Derivadas Parciais de Segunda Ordem - Lista de Exercícios Resolvidos

ATIVIDADE DO REGIME DOMICILIAR 19032023 1 Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir a 𝑤 9 3𝑦813𝑥4 b 𝑧𝑥 𝑡 2𝑥4𝑡3 4t c 𝑓𝑥 𝑦 3𝑒2𝑥3𝑦2 1 Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções a seguir a 𝑤 9 3𝑦813𝑥4 Resolução Primeiro vamos calcular a derivada parcial 𝑓𝑥𝑥 Calculando a primeira derivada 𝑓𝑥 𝑥 9 3𝑦8 13𝑥4 Removendo a constante e passando a função para o numerador 𝑓𝑥 9 𝑥 3𝑦8 13𝑥41 Aplicando a regra da cadeia onde 𝑢 3𝑦8 13𝑥4 e 𝑓 𝑢1 𝑓𝑥 9 𝑢 𝑢1 𝑥 3𝑦8 13𝑥4 Derivando 𝑓𝑥 9𝑢252𝑥3 Voltando a substituição e simplificando 𝑓𝑥 468𝑥3 3𝑦8 13𝑥42 Agora vamos encontrar a segunda derivada parcial em 𝑥 𝑓𝑥𝑥 𝑥 468𝑥3 3𝑦8 13𝑥42 Removendo a constante 𝑓𝑥𝑥 468 𝑥 𝑥3 3𝑦8 13𝑥42 Como nós temos uma função no numerador e denominador precisamos aplicar a regra do quociente 𝑓 𝑔 𝑓𝑔 𝑔𝑓 𝑔2 Aplicando a regra 𝑓𝑥𝑥 468 𝑥 𝑥33𝑦8 13𝑥4 𝑥 3𝑦8 13𝑥42𝑥3 3𝑦8 13𝑥44 Derivando 𝑓𝑥𝑥 468 3𝑥23𝑦8 13𝑥42 52𝑥323𝑦8 13𝑥4𝑥3 3𝑦8 13𝑥44 Podemos simplificar 3𝑦8 13𝑥4 que aparece em todos os termos 𝑓𝑥𝑥 468 3𝑥23𝑦8 13𝑥4 104𝑥6 3𝑦8 13𝑥43 Distribuindo 𝑓𝑥𝑥 468 9𝑥2𝑦8 39𝑥6 104𝑥6 3𝑦8 13𝑥43 𝑓𝑥𝑥 468 9𝑥2𝑦8 65𝑥6 3𝑦8 13𝑥43 Vamos encontrar a derivada parcial 𝑓𝑥𝑦 Como nós já encontramos a derivada 𝑓𝑥 nós só precisamos derivar ela em relação a 𝑦 𝑓𝑥𝑦 𝑦 468𝑥3 3𝑦8 13𝑥42 Removendo as constantes e subindo a função pro denominador 𝑓𝑥𝑦 468𝑥3 𝑦 3𝑦8 13𝑥42 Aplicando a regra da cadeia 𝑓𝑥𝑦 468𝑥3 𝑢 𝑢2 𝑦 3𝑦8 13𝑥4 𝑓𝑥𝑦 468𝑥32𝑢324𝑦7 Simplificando e voltando a substituição 𝑓𝑥𝑦 22464𝑥3𝑦7 3𝑦8 13𝑥43 Por fim para a letra a nos resta encontrar a derivada 𝑓𝑦𝑦 Encontrando a primeira derivada em relação a 𝑦 𝑓𝑦 𝑦 9 3𝑦8 13𝑥4 Removendo a constante e passando a integral pra cima 𝑓𝑦 9 𝑦 3𝑦8 13𝑥41 Aplicando a regra da cadeia 𝑓𝑦 9 𝑢 𝑢1 𝑦 3𝑦8 13𝑥4 Derivando 𝑓𝑦 9𝑢224𝑦7 Simplificando e voltando a substituição 𝑓𝑦 216𝑦7 3𝑦8 13𝑥42 Então vamos encontrar a derivada 𝑓𝑦𝑦 𝑓𝑦𝑦 𝑦 216𝑦7 3𝑦8 13𝑥42 Removendo a constante 𝑓𝑦𝑦 216 𝑦 𝑦7 3𝑦8 13𝑥42 Aplicando a regra do quociente 𝑓𝑦𝑦 216 𝑦 𝑦73𝑦8 13𝑥42 𝑦 3𝑦8 13𝑥42𝑦7 3𝑦8 13𝑥44 Derivando 𝑓𝑦𝑦 216 7𝑦63𝑦8 13𝑥42 24𝑦723𝑦8 13𝑥4𝑦7 3𝑦8 13𝑥44 Simplificando 𝑓𝑦𝑦 216 7𝑦63𝑦8 13𝑥4 48𝑦14 3𝑦8 13𝑥43 Distribuindo 𝑓𝑦𝑦 216 21𝑦14 91𝑥4𝑦6 48𝑦14 3𝑦8 13𝑥43 𝑓𝑦𝑦 216 91𝑥4𝑦6 27𝑦14 3𝑦8 13𝑥43 Observação a derivada parcial 𝑓𝑥𝑦 sempre terá o mesmo resultado de 𝑓𝑦𝑥 b 𝑧𝑥 𝑡 2𝑥4𝑡34𝑡 Resolução Antes de calcularmos as derivadas podemos simplificar a função 𝑧𝑥 𝑡 2𝑥4𝑡34𝑡 2𝑥4𝑡3𝑡124 Mantendo a base e somando os expoentes 𝑧𝑥 𝑡 4𝑥4𝑡72 Primeiro vamos encontrar a derivada parcial 𝑓𝑥𝑥 Calculando a primeira derivada 𝑓𝑥 𝑥 4𝑥4𝑡72 Removendo as constantes 𝑓𝑥 4𝑡72 𝑥 𝑥4 Derivando 𝑓𝑥 4𝑡724𝑥3 Simplificando 𝑓𝑥 16𝑥3𝑡72 Agora vamos encontrar a segunda derivada em 𝑥 𝑓𝑥𝑥 𝑥 16𝑥3𝑡72 Removendo as constantes 𝑓𝑥𝑥 16𝑡72 𝑥 𝑥3 Derivando e simplificando 𝑓𝑥𝑥 48𝑥2𝑡72 Agora vamos encontrar a derivada parcial 𝑓𝑥𝑡 Nós já encontramos a derivada 𝑓𝑥 então temos 𝑓𝑥𝑡 𝑡 16𝑥3𝑡72 Removendo as constantes 𝑓𝑥𝑡 16𝑥3 𝑡 𝑡72 Derivando 𝑓𝑥𝑡 16𝑥3 7 2 𝑡52 Simplificando 𝑓𝑥𝑡 56𝑥3𝑡52 Sendo assim nos resta encontrar a derivada parcial 𝑓𝑡𝑡 Calculando 𝑓𝑡 𝑓𝑡 𝑡 4𝑥4𝑡72 Removendo as constantes 𝑓𝑡 4𝑥4 𝑡 𝑡72 Derivando 𝑓𝑡 4𝑥4 7 2 𝑡52 𝑓𝑡 14𝑥4𝑡52 Calculando 𝑓𝑡𝑡 𝑓𝑡𝑡 𝑡 14𝑥4𝑡52 Removendo as constantes 𝑓𝑡𝑡 14𝑥4 𝑡 𝑡52 Derivando 𝑓𝑡𝑡 14𝑥4 5 2 𝑡32 Simplificando 𝑓𝑡𝑡 35𝑥4𝑡32 c 𝑓𝑥 𝑦 3𝑒2𝑥3𝑦2 Resolução Primeiro vamos encontrar a derivada 𝑓𝑥𝑥 Calculando 𝑓𝑥 𝑓𝑥 𝑥 3𝑒2𝑥3𝑦2 Removendo a constante 𝑓𝑥 3 𝑥 𝑒2𝑥3𝑦2 Aplicando a regra da cadeia onde 𝑢 2𝑥3𝑦2 e 𝑓 𝑒𝑢 𝑓𝑥 3 𝑢 𝑒𝑢 𝑥 2𝑥3𝑦2 Derivando 𝑓𝑥 3𝑒𝑢6𝑥2𝑦2 Voltando a substituição e simplificando 𝑓𝑥 18𝑥2𝑦2𝑒2𝑥3𝑦2 Calculando a derivada 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑥 𝑥 18𝑥2𝑦2𝑒2𝑥3𝑦2 Removendo as constantes 𝑓𝑥𝑥 18𝑦2 𝑥 𝑥2𝑒2𝑥3𝑦2 Aplicando a regra do produto 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑥𝑥 18𝑦2 𝑥 𝑒2𝑥3𝑦2𝑥2 𝑥 𝑥2𝑒2𝑥3𝑦2 Derivando 𝑓𝑥𝑥 18𝑦2𝑒2𝑥3𝑦26𝑥4𝑦2 2𝑥𝑒2𝑥3𝑦2 Agora vamos encontrar a derivada 𝑓𝑥𝑦 Nós já encontramos 𝑓𝑥 logo 𝑓𝑥𝑦 𝑦 18𝑥2𝑦2𝑒2𝑥3𝑦2 Removendo as constantes 𝑓𝑥𝑦 18𝑥2 𝑦 𝑦2𝑒2𝑥3𝑦2 Aplicando a regra do produto 𝑓𝑥𝑦 18𝑥2 𝑦 𝑒2𝑥3𝑦2𝑦2 𝑦 𝑦2𝑒2𝑥3𝑦2 Derivando 𝑓𝑥𝑦 18𝑥24𝑒2𝑥3𝑦2𝑥3𝑦3 2𝑦𝑒2𝑥3𝑦2 Finalmente a última derivada que precisamos encontrar é 𝑓𝑦𝑦 Calculando 𝑓𝑦 𝑓𝑦 𝑦 3𝑒2𝑥3𝑦2 Removendo a constante 𝑓𝑦 3 𝑦 𝑒2𝑥3𝑦2 Aplicando a regra da cadeia 𝑓𝑦 3 𝑢 𝑒𝑢 𝑦 2𝑥3𝑦2 Derivando 𝑓𝑦 3𝑒𝑢4𝑥3𝑦 Simplificando e voltando a substituição 𝑓𝑦 12𝑥3𝑦𝑒2𝑥3𝑦2 Agora vamos encontrar a derivada 𝑓𝑦𝑦 𝑓𝑦𝑦 𝑦 12𝑥3𝑦𝑒2𝑥3𝑦2 Removendo as constantes 𝑓𝑦𝑦 12𝑥3 𝑦 𝑦𝑒2𝑥3𝑦2 Aplicando a regra do produto 𝑓𝑦𝑦 12𝑥3 𝑦 𝑒2𝑥3𝑦2𝑦 𝑦 𝑦𝑒2𝑥3𝑦2 Derivando 𝑓𝑦𝑦 12𝑥34𝑒2𝑥3𝑦2𝑥3𝑦2 𝑒2𝑥3𝑦2