑡 2ℎ 𝑔 𝑣 𝑔 2ℎ 𝑔 2𝑔ℎ 𝑣𝑥 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 2𝑔ℎ 𝑣 𝑣𝑥 2 𝑣𝑦 2 𝑣 𝑣𝑜𝑥 2 2𝑔ℎ Ԧ𝑣 𝑣𝑥 Ƹ𝑖 𝑣𝑦 Ƹ𝑗 0 Eixo y h X Eixo x Para o cálculo do ângulo de v com a horizontal usase a tangente Observe que vy é negativo logo o ângulo é negativo Movimento em2D Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 7 𝑣𝑥 𝑣0𝑥 𝑣𝑦 2𝑔ℎ 𝑡𝑎𝑛𝜃 𝑣𝑦 𝑣𝑥 θ y x 𝑣 𝑣𝑥 2 𝑣𝑦 2 𝑣 𝑣𝑜𝑥 2 2𝑔ℎ v 0 Eixo y h X Eixo x Movimento de Projéteis 1 Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo plano A velocidade na saída do cano é 250 ms a Por quanto tempo o projétil permanece no ar b A que distância da arma na horizontal ele cai ao solo c Qual o módulo da componente vertical da velocidade no instante em que atinge o solo Resposta a t 303 s b d 7576 m c vy 297 ms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 8 Movimento de Projéteis 2 Uma pedra é lançada para o alto de um penhasco de altura h com uma velocidade inicial de 42 ms e uma ângulo de 60 acima da horizontal A pedra cai 55 s após o lançamento Calcule a Calcule a altura h do penhasco b A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto no solo c A altura máxima H acima do nível do solo Resposta a h 518m b v 21î 1753 ĵ ms c H 675 m Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 9 Movimento Projéteis Uma partícula pode ser uma bola de golfe bola de beisebol ou qualquer outra partícula Considere a situação ao lado num momento de solda elétrica Novamente o caso que será estudado é restrito a duas dimensões ou seja o movimento só ocorre no plano xy Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 10 Movimento de Projéteis Deduza as equações dos slides 12 à 15 O movimento é dividido em duas partes Na direção x o movimento é uniforme MU Na direção y o movimento é uniformemente variado ou seja com aceleração a g ou seja a aceleração de queda livre é g orientada para baixo MUV Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 11 Movimento de Projéteis Na direção x a velocidade é constante vx0 vx v0cosθ a 0 x0 0 x R O alcance R é a distância compreendida entre a origem até o ponto B Na direção y movimento acelerado ou seja a velocidade varia e a g 𝑥 𝑥0 𝑣0x𝑡 𝑅 𝑣0cos𝜃𝑡 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑣𝑦 𝑣0y 𝑔𝑡 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 12 Na figura ao lado y0 y 0 vy vy0 Observe que num sistema sem resistência do ar v0 v ou seja os módulos das velocidades em 0 e B são iguais 𝑣𝑦2 𝑣0y2 2𝑔𝑦 𝑦0 Movimento de Projéteis Para atingir o ponto B a partícula percorre a trajetória em forma de parábola 𝑡 2𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑡 0 𝑦0 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡 1 2 𝑔𝑡2 Raízes da equação 𝑅 𝑣0 22cos𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑔 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 13 Movimento de Projéteis Quando um objeto é lançado para cima ele atinge uma altura máxima e depois cai devido a ação da força da gravidade Na figura abaixo observe que no ponto A a velocidade é nula ou seja vy 0 A altura máxima alcançada é h Substituindo tA na equação anterior 0 𝑣0y 𝑔𝑡 𝑣𝑦0 𝑔𝑡 𝑡𝐴 𝑣0y 𝑔 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑔 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃𝑡 1 2 𝑔𝑡2 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 14 ℎ 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 2𝑔 Movimento de Projéteis Usando a equação de Torricelli na direção y Na altura máxima vy 0 ponto A considerando que y y0 h Equação da trajetória Confirmar que o movimento é uma parábola 𝑣𝑦2 𝑣0y 2 2𝑔 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦2 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 2 2𝑔 𝑦 𝑦0 ℎ 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛2𝜃 2𝑔 Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 15 𝑡 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 1 2 𝑔 𝑥 𝑥0 𝑣0cos𝜃 2 𝑥0 0 𝑒 𝑦0 0 𝑦 𝑦0 𝑣0y𝑡 1 2 𝑔𝑡2 𝑦 tan𝜃𝑥 𝑔 2 𝑣0cos𝜃 2 𝑥2 Movimento de Projéteis Observando a figura ao lado notase que o alcance máximo é obtido quando θ45 Os valores complementares também obtém o mesmo alcance 𝑅 𝑣0 2𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑔 Movimento de projéteis para diferentes inclinações ângulo para uma velocidade inicial de 50 ms Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 16 Movimento de Projéteis Situação sem resistência do ar Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 17 Movimento de Projéteis Situação com resistência do ar Professor Sharon Dantas da Cunha email sharondantasufersaedubr 18