Aplicações de Integração: Áreas entre Curvas e Volumes

Capítulo 1 Aplicações de Integração Áreas entre curvas e volumes TailândiaPA outubro2022 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 6 Aplicações de Integração 1 Aplicações de Integração Áreas entre curvas e volumes 11 Áreas entre curvas 12 Volumes 13 Volumes por cascas cilíndricas 14 Trabalho 15 Valor médio de uma função Referência Bibliográfica STEWART James Cálculo Vol 1 7 ed São Paulo Cengage Learning 2013 Sumário Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 61 Áreas entre as Curvas 5 Áreas entre as Curvas Considere a região S que se encontra entre duas curvas y fx e y gx e entre as retas verticais x a e x b onde f e g são funções contínuas e fx gx para todo x em a b Veja a Figura 1 Figura 1 S x y a x b gx y ƒx 6 Áreas entre as Curvas Dividimos S em n faixas de largura iguais e então aproximamos a iésima faixa por um retângulo com base x e altura fxi gxi Veja a Figura 2 Se quiséssemos poderíamos tomar todos os pontos amostrais como as extremidades direitas De modo que xi xi Figura 2 7 Áreas entre as Curvas A soma de Riemann é portanto uma aproximação do que intuitivamente pensamos como a área de S Esta aproximação parece tornarse cada vez melhor quando n Portanto definimos a área A da regiãoS como o valorlimite da soma das áreas desses retângulos de aproximação 8 Áreas entre as Curvas Reconhecemos o limite em assim como a integral definida de f g Portanto temos a seguinte fórmula para a área Observe que no caso especial onde gx 0 S é a região sob o gráfico def e a nossa definição geral de área se reduz à nossa definição anterior 9 Áreas entre as Curvas No caso em que f e g forem ambas positivas você pode ver na Figura 3 por que é verdadeira A área sob y fx área sob y gx Figura 3 10 10 Exemplo 1 Encontre a área da região limitada acima por y ex limitada abaixo por y x e limitada nos lados por x 0 e x 1 SOLUÇÃO A região é mostrada na Figura 4 A curva limitante superior é y ex e a curva limitante inferior é y x Figura 4 11 11 Exemplo 1 Solução Então usamos a fórmula da área com fx ex gx x a 0 e b 1 continuação 12 12 Áreas entre as Curvas Na Figura 4 desenhamos um retângulo aproximante típico com largura x que nos lembra o procedimento pelo qual a área é definida em Em geral quando determinamos uma integral para uma área é útil esboçar a região para identificar a curva superior yT a curva inferior yB e um retângulo aproximante típico como na Figura 5 Figura 4 Figura 5 13 13 Áreas entre as Curvas Então a área de um retângulo típico é yT yB x e a equação resumem o procedimento de adição no sentido de limite das áreas de todos os retângulos típicos Observe que na Figura 5 o limite esquerdo se reduz a um ponto enquanto na Figura 3 o limite direito é que se reduz a um ponto Figura 3 14 14 Áreas entre as Curvas Para encontrarmos a área entre as curvas y f x e y g x onde f x g x para alguns valores x mas g x f x para outros valores de x então dividimos determinada região S em várias regiões S1 S2 com áreas A1 A2 como mostrado na Figura 9 Em seguida definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S1 S2 ou seja A A1 A2 Uma vez que f x g x onde f x g x g x f x onde g x f x Figura 9 f x g x 15 15 Áreas entre as Curvas temos a seguinte expressão para A Quando calculamos a integral em contudono entanto ainda temos que dividila em integrais correspondentes a A1 A2 16 16 Exemplo 5 Encontre a área da região delimitada pelas curvas y sen x y cos x x 0 e x 2 SOLUÇÃO Os pontos de intersecção ocorrem quando sen x cos x isto é quando x 4 considerando que 0 x 2 A região é esboçada na Figura 10 Observe que cos x sen x quando 0 x 4 mas sen x cos x quando 4 x 2 Figura 10 17 17 Exemplo 5 Solução Portanto a área requerida é continuação 18 18 Exemplo 5 Solução Neste exemplo particular poderíamos ter economizado algum trabalho por perceber que a região é simétrica em torno de x 4 e assim continuação 19 19 Áreas entre as Curvas Algumas regiões são mais bem tratadas considerando x como uma função de y Se uma região é delimitada por curvas com equações x fy x gy y c e y d em que f e g são contínuas e fy gy para c y d veja a Figura 11 então sua área é Figura 11 20 20 Áreas entre as Curvas Se escrevermos xR para o limite à direita e xL para o limite à esquerda então como ilustrada a Figura 12 ilustra teremos Figura 12 21 21 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 62 Volumes 22 22 Volumes Na tentativa de encontrar o volume de um sólido nos deparamos com o mesmo tipo de problema que para calcular áreas Temos uma ideia intuitiva do significado de volume mas devemos tornála precisa usando o cálculo para chegar à definição exata de volume 23 23 Volumes Começamos com um tipo simples de sólido chamado cilindro ou mais precisamente um cilindro reto Como ilustrado na Figura 1a um cilindro é delimitado por uma região plana B1 denominada base e uma região congruente B2 em um plano paralelo O cilindro consiste em todos os pontos nos segmentos de reta perpendiculares à base que unem B1 a B2 Se a área da base é A e a altura do cilindro distância de B1 a B2 é h então o volume V do cilindro é definido como V Ah Figura 1a 24 24 Volumes Em particular se a base é um círculo com raio r então o cilindro é um cilindro circular com o volume V r2h veja a Figura 1b e se a base é um retângulo com comprimento l e largura w então o cilindro é uma caixa retangular também chamado paralelepípedo retangular com o volume V lwh veja a Figura 1c Figura 1b Figura 1c 25 25 Volumes Para um sólido S que não é um cilindro nós primeiro cortamos S em pedaços e aproximamos cada parte por um cilindro Estimamos o volume de S adicionando os volumes dos cilindros Chegamos ao volume exato de S através de um processo de limite em que o número de peças tornase grande Começamos interceptando S com um plano e a obtendo uma região plana que é chamada secção transversal de S 26 26 Volumes Seja Ax a área da secção transversal de S no plano Px perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto x onde a x b Veja a Figura 2 Pense em fatiar S com uma faca passando por x e calcule a área de uma fatia A área da secção transversal Ax irá variar quando x aumenta de a até b Figura 2 27 27 Volumes Vamos dividir S em n fatias de larguras iguais x usando os planos Px1 Px2 para fatiar o sólido Pense em fatiar um pedaço de pão Se escolhermos pontos amostrais xi em xi1 xi poderemos aproximar a iésima fatia Si a parte de S que está entre os planos Pxi1 e Pxi a um cilindro com área de base Axi e altura x Veja a Figura 3 Figura 3 28 28 Volumes O volume desse cilindro é Axi x assim uma aproximação para a nossa concepção intuitiva de volume da iésima fatia Si é VSi Axi x Adicionando os volumes dessas fatias obtemos uma aproximação para o volume total isto é o que pensamos intuitivamente como volume 29 29 Volumes Esta aproximação parece quando n Pense nas fatias tornandose cada vez mais finas Portanto definimos o volume como o limite dessas somas quando n Mas reconhecemos o limite da soma de Riemann como uma integral definida e dessa forma temos a seguinte definição 30 30 Volumes Quando usamos a fórmula de volume é importante lembrar que Ax é a área de uma secção transversal móvel obtida fatiando em x perpendicularmente ao eixo x Observe que para um cilindro a área da secção transversal é constante Ax A para todo x Então nossa definição de volume resulta em isso coincide com a fórmula V Ah 31 31 Exemplo 1 Mostre que o volume de uma esfera de raio r é SOLUÇÃO Se colocarmos a esfera de maneira que o seu centro se encontre na origem veja a Figura 4 veja a Figura 4 então o plano Px intercepta a esfera em um círculo cujo raio Teorema de Pitágoras é Portanto a área da secção transversal é Ax y2 Figura 4 r2 x2 32 32 Exemplo 1 Solução Usando a definição de volume com a r e b r temos O integrando é par continuação 33 33 Volumes A Figura 5 ilustra a definição de volume quando o sólido é uma esfera com raio r 1 Pelo resultado do Exemplo 1 sabemos que o volume da esfera é que é aproximadamente 418879 Figura 5 Aproximando o volume de uma esfera com raio 1 34 34 Volumes Aqui as fatias são cilindros circulares ou discos e as três partes da Figura 5 mostram as interpretações geométricas das somas de Riemann quando n 5 10 e 20 se escolhermos os pontos amostrais xi como os pontos médios Observe que à medida que aumentamos o número de cilindros de aproximantes a soma de Riemann correspondente se torna mais próxima do volume verdadeiro 35 35 Volumes Os sólidos são todos chamados de sólidos de revolução porque são obtidos pela rotação de uma região em torno de um eixo Em geral calculamos o volume de um sólido de revolução usando a fórmula básica da definição e encontramos a área da seção transversal Ax ou Ay por uma das seguintes maneiras Se a secção transversal é um disco encontramos o raio do disco em termos de x ou y e usamos A raio2 36 36 Volumes Se a secção transversal é uma arruela encontramos o raio interno rint e o raio externo rext a partir de um esboço como na Figura 10 e calculamos a área da arruela subtraindo a área do disco interno da área do disco externo A raio externo2 raio interno2 Figura 10 37 37 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 63 Volumes por Cascas Cilíndricas 38 38 Volumes por Cascas Cilíndricas Vamos considerar o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y 2x2 x3 e y 0 Veja a Figura 1 Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixo y obteremos uma arruela Figura 1 39 39 Volumes por Cascas Cilíndricas No entanto para calcularmos os raios interno e externo da arruela teríamos de resolver a equação cúbica y 2x2 x3 para x em termos de y o que não é fácil Felizmente existe um método chamado método das cascas cilíndricas que é mais fácil de usar em casos como esse A Figura 2 mostra uma casca cilíndrica com raio interno r1 raio externo r2 e altura h Figura 2 40 40 Volumes por Cascas Cilíndricas Seu volume V é calculado subtraindo o volume V1 do cilindro interno a partir do volume V2 do cilindro externo V V2 V1 r2 2h r1 2h r2 2 r1 2h r2 r1r2 r1h 2 hr2 r1 41 41 Volumes por Cascas Cilíndricas Se fizermos r r2 r1 a espessura da casca e r r2 r1 o raio médio da casca então a fórmula para o volume de uma casca cilíndrica se torna e pode ser memorizada como V circunferência altura espessura 42 42 Volumes por Cascas Cilíndricas Agora considere S o sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y fx onde fx 0 y 0 x a e x b onde b a 0 Veja a Figura 3 Dividimos o intervalo a b em n subintervalos xi1 xi da mesma largura x e consideramos o ponto médio do iésimo subintervalo Figura 3 43 43 Volumes por Cascas Cilíndricas Se o retângulo com base xi1 xi e altura é girado ao redor do eixo y então o resultado é uma casca cilíndrica com raio médio altura e espessura x veja a Figura 4 assim pela Fórmula 1 seu volume é Figura 4 44 44 Volumes por Cascas Cilíndricas Portanto uma aproximação para o volume V de S é dada pela soma dos volumes dessas cascas Essa aproximação parece tornarse cada vez melhor quando n Mas pela definição de uma integral sabemos que 45 45 Volumes por Cascas Cilíndricas Então a seguinte definição parece plausível 46 46 A melhor maneira para se lembrar da Fórmula 2 é pensar em uma casca típica cortada e achatada como na Figura 5 com raio x circunferência 2x altura fx e espessurax ou dx Esse tipo de argumento será útil em outras situações tais como quando giramos em torno de outras retas além do eixo y Volumes por Cascas Cilíndricas Figura 5 47 47 Exemplo 1 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixoy da região delimitada por y 2x2 x3 e y 0 SOLUÇÃO Do esboço da Figura 6 vemos que uma casca típica tem raio x circunferência 2x e altura fx 2x2 x3 Figura 6 48 48 Exemplo 1 Solução Então pelo método das cascas o volume é Podese verificar que o método das cascas fornece a mesma resposta que o método das fatias continuação 49 49 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 64 Trabalho 50 50 Trabalho O termo trabalho é usado na linguagem cotidiana significando a quantidade de esforço necessária para executar uma tarefa Na física esse termo tem um significado técnico que depende do iconceito de força Intuitivamente você pode pensar em força como descrevendo um empurrar ou puxar sobre um objeto por exemplo um empurrão horizontal em um livro sobre uma mesa ou a ação da gravidade terrestre sobre uma bola 51 51 Trabalho Em geral se um objeto se move ao longo de uma reta com função de posição st então a força F no objeto na mesma direção é definida pela Segunda Lei de Newton do Movimento como o produto de sua massa m pela sua aceleração No Sistema Métrico Internacional SI a massa é medida em quilogramas kg o deslocamento em metros m o tempo em segundos s e a força em newtons N kgms2 Então uma força de 1 N atuando em uma massa de 1 kg produz uma aceleração de 1 ms2 52 52 Trabalho No sistema usual norteamericano a unidade de força escolhida é a libra No caso de aceleração constante a força F também é constante e o trabalho feito é definido pelo produto da força F pela distância d na qual o objeto se move W Fd trabalho força distância Se F é medida em newtons e d em metros então a unidade para W é o newtonmetro que é chamada joule J Se F é a medida em libras e d em pés então a unidade para W é librapé lbpé que equivale a cerca de 136 J 53 53 Exemplo 1 a Quanto trabalho é exercido ao se levantar um livro de 12 kg do chão até uma carteira de altura 07 m Considere que a aceleração da gravidade é g 98 ms2 b Quanto trabalho é feito levantandose um peso de 20 lb a uma altura de 6 pés do chão 54 54 Exemplo 1a Solução a A força exercida é igual e oposta à força exercida pela gravidade Então a Equação 1 fornece F mg 1298 1176 N e a Equação 2 nos dá o trabalho executado como W Fd 117607 82 J 55 55 Exemplo 1b Solução b Aqui a força dada como F 20 lb portanto o trabalho executado é W Fd 20 6 120 lbpés Observe que no item b ao contrário da parte a não tivemos de multiplicar por g porque nos foi dado o peso que já é força e não a massa do objeto continuação 56 56 Trabalho A Equação 2 define trabalho desde que a força seja constante Mas o que acontece se a força for variável Suponha que o objeto se mova ao longo do eixo x na direção positiva de x a para x b e em cada ponto x entre a e b uma força fx atua no objeto onde f é uma função contínua Dividimos o intervalo a b em n subintervalos com extremidades x0 x1 xn e larguras iguais a x Escolhemos o ponto de amostra no iésimo subintervalo xi 1 xi Então a força naquele ponto é f Se n é grande então x é pequeno como f é contínua os valores de f não variam muito ao longo do intervalo xi 1 xi 57 57 Trabalho Em outras palavras f é praticamente constante no intervalo e então o trabalho Wi que é executado do movimento da partícula de xi 1 to xi é dado aproximadamente pela Equação 2 Wi f x Portanto podemos aproximar o trabalho total por 58 58 Trabalho Parece que a aproximação tornase cada vez melhor quando n cresce Portanto definimos o trabalho feito no movimento de um objeto de a para b como o limite dessa quantidade conforme n Como o lado direito de é uma soma de Riemann reconhecemos seu limite como uma integral definida e então 59 59 Exemplo 2 Quando uma partícula está localizada a uma distância de x metros da origem uma força de x2 2x newtons age sobre ela Quanto trabalho é realizado movendoo de x 1 até x 3 SOLUÇÃO O trabalho feito é de 16 J 60 60 Trabalho No próximo exemplo usaremos uma lei da física a Lei de Hooke afirma que a força necessária para manter uma mola esticada x unidades além do seu comprimento natural é proporcional a x fx kx onde k é uma constante positiva chamada constante da mola 61 61 Trabalho A Lei de Hooke vale desde que x não seja muito grande veja a Figura 1 Figura 1 Lei de Hooke a Posição natural da mola b Posição esticada da mola 62 62 Exemplo 3 Uma força de 40 N é necessária para segurar uma mola que foi esticada do seu comprimento natural de 10 cm para um comprimento de 15 cm Quanto trabalho é feito esticandose a mola de 15 cm para 18 cm SOLUÇÃO De acordo com a Lei de Hooke a força necessária para manter uma mola esticada x metros além do seu comprimento natural é fx kx 63 63 Exemplo 3 Solução continuação Quando a mola é esticada de 10 cm para 15 cm a quantidade esticada é 5 cm 005 m Isso significa que f005 40 assim Portanto fx 800x e o trabalho realizado para esticar a mola de 15 cm para 18 cm é 64 64 Copyright Cengage Learning Todos os direitos reservados 65 Valor Médio de uma Função 65 65 Valor Médio de uma Função É fácil calcular o valor médio de uma quantidade finita de números y1 y2 yn Mas como calcular a temperatura média durante o dia se infinitas leituras de temperatura forem possíveis A Figura 1 mostra o gráfico de uma função de temperaturaTt onde t é medido em horas e T em C e é feita uma é estimativa da temperatura média Tmed Figura 1 66 66 Valor Médio de uma Função Em geral vamos tentar calcular o valor médio da função y fx a x b Começamos por dividir o intervalo a b em n subintervalos iguais cada qual com comprimento x b an Em seguida escolhemos pontos x1 xn em subintervalos sucessivos e calculamos a média dos números fx1 fxn Por exemplo se f representa a função temperatura e n 24 isso significa que temos leituras de temperatura a cada hora e então calculamos a média 67 67 Valor Médio de uma Função A partir de x b an podemos escrever n b ax e a média dos valores se torna Se n aumentar podemos calcular o valor médio de um grande número de valores igualmente espaçados 68 68 Valor Médio de uma Função O valor limite é pela definição de integral definida Portanto definimos o valor médio de f no intervalo a b como 69 69 Exemplo 1 Encontre o valor médio da função fx 1 x2 no intervalo 1 2 SOLUÇÃO Com a 1 e b 2 temos 70 70 Valor Médio de uma Função Se Tt for a temperatura no instante t poderíamos imaginar a existência de um instante específico no qual a temperatura seja a mesma da temperatura média Para a função temperatura traçada na Figura 1 vemos que existem dois destes instantes imediatamente antes do meiodia e imediatamente antes da meianoite Em geral existe um número c no qual o valor da função f é exatamente igual ao valor médio da função isto é fc fmed Figura 1 71 71 Valor Médio de uma Função O seguinte teorema diz que isto é verdade para funções contínuas O Teorema do Valor Médio para as Integrais é uma consequência do Teorema do Valor Médio para as derivadas e do Teorema Fundamental do Cálculo 72 72 Valor Médio de uma Função A interpretação geométrica do Teorema do Valor Médio para Integrais é que para funções positivas f existe um número c tal que o retângulo com base a b e altura fc tem a mesma área que a região sob o gráfico de f de a até b Veja a Figura 2 Figura 2